固体力学作业薄板的振动的固有频率与振型1、 问题矩形薄板的参数如下33150,100,5,210,0.3,7.9310/a mm b mm h mm E GPa v kg m ρ======⨯求矩形薄板在（1） 四边简支（2）四边固支 条件下的固有频率和振型2、薄板振动微分方程薄板是满足一定假设的理想力学模型，一般根据实际的尺寸和受力特点来将某个实际问题简化为薄板模型，如厚度要比长、宽的尺寸小得的结构就可以采用薄板模型。

薄板在上下表面之间存在一个对称平面，此平面称为中面，且假定：（1）板的材料由各向同性弹性材料组成； （2）振动时薄板的挠度要比它的厚度要小； （3）自由面上的应力为零；（4）原来与中面正交的横截面在变形后始终保持正交，即薄板在变形前中面的法线在变形后仍为中面的法线。

为了建立应力、应变和位移之间的关系，取空间直角坐标Oxyz ，且坐标原点及xOy 坐标面皆放在板变形前的中面位置上，如图 1所示。

设板上任意一点a 的位置，将由变形前的坐标x 、y 、z 来确定。

图 1 薄板模型根据假定（2），板的横向变形和面内变形u 、v 是相互独立的。

为此，其弯曲变形可由中面上各点的横向位移(,,)w x y t 所决定。

根据假定（4），剪切应变分量为零。

由薄板经典理论，可以求得板上任意一点(,,)a x y z 沿,,x y z 三个方向的位移分量,,a a a u v w 的表达式分别为()a a a w u zx wv zy w w ∂=-∂∂=-∂=+高阶小量 (1.1)根据应变与位移的几何关系可以求出各点的三个主要是应变分量为222222a x a y a a xyu w z x x v w z y yu v w z y x x yεεγ∂∂==-∂∂∂∂==-∂∂∂∂∂=+=-∂∂∂∂ (1.2)胡克定律，从而获得相对应的三个主要应力分量为：2222222222222()()11()()111x x y y y x xy xyE Ez w wx yE Ez w w y xEz wG x yσεμεμμμσεμεμμμτγμ∂∂=+=-+--∂∂∂∂=+=-+--∂∂∂==-+∂∂ (1.3)现画薄板微元的受力图如图 2所示。

图 2所示中x xy x y yx y M M Q M M Q 、和、、和分别为OB 面、OC 面上所受到的单位长度的弯矩、扭矩和横切剪力。

弯矩和扭矩都用沿其轴的双剪头表示。

M x 、M y 是由正应力σx 、 σx 引起的合力矩。

扭矩是由剪切力τxy 引起的合力矩。

图 2 薄板应力示意图p (x ,y ,t )=P (x ,y )f (t )为具有变量分离形式的外载荷集度，沿z 轴方向。

应用动静法计算时，沿z 轴负方向有一虚加惯性力22wh dxdy tρ∂∂，根据0z F =∑，0y M =∑，0y M =∑则有220(,)()0zy xx x y y FQ Q Q dy dydx Q dy Q dx dydx Q dx xywP x y f t dydx h dydx tρ=∂∂+-++-∂∂∂+-=∂∑ (1.4)整理后，可得22(,)()y x Q Q wP x t f t h x y tρ∂∂∂++=∂∂∂(1.5)1()()2()00()()11()022xyy y y y y xyxy xy y yx x x yx yx x x x MM Q M dx M dx dydx Q dx dy Q dx dydx y y M M dy M dy dydx x M M MxM dy dxdy M dy M dx dxdy M dx x y Q Q dy dxdy dx Q dy dx x =∂∂-++⋅+∂∂∂-+=∂=∂∂+-++-∂∂∂-+⋅-⋅=∂∑∑ (1.6)整理得到xyxyy yxx M M Q x y M M Q x y∂∂+=∂∂∂∂+=∂∂ (1.7)由弯矩的计算公式222222hh x x h h y y h h xy yx xy M zdzM zdz M M zdzσστ---====⎰⎰⎰ (1.8)将式(1.2)代入式(1.8)，积分后得222222222()()(1)x y xy w wM D x yw wM D y x wM D x yμμμ∂∂=-+∂∂∂∂=-+∂∂∂=--∂∂(1.9)再将式(1.9)代入式(1.5)，即可得到薄板微元的运动微分方程为4442422422(,)()w w w wD h P x y f t xx y y t ρ⎡⎤∂∂∂∂+++=⎢⎥∂∂∂∂∂⎣⎦(1.10)这是一个四阶的线性非齐次的偏微分方程。

其中3212(1)Et D v =- 为薄板的抗弯刚度。

3、 矩形板横向振动微分方程的解矩形板的横向自由振动的微分方程为44424224220w w w wD h xx y y t ρ⎡⎤∂∂∂∂+++=⎢⎥∂∂∂∂∂⎣⎦(1.11)或写成2420wD w m t∂∇+=∂(1.12)其中m h ρ=设解的形式是时间变量和坐标变量可以分离的形式： (,,)(,)cos w x y t W x y t ω=(1.13)将式(1.13)代入式(1.12)）可得 440W k W ∇-=(1.14)42h k Dρω=(1.15)再根据板的边界条件来求解固有频率，式(1.14)可用分离变量法来求解。

