7.5 常用坐标系之间的关系与转换一、大地坐标系和空间大地直角坐标系及其关系 大地坐标系用大地纬度企丈地经度L 和丈地髙H 来表示点的位置°这种坐标系是经 典大地测量甬:両用座标紊7屜据地图投影的理论,大地坐标系可以通过一定的投影转 化为投影平面上的直角坐标系，为地形测图和工程测量提供控制基础。

同时，这种坐标系 还是研究地球形状和大小的 种有用坐标系°所以大地坐标系在大地测量中始终有着重要 的作用.空间大地直角坐标系是-种以地球质心为原点购亘墮®坐标系，一般用X 、化Z 表 示点BSSTSTT 逐碇SS 範菇飞両H 绕禎扭转冻其轨道平面随时通过 地球质心。

对它们的跟踪观测也以地球质心为坐标原点，所以空间大地直角坐标系是卫星 大地测量中一种常用的基本坐标系。

现今，利用卫星大地测量的手段*可以迅速地测定点的空间大地直角坐拯，广泛应用于导航定位等空间技术。

同时经过数学变换，还可求岀点 的大地坐标I 用以加强和扩展地面大地网，进行岛屿和洲际联测，使传统的大地测量方法 发生了深刻的变化，所以空间大地宜角坐标系对现今大地测量的发展’具有重要的意义。

、大地坐标系和空间大地直角坐标系的转换如图7- 23所示’尸点的位置用空间 大地直角坐标〔X, Y, Z)表示，其相应 的大地坐标为(E, L)a 将该图与图？一5加以比较可见，图7-5中的子午椭圆平面 相当于图7-23中的OJVP 平面.其中 PPz=Z.相当于图7-5中的j7；OP 3相当 丫于图7-5中的仏两平面的经度乙可视为相同，等于"叽 于是可以直接写岀X=jrcQsi f Y=jrsinL, Z=y将式(7-21).式(7-20)分别代入上式, 井考虑式(7-26)得X=Ncos^cosZr ”Y =NcQsBsinL > (7—78)Z=N (1—护〉sin^ ；上式表明了 2种基本坐标系之间的关系。

BB 7-231.由大地坐标求空间大地直角坐标当已知椭球面上任一点P 的大地坐标(B, L)时，可以按式(7-78)直接求该点的 空间大地直角坐标(X, Y, Z)。

如果P 点不恰好位于椭球面，例如位于大地高为H 的H 点处，此时由大地坐标求空间 大地直角坐标的公式则为X=y=z=L=arctan §利用上式可直接由空间大地直角坐标X 、Y 求出大地经度厶。

为了求岀B 和H,还应对公式作些变化，以适应迭代计算的需要。

由公式(7-79)第一、三式得(N 十H) ZcosL・ a” = (1_e2)式中，cos 厶仍由式(7-79)得出cos.—(N +H )COS B~ yy2_|_y2代入前式又由式(7-79)得 H = ----------- 7：— NcosB式(7-81).式(7-82)就是求3、H 的迭代公式。

迭代开始时设N Q = Q随后，每次迭代按下列公式进行N { — —— __ —V 1—，sin 叨—cosB —(N+H) cosBcos L ](N 十H) cosBsinL 、〔N (1—e 2) +刃〕sinBJ2.由空间大地直角坐标求大地坐标当已知X 、y 、Z 反求B 、L 、H 时，可以采用直接解法或迭代解法。

由公式(7-79)第…、二两式得(7-79) (7-80)B=arctanVX^Y 2 (7-81)(7-82)B 0=arctanHo=+ W+Z2_ 应 2 VX 2^Y 2厂〕宜至b-B—和Hi-H—小于要求的限值为止。

