方阵最小多项式的求法与应用[摘要]:本文首先介绍了方阵A 的最小多项式，进而给出了最小多项式的四种求法，最后讨论了最小多项式的两个应用. [关键词]:方阵；最小多项式；不变因子Minimal polynomial of a square matrix and its applicationsFENG Yu-xiang(Class 1, Grade 2001, College of Mathematics and Information Science)Advisor: Associate Prof. LI Zhi-hui[Abstract]:The minimal polynomial of square matrix A is discussed, and four methods of solution for the minimal polynomial are presented. Further more ,the applications of the minimal polynomial are studied.[Keywords]: square matrix; minimal polynomial; invariant operation一、引言文献[1]中研究了方阵最小多项式的若干性质，并给出最小多项式的三种求法.本文试图通过对文献[1]中的结果进一步研究，给出它相应的改进算法，并提出一种新的求法.与此同时，讨论了最小多项式在矩阵的相关计算和证明中的应用，为最小多项式的应用提供了新的思想.本文所讨论的矩阵和多项式均为复数域C 上n 阶方阵和多项式.二 、最小多项式的性质及求法由哈密尔顿定理可知，对于一n 阶矩阵A ，A E f -=λλ)(是A 的特征多项式，则 ,0)1()()(12211=-+++++-=-E A A a a a A f n n nn n λ即就是任给数域P 上的一个n 级矩阵A ，总可以找到数域P 上的多项式)(x f ，使得0)(=A f .如果多项式)(x f 使得0)(=A f ，我们就称)(x f 为矩阵A 的零化多项式.当然A 的零化多项式很多的，于是我们有定义1 设n n C A ⨯∈，次数最低的首项为1的A 的零化多项式称为A 的最小多项式，记为)(λA ψ.最小多项式有以下一些基本性质： 定理1[1] 设A n n C ⨯∈，则（1）A 的任一零化多项式都能被)(λA ψ整除； （2）A 的最小多项式)(λA ψ是唯一的； （3）相似矩阵最小多项式相同.2．1 由特征多项式求最小多项式定理2[1] 0λ是A 的特征多项式零点的充分条件是0λ为A 的最小多项式)(λA ψ的零点.证明：见参考文献[1].推论1 若n 阶方阵A 的特征多项式被分解为不同的一次因式方幂的乘积： s m s m m f )()()()(2121λλλλλλλ---= ，其中i λ是A 的相异的特征值，i m 是特征值i λ的重数，且,1n m si i =∑=则A 的最小多项式具有如下形式：s d s d d A )()()()(2121λλλλλλλ---=ψ ，其中),,2,1(s i m d i i =≤为正整数.推论1实际上给出了由方阵A 的特征多项式，求最小多项式的方法.例1 求矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=211121112A 的最小多项式.解：因为A 的特征多项式为)4()1()(2--=λλλf ，根据推论1便可知，A 的最小多项式有以下两种可能：（1-λ）（4-λ），)4()1(2--λλ由于0000000000211121112111111111)4)((=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=--E A E A 因此，A 的最小多项式为)4)(1(--λλ.有时)(λf 在分解时比较困难，但由推论1可知，A 的最小多项式实质包含A 的特征多项式中的所有不同的一次因式之积，故可先求出.))(),((()(λλλf f f '例2 求矩阵⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡------------=1333313333133331A 的最小多项式.解：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+--+--+-+=-1333313333133331λλλλλA E =512320484234---+λλλλ)80243(4)(512320484)(23234--+='---+=λλλλλλλλλf f由辗转相除法求得(168))(),(2++='λλλλf f 于是168512320484))(),(()(2234++---+='λλλλλλλλλf f f=3242--λλ=()8)4(-+λλ 于是 ())8(4)(3-+=λλλfA 的最小多项式有以下三种可能：),8)(4(-+λλ ),8()4(2-+λλ )8()4(3-+λλ而 0)8)(4(=-+E A E A ， 因此A 的最小多项式为)8)(4(-+λλ.2．2 按最小多项式的定义及存在性求最小多项式定理3[1] 任意 n 阶矩阵A 都存在最小多项式)(λA ψ.