假定解具有如下形式：(,)()()W x y X x Y y =将上式代入式(1.14)中，可得422444224()()()()()2()()()0X x X x Y y Y y Y y X x k X x Y y x x y y∂∂∂∂++-=∂∂∂∂ (1.16)上式可改写为422444224()()20X x X Y Y k X Y X x x y y ∂∂∂∂-++=∂∂∂∂ (1.17)422444224()()20Y x X Y X k Y X Y y x y x∂∂∂∂-++=∂∂∂∂ (1.18)现讨论式(1.17)中，首先要满足边界条件，设444222()()X x X x X x X xαβ∂=∂∂=-∂ (1.19)根据上两式，有4244()X x X X xββ∂''=-=∂ (1.20)则44αβ=，故有444222()()X x X xX x X xββ∂=∂∂=-∂ (1.21)将上两式(1.21)代入式(1.19)第一式中，可写为 2444224()20Y Yk XY X X x yββ∂∂--⋅+=∂∂(1.22)即有42244422()0Y Y k Y y xββ∂∂-⋅+-=∂∂ (1.23)于是变量得到了分离，要满足式(1.14)的三角函数为sin ()cos xX x x ββ⎧=⎨⎩ (1.24)类似地也可得出另一个平行的能使分离变量的条件为 sin ()cos yY y y αα⎧=⎨⎩(1.25)现设x 方向板的长度为a ，y 方向板的长度为b ，且当x =0和x=a 边为简支，则满足此边界的条件/m a βπ=，故式(1.24)可写为()sin,0<<,m=1,2m xX x x a aπ= (1.26)令 (,)(y)sinm m m xW x y Y aπ=(1.27)代入式(1.14)有424()sin -2()sin +sin -k sin 0m m m m m m x m m x m x m xY Y Y Y a a a a a aππππππ'''''= (1.28)即为242 -2() -k -()0mm m m m Y Y Y a a ππ⎡⎤'''''=⎢⎥⎣⎦(1.29)上式的解为 11213242(y)=C ch(y)+C sh(y)+C cos(y)+C sin(y)m m m m m m m m m Y λλλλ(1.30)式中22212222(),()m mm k a m k a πλπλ=+=-再由y =0及y =b 的边界条件，由式(1.30)可求得im C (i =1,2,34)的齐次方程组，再令其系数行列式为零，可得到固有频率方程式，从而求出固有频率。

四边简支矩形薄板的自由振动边界条件为2200222200220,()()00,()()0x x a x x a x x a x x a W WW W x xW WW W x x========∂∂====∂∂∂∂====∂∂ (1.31) 设()11,sin sin mn m n m x n yW x y A a b ππ∞∞===∑∑则满足边界条件。

将上式代入方程(1.14)，得 222411sin sin 0mn m n m n m x n x A k a b a b ππππ∞∞==⎧⎫⎡⎤⎪⎪⎛⎫⎛⎫+-=⎢⎥⎨⎬ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎪⎪⎣⎦⎩⎭∑∑将上式两边乘以 sin sin i x j ydxdy a bππ并对整个面积进行积分得到： 2224m n k a b ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦则得固有频率为222mn m n a b ππω⎤⎛⎫⎛⎫==+⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎥⎦(1.32)因此可得，四边简支矩形薄板在自由振动时的挠度函数为11(,,)sinsin cos mn mn m n m x n x w x y t A t a bππω∞∞===∑∑ (1.33)将上述结果用MATLAB 求出：表格 1 简支的固有频率计算结果图 3 简支的模态Abaqus 的计算结果：表格 2 简支薄板各阶振型abaqus实体单元有限元仿真结果实体有限元模态频率D11 1395123135. D12D21 33610.D1339451D2245169.D1459868.4、固支边界条件振动微分方程的解 四边固支矩形薄板的自由振动边界条件为00000,()()00,()()0x x a x x a y y a y y a W WW W x xW W W W y y========∂∂====∂∂∂∂====∂∂(1.34)4.1 正弦函数平方的逼近根据简支的启发，正弦函数的平方满足边界条件。

所以设其(,)W x y 是如下形式：()2211,sin sin mn m n m x n yW x y A a bππ∞∞===∑∑ (1.35)将上式带入方程(1.14)，整理可得()4244442222444221142222cos cos cos cos sin sin 0mn m n n y m x n y m x a n b m b m a n a b b a b a n y m x k b A a πππππππ∞∞==⎡⎛⎫-+-++ ⎪⎢⎝⎭⎣⎤⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎥⎝⎭⎝⎭⎦=∑∑(1.36)根据伽辽金法 两边乘以 sinsin i x j ydxdy a bππ并在整个区域内积分可得到 ()4422224444441632309b m a b m n a n k a bπ++-=2ω=(1.37)频率计算结果如表格 3，振型计算结果如图 4表格 3频率计算结果图 4 用sin 2x 作为试函数求解的模态用abaqus 有限元模拟上述结果对比，采用四边固支，固支单条边，网格为5层。