一般，在要求H精确至0.001m、占精确至0.0000/时，需要迭代4次。

三、不同空间大地直角坐标系的换算利用“GPS”定位所获取的点位属于空间大地直弟坐标系。

可是由于各国所采用的参考 椭球及其定位不同，参考椭球中心也不和地球质心重合，所以世界上存在着各不相同的空间大地直角坐标系。

为了将“GPS”定位成果转换成各自需用的成果，就出现了不同空间大 地直角坐标系的换算。

这在“GPS”定位的数据处理中，应用十分广泛.在高等数学的解析几何里，曾经论证了二维直 角坐标系中，当坐标轴旋转角度。

时(图7-24),用 旧系坐标表示新系坐标的公式为..> (7-33)丁弄=—日 sma-F^ia costfj 在三维空间直角坐标系中，新、旧两坐标系的 变换需要在3个坐标平面上，分别通过3次转轴才 能完成。

如图7-25所示.2个空间大地直角坐标系和0 —心Yirr Z e ,它们的原点一致， 但相应的坐标轴互不平行，存在微小差异。

按以下步骤进行转轴可以将o —心丫旧乙日转换成o-x 新第一*保持OZ 时轴不动，绕其将OX" ox 日轴錠转微小角度殳，旋转后的坐标轴设为OX\ OY\ OZ\ 则有X* —X^ cose.+Yjg sine fY 1 = —X|日 sin®十F 旧 cose sZT日<7-84)图 7—25第二，保持OF轴不动，绕其将OZJOX，轴旋转微小角度旋转后的坐标轴设为OX"、OY\ OZ\则有X"= X，cos®—Z'sin^Yr=r > (7-85)Z"=X'sin£Y+Z'cos&Y,第三，保持OX"轴不动，绕其将0严、OZ"轴旋转微小角度匕，旋转后的坐标轴设为OX*、OY祈、OZ輪,则有X^=X n *=y"coss+Z"sin£x [ (7-86)= 一y"sinEx+Z"cos&x这样，将O一X旧Y旧Z旧分别绕3个坐标轴旋转了3个微小角度£z、弘5,使其和O—天新丫新Z新重合。

£x、£丫、£z称为欧勒角。

将式(7—84)代入式(7—85),再代入式(7 — 86),由于馭、£丫、£乙是秒级微小量，略去其正弦、余弦函数展开式中2次及以上各项，得Xgj =X|日+£疔旧r£yZ日2新=2旧十£丫乂旧一5丫旧当新、旧2个坐标系的原点不相一致时，还需根据坐标轴的平移原理，将旧系原点移至新系原点，其变化公式为X新=Xo+X|日+£疔口—£丫乙日(7-87)式中，X。

、y。

、Z。

称为3个平移参数，是旧坐标系原点在新坐标系中的3个坐标分量。

若再考虑两个坐标系的尺度比例也不一致，即存在有尺度变化的参数，设为虹则有Xgf=Xo+ (1+上)Xia+®YiB—£Y Z(.日丫新=丫。

+ (1+“)丫旧一叨^+谄旧》(7—88)Zjfi=Zo+ (1+&) Zig+Cy^S-€X Y|0 .上式即为布尔莎公式。

公式中存在7个参数：3个平移参数X。

、丫。

和Z。

，3个旋转参数昭为、切1个尺度变化参数虹习惯上称这种换算法为七参数法。

七参数法除布尔莎公式外，还有莫洛琴斯基公式和范士公式等。

由公式(7-88)可知，由一个坐标系换算成另一个坐标系，必须知道其转换参数。

转换参数可以通过联测一些公共点获得，因为通过公共点联测，可以得到这些公共点在新、IB 2个坐标系中的坐标值，于是就可以利用公式(7-88)求出转换参数。

当公共点数较多时, 观测方程式个数就大丁所求参数个数，这时还可根据测董平差原理列立观测值的误差方程式，组成并解算法方程，求得转换参数。

四、不同大地坐标系的换算地面点在椭球面上的位置，是由一定元素和定位的椭球所规定的.如果选择的椭球元 素和定位发生变化，地面点在椭球面上的大地坐标必将随之变化•根据椭球元素和定位的 变化推求点的大地经纬度和大地高变化的公式，叫做大地坐标微分公式，它是不同大地坐 标换算的基础，下面首先来推导大地坐标微分公式。