证明：参见文献[1].这个定理告诉我们一种求最小多项式的方法，这种方法的步骤是： 第一步 试解E A 0λ= 若能解出0λ，则A 的最小多项式为0)(λλλ-=ψA ；若E A 0λ=关于0λ无解，则做第二步 试解E E A 102λλ+= 若能解出0λ与1λ，则A 的最小多项式为λλλλλ102)(--=ψA 若不能解出0λ与1λ，则做第三步 试解22103A A E A λλλ++= 若能解出0λ，1λ与2λ，则A 的最小多项式为22103)(λλλλλλλ---=ψA 若不能解出0λ，1λ与2λ，则再做第四步 试解3322104A A A E A λλλλ+++=等等，直到求出i λ（),,,2,1,0m i =使矩阵方程成立为止（由哈密尔顿---凯莱定理，这样的过程最多只有n 步即可终止），这时用λ代替A ，便得到所求最小多项式)(λA ψ.例2 求矩阵⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----=1101111001111111A 的最小多项式.解：（1）试解 E A 0λ=，显然关于0λ无解. （2）试解 A E A 102λλ+=写出方程两边的矩阵，并选择某行（某列）来求解代数方程组，以此求0λ和1λ，例如，比较第一行（3，2，0，-1）；A E 10λλ+的第一行为（11110,,,λλλλλ-+），从而的方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-===+202311110λλλλλ此方程组显然无解.（3）试解22103A A E A λλλ++=写出防城两边的矩阵，并选择第一列来求解0λ，1λ和2λ，这可由此比较方程两边第一列：1)7,7,7,6(---；2210A A E λλλ++的第一列:121221310)2,2,2,3(----+++λλλλλλλλ,得关于0λ，1λ和2λ的方程组:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=---=-=+=++7272726321221210λλλλλλλλ 解此方程组得 270-=λ, 01=λ, 272=λ因为对于上面解出的0λ，1λ和2λ,矩阵方程232927A A A -=成立.所以A 的最小多项式为2927)(23+-=ψλλλA2.3 利用Jordan 标准型求最小多项式定理4[1] 设矩阵n n C A ⨯∈,则A 的最小多项式可以由 s d s d d A )()()()(2121λλλλλλλ---=ψ给出,其中),,2,1(s i i =λ是A 的相异的特征根,),,2,1(s i d i =是在A 的Jordan 型J 中包含i λ的各分块的最大阶数.证明:参见文献[1].推论2 当A 的所有特征值都相异时,A 的最小多项式)(λA ψ就是A 的特征多项式A E f -=λλ)(.由定理4,在一般情况下,A 的最小多项式可以通过求出它的Jordan 标准型J 获得.例3 求矩阵⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----=200001020000002000001200101112100000A的最小多项式.解：由A 的特征多项式33)2()1()(--=-=λλλλA E F知A 有两个不同的特征值：2,121==λλ（均为三重的）.容易求得5)(=-E A rank ，所以对于11=λ的特征向量仅有一个，这表示对应的Jordan 块的数目是1.又由于,4)2(=-E A rank 对应于22=λ的特征向量有2个，因此对应于22=λ的Jordan 块共有2块.故A 的Jordan 标准型为：⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡221211111可见J 中包含11=λ的块的阶数31=d ，包含22=λ的Jordan 块的最大阶数22=d ，因此A 的最小多项式为：23)2()1()(--=ψλλλA2.4 利用不变因子求最小多项式引理1[4] A 的最小多项式是A 的初等因子的最小公倍式. 证明：相似矩阵有相同的最小多项式和初等因子.因此只要对A 的若当标准型矩阵J 证明即可.设⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡S J J J21，其中⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=i ii iJ λλλ11，s i ,,2,1 = 并且.1n n si i =∑=我们已知i J 的最小多项式是i n i )(λλ-，现在对任一多项式)(λf 有⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=)()()()(21s J f J f J f J f因此0)(=J f 当且仅当0)()()(21====s J f J f J f .这就是说，)(λf 是J 的化零多项式)(λf 是s J J J ,,,21 的化零多项式，进一步，)(λg 是J 的最小多项式必须)(λg 是s J J J ,,,21 的化零多项式，因此是的最小多项式的公倍式；另一方面，这些i J 的最小多项式的任一公倍式必须是J 的化零多项式，因而被)(λg 整除.