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题型探究
பைடு நூலகம்11
类型一 2×2列联表
例1 在一项有关医疗保健的社会调查中，发现调查的男性为530人，女 性为670人，其中男性中喜欢吃甜食的为117人，女性中喜欢吃甜食的为 492人，请作出性别与喜欢吃甜食的列联表.
解 作列联表如下：
男 女 合计
喜欢甜食 117 492 609
不喜欢甜食 413 178 591
体育
文娱
合计
男生
210
230
440
女生
60
290
350
合计
270
520
790
如何判定“喜欢体育还是文娱与性别是否有联系”？ 答案 可通过表格与图形进行直观分析，也可通过统计分析定量判断.
5 答案
梳理
(1)2×2列联表的定义 对于两个研究对象Ⅰ和Ⅱ，Ⅰ有两类取值，即类A和类B；Ⅱ也有两类 取值，即类1和类2.我们得到如下列联表所示的抽样数据：
324
392
试根据上述数据比较这两种手术对病人又发作过心脏病的影响有没有差
别.
16 解答
反思与感悟
独立性检验的关注点 在2×2列联表中，如果两个分类变量没有关系，则应满足ad－bc≈0， 因此|ad－bc|越小，关系越弱；|ad－bc|越大，关系越强.
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跟踪训练2 某省进行高中新课程改革已经四年了，为了解教师对新课 程教学模式的使用情况，某一教育机构对某学校的教师关于新课程教学 模式的使用情况进行了问卷调查，共调查了50人，其中有老教师20人， 青年教师30人.老教师对新课程教学模式赞同的有10人，不赞同的有10 人；青年教师对新课程教学模式赞同的有24人，不赞同的有6人. (1)根据以上数据建立一个2×2列联表；
x0 0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
表示在H0成立的情况下，事件“ χ2≥x0 ”发生的概率.
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2.推断依据 (1)若χ2＞10.828，则有99.9%的把握认为“Ⅰ与Ⅱ有关系”； (2)若χ2＞6.635，那么有99%的把握认为“Ⅰ与Ⅱ有关系”； (3)若χ2＞2.706，那么有90%的把握认为“Ⅰ与Ⅱ有关系”； (4)若χ2≤2.706，那么就认为没有充分的证据显示“Ⅰ与Ⅱ有关系”， 但也不能作出结论“H0成立”，即Ⅰ与Ⅱ没有关系.
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(1)根据已知条件完成下面的2×2列联表，据此资料你是否认为“体育迷” 与性别有关？
男 女 总计
非体育迷
体育迷
总计
23 解答
(2)将日均收看该体育节目不低于50分钟的观众称为“超级体育迷”，已 知“超级体育迷”中有2名女性，若从“超级体育迷”中任意选取2人， 求至少有1名女性观众的概率.
附：χ2＝a＋bcn＋add－ab＋cc2b＋d，其中 n＝a＋b＋c＋d 为样本容量.
解析 14 答案
(2)某学校对高三学生作一项调查后发现：在平时的模拟考试中，性格 内向的426名学生中有332名在考前心情紧张，性格外向的594名学生中 有213名在考前心情紧张.作出2×2列联表. 解 作列联表如下：
性格内向 性格外向 合计
考前心情紧张
332
213
545
考前心情不紧张
94
381
475
P(χ2≥x0) x0
0.10 2.706
0.05 3.841
0.01 6.635
26 解答
反思与感悟
独立性检验的步骤 第一步，假设两个分类变量X与Y无关系； 第二步，找相关数据，列出2×2列联表； 第三步，由公式 χ2＝a＋bcn＋add－ab＋cc2b＋d(其中 n＝a＋b＋c＋d)计算出 χ2 的值； 第四步，将χ2的值与临界值进行比较，进而作出统计推断.这些临界值， 在高考题中常会附在题后，应适时采用.
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知识点三 独立性检验的步骤
1.独立性检验的步骤 要判断“Ⅰ与Ⅱ有关系”，可按下面的步骤进行： (1)提出假设H0： Ⅰ与；Ⅱ没有关系 (2)根据2×2列联表及χ2公式，计算 χ2 的值； (3)查对临界值，作出判断. 其中临界值如表所示：
P(χ2≥x0) 0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
合计 530 670 1 200
12 解答
反思与感悟
分清类别是列联表的作表关键步骤.表中排成两行两列的数据是调查得来 的结果.
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跟踪训练1 (1)下面是2×2列联表：
x1 x2 合计
y1
y2
a
21
2
25
b
46
合计 73 27 100
则表中a，b的值分别为___5_2____，___5_4____. 解析 ∵a＋21＝73，∴a＝52. 又∵a＋2＝b，∴b＝54.
合计
426
594
1 020
15 解答
类型二 由χ2进行独立性检验
例2 对196个接受心脏搭桥手术的病人和196个接受血管清障手术的病人
进行3年的跟踪研究，调查他们是否又发作过心脏病，调查结果如下表所
示.
又发作过心脏病 未发作过心脏病 合计
心脏搭桥手术
39
血管清障手术
29
合计
68
157
196
167
196
第1章 统计案例
1.1 独立性检验
1
学习目标
1.了解2×2列联表的意义. 2.了解统计量χ2的意义. 3.通过对典型案例分析，了解独立性检验的基本思想和方法.
2
内容索引
问题导学 题型探究 当堂训练
3
问题导学
4
知识点一 2×2列联表
思考
山东省教育厅大力推行素质教育，增加了高中生的课外活动时间， 某校调查了学生的课外活动方式，结果整理成下表：
21 解答
类型三 独立性检验的综合应用 例3 电视传媒公司为了解某地区观众对某类体育节目的收看情况，随机 抽取了100名观众进行调查，其中女性有55名.如图所示的是根据调查结 果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图. 将日均收看该体育节目时间不低于40 分钟的观众称为“体育迷”，已知 “体育迷”中有10名女生.
19 解答
(2)判断是否有99%的把握说明对新课程教学模式的赞同情况与教师年龄 有关系. 解 假设“对新课程教学模式的赞同情况与教师年龄无关”. 由公式得 χ2＝50×34×101×6×6－202×4×30102≈4.963<6.635， 所以没有99%的把握认为对新课程教学模式的赞同情况与教师年龄有关.
类A Ⅰ
类B
Ⅱ
类1
类2
a
b
c
d
合计 __a_＋__b_ __c_＋_d__
合计
_a_＋__c__
_b_＋__d__
a＋b＋c＋d
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(2)χ2统计量的求法 公式 χ2＝a＋bcn＋add－ab＋cc2b＋d.
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知识点二 独立性检验 独立性检验的概念 用χ2统计量研究两变量是否有关的方法称为独立性检验.