由公式(7-79)可以看出，点的空间大地直角坐标是椭球几何元素(用长半径◎和扁 率产表示)和椭球定位元素(吕、L 、H)的函数口当椭球元素和定位结果发生了变化时，点 的空间大地直角坐标必然发生变化*取式(7-79)的全微分，即dN 37Vde 3 f找、丄 M . 石=厉石=厉卫(1 一代曲⑵一刃石 ⑵-r )2匚严历需=磊〔復 t l-ehin 2B )3 =^sinBcosB则根据式(7-79)可以求出二 ^cosBcosL= -cosBcosL da a 寻=^cosBcosL= y^jcosBcosLsin 2BcosBcosL — (N+H) sin£cosZ=— (M+H) sinBcosL将以上5式代入式(7-89)第1式得考虑到(7-89)3XoU 3X dL = ~(N+H) cosBsinL dX dH=cosBcosL dX 器也+訓/•+報盼報"爲dN d r, , j > NdX=NcosBcos 厶虫+McosBcos 厶sin?" 7^7— (M+Z/) sinBcosLdB a 1—/—(N+H) cosBsinLd£+cosBcosLd/l同理 dy=NcosBsinL — 4-A/cosBsinLsin 2B 7^7— (M+H) sinBsin 厶dB a 1—j + (M+H) cosBcosLdL+cosBsinLdHdZ=N (1—e 2) sinB ——M (l+cos z B —^2sin 2B) sinB 县： a- 1—J+ (M+H) cosBdB+sinBdH若以dH 、dB 、d 厶为未知数解算以上3式，则得dH=cosBcosLdX+cosBsinLdY+sinBdZ —N (1—^2sin 2B)乎+M (l-e 2sin 2B) sin 2BdB=肚*芳〔一sinBcosLdX —sinBsinLdy-4-cosBdZ+WsinBcosB 乎+M (2-？siiM) sinBcosB 筲〕dL= XT } rj (—secBsin£dX+secBcosLdy)h+H 式中，血、”表示椭球元素(长半径、扁率)的变化；dx 、収、dz 表示楠球中心的变化, 即椭球定位的变化。

因此，式(7-91)就是由于椭球元素和定位变化引起点的大地坐标变 化的公式，亦即大地坐标微分公式。

将上式代入下式，即得不同大地坐标系的换算公式力新=厶旧+d 厶}B^=B^+dB [日新=H 旧+dH ：当考虑欧勒角和尺度变化参数时，可将式(7-88)写成如下形式 dX=X 新一/=&+宓旧+莎旧一翻旧dK=y M 一丫旧=人+羽旧rzXm +翻旧dZ=Zfr — %=Zo+〃Z 旧 +&X 旧一“Y|日上式等号右端的X 旧、Z l3用式(7-79)等号右端的函数代入后，再将上式代入式(7— 91),经过整理可得广义大地坐标的微分公式 ,> (7-90) > (7-91)(7-92)(i//=cosBcosLX 0+cosBsinjLy a +sinBZ 0—-Ve 2sinBcosBsinZx x+N/sinBcosBcosL€y+N (1—e 2sin 2B) k —N (1—e 2sin 2B) +M (1 —/sirfB) sin 2B dB= »z ! rr (—sinBcos 厶X°—sinBsinZyo+cosBZo) —sinLe x M 十HN . ] 4-cosLey —^e 2sinBcosB^+：N/sinBcosB 屯+M (2—护sin'B) sinBcosBd 厶=&；H (—secBsinLXo+secBcos 厶7%)+tanBcosZx x-rtanBsinL€Y —€z上式即为布尔莎形式的广义大地坐标微分公式。