两个导数相乘，得
yu ux 2u 3 2(3x 2) 3 18 x 12
从而有
y'x y'u u'x
问题探究：
考察函数 y sin的2导x数 。
一方面 : y sin 2x 2 sin x cos x
y x (sin 2x)
(2 sin x； c os x) 2(sin x) c os x 2 sin x (c osx) 2 c os2 x 2 sin 2 x
根据导数的概念，求函数导数的过程可以用下面的流程 图来表示
给定函数y f（x）
计算 y f（x x） f（x）
x
x
x 0
y A(x) x
f (x) A(x)
法则1: 两个函数的和（或差）的导数，等于 这两个函数的导数的和（或差），即：
[ f (x) g(x)] f (x) g(x).
x
2、求曲线y=sin2x在点P(π，0）处的切线方程。
小结 ：
• ⑴复合函数的求导，要注意分析复合函数的结构 ，引入中间变量，将复合函数分解成为较简单的函数 ，然后再用复合函数的求导法则求导；
• ⑵复合函数求导的基本步骤是：
• 分解——求导——相乘——回代
练习：
课本 P24 练习 No.3； 课本 P22 No.6.
我们还可以证明类似的一个结论:可导的周期函数的导函数也是周期函 数.
证:设f(x)为可导的周期函数,T为其一个周期,则对定义 域内的每一个x,都有f(x+T)=f(x).
两边同时对x求导得:
f ( x T )即(x T ) f ( x),
f也( x是) 以T为周期的周期函数.
1
4
x5
(1
6
x) 5
5
“可导的偶函数的导函数为奇函数;可导的奇函数的导函数为偶函数”. 现在利用复合函数的导数加以证明:
证:当f(x)为可导的偶函数时,则f(-x)=f(x).两边同时对x
求导得:
f ( x)( x) f ( x),故 f (为x) f ( x)
奇函数.
f ( x)
同理可证另一个命题.
2 cos2x
另一方面： 将函数 y sin 2x
看作是函数 y s和in函u数
u 2x
分 解
复合函数，并分别求对应变量的导数如下：
yu (sin u) cos u ux (2x) 2
求 导
两个导数相乘，得
yu
ux
(cos u) 2
相 乘
2cos2x 回代
从而有 y'x y'u u'x
复合函数求导的基本步骤是：
(1)分解 (2)求导 (3)相乘 (4)回代
数学运用
试说明下列函数是怎样复合而成的
(1) y (2 x 3)3 ; (2) y ln(5x 1) (3) y 1 ; (4) y cos(1 2 x)
3x 1
数学运用
求下列函数的导数：
(1) y (2 x 3)3 ; (2) y ln(5x 1) (3) y 1 ; (4) y cos(1 2 x)
(3)
y
1 cos2
; x
(2)
y
1 x2 (1 x 2 )2
;
(4) y 6 x3 x ; 1 x2
简单复合函数 的导数
复合函数:
由几个函数复合而成的函数，叫复合函数．
由函数 y f与(u) u 复合而(成x)
的函数一般形式是
y f [ (x)]
，其中u称为中间变量．
目前我们所研究的简单复合函数的导数 仅限于形如f（ax+b）的复合函数
[ f (x) ] g ( x)
f (x)g(x) f (x)g(x) g 2 (x)
其中g(x) 0
求下列函数的导数:
12 (1) y x x2 ; (2) y x ;
1 x2 (3) y tan x;
(4) y (2 x2 3) 1 x2 ;
答案:
(1)
y
1 x2
4 x3
;
问题探究：
求函数 y (3x 的2导)数2 。
方法一：
yx [(3x 2)2 ] (9x2 12x 4) 18x 12
方法二： 将函数 y (3x 2)2
看作是函数 y 和分别求对应变量的导数如下：
yu (u2 ) 2u ux (3x 2) 3
求下列函数的导数:
(1) y (2 x3 x 1 )4
x
解: y 4(2 x3 x 1 )3 (2 x3 x 1 )
x
x
4(2 x3
x
1 )3(6 x2 x
1 x2
1)
(2) y 5 x
1 x
解:
y 1 (
x
4
) 5 (
x
)
5 1 x
1 x
1 5
(x 1 x
4
)5
1 (1 x)2
法则2:
[Cf (x)] Cf (x).(C为常数)
法则3:两个函数的积的导数，等于第一个函数
加 乘 的导数乘以第二个函数 上第一个函数 以
第二个函数的导数
[ f (x)g(x)] f (x)g(x) f (x)g(x).
法则4 :两个函数的商的导数，等于分子的导数与分 母的积，减去分母的导数与分子的积，再除以分母的 平方,即：
建构数学 一般地，我们有u=ax+b时，有
若 y=f(u),u=ax+b，则
y'x y'u u'x
即：y'x y'u a
• 对于一般的复合函数，结论也成立 。 • 复合函数的求导法则 • 复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变 量的导数，乘以中间变量对自变量的导数 ，即
y'x y'u u'x
3x 1
例写出由下列函数复合而成的函数,并
求它们的导数。
⑴ y cosu
u 1 x2
⑵ ；
y ln， u
u， ln x
．
解：⑴
y cos(1 x 2 )
y 2x sin(1 x2 )
⑵ y ln(ln x) y (x ln x)1
• 1、求下列函数的导数：
(1) y (2x 3)2 ; (2) y (1 3x)3; (3) y e2x ; (4) y ln 1
知识回顾： 基本求导公式:
(1)(kx b) k, 特殊的：C 0(C为常数)
(2)(x )' x 1(为常数）
(3)(ax )' axlna(a 0,且a 1)
(4)(log a x)'
1 xlna
(a 0,且a 1)
(5)(ex )' ex
(6)(lnx) ' 1 x
(7)(sinx )' cosx (8)(cosx) ' sinx