故J 的最小多项式必须是s J J J ,,,21 的最小多项式，即J 的初等因子s n s n n )()()(2121λλλλλλ--- 的最小公倍式.定理5[4] A 的最小多项式恰为A 的最后一个不变因子.证明 由于A 的最后一个不变因子)(λn d 具有性质()λλn i d d |)(，,1,,2,1-=n i 所以()λn d 中 包含了A 的初等因子所有互异的指数最高一次因式的幂，它恰是A 的全部初等因子的最小公倍式，于是命题得到证明.例5 证明⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+---=--12211000000010001000)(a a a a a A n n n λλλλλλ的不变因子是11,,1,1-n ，)(λf ，其中n n n n a a a f ++++=--λλλλ111)( .证明： 因为)(λA 的左下角的1-n 阶子式为1)1(--n ，所以1)(1=-λn D ，于是)()()(121λλλ-===n D D D将)(λA 的第二，第三，…，第1-n 行，第n 行分别各乘以122,,,,--n n λλλλ 都加至第一行上，依第一行展开即得：n n n n n a a a A D ++++==--λλλλλ111)()(因此，)(λA 的不变因子是11,,1,1-n ，)(λf .由定理5可知，A 的最小多项式实质为A 的最后一个不变因子)(λn d ，而)()()(1λλλ-=n n n D D d ，其中)(λn D 为A 的n 阶行列式因子，故可得求A 的最小多项式的方法.例6 求矩阵⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+---=2345100010001)(λλλλλA 的最小多项式.解：543223451000100012344++++=+---=λλλλλλλλD)(λA 右上角有一个三级子式1101001-=---λλ所以 1321===D D D5432,1,1,12344321++++====λλλλd d d d所以)(λA 的不变因子是1，1，1，5432234++++λλλλ，它的最小多项式为5432234++++λλλλ三 、最小多项式的应用这一节我们将讨论最小多项式的一些应用3．1 求矩阵的高次幂例7 已知⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----=4513416103A ，求100A 解：3)1()(-=-=λλλA E f ，由0≠-E A ，而0)(2=-E A ，知A 的最小多项式2)1()(-=λλg ，所以A 不能对角化.但我们有 )()()1(2100b a q ++-=λλλλ用待定系数法 令1=λ，1=+b a ，对上式求导后再令 1=λ，解得99,100-==b a因此，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=-=300500100300499100600100020199100100E A A 3.2 判断矩阵是否可逆例8 设)(λg 是矩阵A 的最小多项式.)(λh 是任意多项式，证明：)(λh 可逆的充要条件是1))(),((=λλg h证：若1))(),((=λλg h ，则存在)(),(λλv u ，使 1)()()()(=+λλλλv g u h 于是E u h =)()(λλ，故0)(≠A h ，从而)(λh 可逆. 反之，当)(λh 可逆时，设)())(),((λλλd g h =， 于是 )()()(λλλd u h =， )()()(λλλd v g = 从而有 )()()(0A d A v A g ==，)()()(A d A u A h =（*）因为0)(≠A h ，所以0)(≠A d ，即)(A d 可逆，这就有等式（*）推出0)(=A v ，并进一步得到 )()(λλg v =且1)(=λd .本文在文献[1]的基础上对最小多项式的求法做了总结和改进，并提出一些新的求法.同时，将最小多项式的求法应用到了求矩阵的高次幂和判断方阵可逆上，以此达到理论与实践的良好结合.[参考文献]1. 夏必腊，方阵最小多项式的性质与求法[J]，高等数学研究，2003，3：34—39.2. 杨子胥，高等代数习题解[M],山东:山东科学技术出版社,2001.3. 北京大学数学力学系，高等代数[M],北京：高等教育出版社，1988.4. 刘玉森，苏仲阳主编，高等代数应试训练[M]，北京：地质出版社，1995.精品好文档，推荐学习交流临床微生物标本规范化采集和送检中国专家共识牵头专家：胡必杰、倪语星、马小军、肖永红编写专家（按首字母拼音排序）：蔡绍曦、陈佰义、褚云卓、高晓东、顾兵、黄勋、李光辉、李卫光、刘思远、刘运喜、陆群、卢晓阳、吕媛、孙自镛、索瑶、汤灵玲、王辉、王明贵、王选锭、吴安华、徐英春、颜青、俞云松、战榕、张卫红、宗志勇中华预防医学会医院感染控制分会2017年1月仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢11。