2019-2020年高中数学 第三章 第1课 平均变化率教学案 苏教版选修
1-1
班级：高二（ ）班 姓名：____________
教学目标：
1.通过对一些实例的直观感知，构建平均变化率的概念，并初步运用和加深
理解利用平均变化率来刻画变量变化得快与慢的原理；
2.通过从实际生活背景中构建数学模型来引入平均变化率，领会以直代曲
和数形结合的思想，培养学生的抽象思维与归纳综合的能力，提升学生的数学思维与数学素养；
3.培养学生关注身边的数学，并能从数学的视角来分析问题、解决问题，
体验数学发展的历程，感受数形统一的辨证思想．
教学重点：会利用平均变化率来刻画变量变化得快与慢．
教学难点：对平均变化率概念的本质的理解；对生活现象作出数学解释．
教学过程：
一、问题情境
1．问题情境．
法国《队报》网站的文章称刘翔以不可思议的速度统治了赛场．这名21岁的中国人跑的几乎比炮弹还快，赛道上显示的12.94秒的成绩已经打破了12.95秒的奥运会纪录，但经过验证他是以12.91秒的成绩追平了世界纪录，他的平均速度达到了8.52m/s ．
某人走路的第1秒到第34秒的位移时间图象如图所示：
观察图象，回答问题：
问题1 从A 到B 的位移是多少？从B 到C 的位移是多少？
问题2 从A 到B 这一段与从B 到C 这一段，你感觉哪一段的位移变化得较快？
2．学生活动．
案例中，从B 到C 位移“陡增”，这是我们从图象中的直观感觉，那么如何量化陡峭程度呢？
（1）由点B 上升到C 点必须考察的大小，但仅注意到的大小能否精确量化BC 段陡峭的程度？为什么？
（2）还必须考察什么量？在考察的同时必须考察．
（3）曲线上BC 之间的一段几乎成了直线，由此联想到如何量化直线倾斜程度？
二、建构数学
1．一般地，函数在区间上的平均变化率为．
注意：平均变化率不能脱离区间而言．
s
2．平均变化率是曲线陡峭程度“数量化”．曲线陡峭程度是平均变化率“视觉化”．思考：
（1）若设，即将看作是对于的一个增量, ，
则在平均变化率为
x
x
f
x
x
f
x
y
x
x
x
f
x
f
∆
-
∆
+
=
∆
∆
=
-
-)
(
)
(
)
(
)
(
1
1
1
2
1
2
．
（2）在平均变化率的几何意义即为区间两端点连线所在直线斜率．
三、数学运用
例1某婴儿从出生到第12个月的体重变化如图所示，试分别计算从出生到
第3个月以及第6个月到第12个月该婴儿体重的平均变化率．
问题（1）如何解释例1中从出生到第3个月，婴儿体重平均变化率为1（月）？问题（2）本题中两个不同平均变化率的实际意义是什么？
讲评在不同的区间上平均变化率可能不同．
例2水经过虹吸管从容器甲流向容器乙，s后容器甲中的水的体积
（单位：），试计算第一个内的平均变化率．
例3已知函数
x
x
g
x
x
f2
)
(
,1
2
)
(-
=
+
=，分别计算在区间上，
函数及的平均变化率．
问题你在解本题的过程中有没有发现什么？
讲评一次函数在区间上的平均变化率等于它的斜率．例4已知函数，分别计算在下列区间上的平均变化率：
① ② ③ ④
【巩固练习】
1．函数y ＝f(x)的平均变化率的几何意义是指函数y ＝f(x)图象上两点，
P1(x1，f(x1))，P2(x2，f(x2))连线的 ．
2.在曲线上取点及它的附近点，
那么为
班级：高二（ ）班 姓名：____________
1．某物体位移公式为s ＝s(t)，从t0至t0＋Δt 这段时间内，下列说法正确的
有________．
①(t0＋Δt)－t0称为函数增量； ②t0即为函数增量
③Δs ＝s(t0＋Δt)－s(t0)称为函数增量； ④Δs Δt 称为函数增量
2.设函数，当自变量由到时，函数的改变量 。

3.函数在区间[，]上的平均变化率为
4.在经营某商品中，甲用5年时间挣到10万元，乙用5个月时间挣到2万元，如何比较和评价甲，乙两人的经营成果？
5.物体运动的方程为（位移单位是m ，时间单位是s ），
求物体在2 s 到3 s 的平均速度.
6.已知自由落体运动的方程是，求落体在到这段时间的平均速度.
7.已知函数，分别计算在下列区间上的平均变化率：
（1）[1，2]；（2）[1，1.5]。

2019-2020年高中数学第三章第2课瞬时变化率—导数（曲线上一点处
切线）教学案苏教版选修1-1
班级：高二（）班姓名：____________
教学目标：
1．理解并掌握曲线在某一点处的切线的概念；
2．理解并掌握曲线在一点处的切线的斜率的定义以及切线方程的求法；
3．理解切线概念的实际背景，培养学生解决实际问题的能力和培养学生转
化问题的能力及数形结合思想．
教学重点：理解并掌握曲线在一点处的切线的斜率的定义以及切线方程的求法．
教学难点：用“无限逼近”、“局部以直代曲”的思想理解某一点处切线的斜率．
教学过程：
一、问题情境
1．问题情境．
如何精确地刻画曲线上某一点处的变化趋势呢？
如果将点P附近的曲线放大，那么就会发现，曲线在点P附近看上去有点像是直线．
P P
如果将点P附近的曲线再放大，那么就会发现，曲线在点P附近看上去几乎成了直线．事实上，如果继续放大，那么曲线在点P附近将逼近一条确定的直线，该直线是经过点P的所有直线中最逼近曲线的一条直线．
因此，在点P附近我们可以用这条直线来代替曲线，也就是说，点P附近，
曲线可以看做直线（即在很小的范围内以直代曲）．
2．探究活动．
如图所示，直线为经过曲线上一点P的两条直线．
试判断哪一条直线在点P附近更加逼近曲线；
在点P附近能作出一条比更加逼近曲线的直线吗？
在点P附近能作出一条比更加逼近曲线的直线吗？
二、建构数学
切线定义：如图，设Q为曲线C上不同于P的一点，直线PQ称为曲线的割线．随着点Q 沿曲线C向点P运动，割线PQ在点P附近逼近曲线C，当点Q无限逼近点P时，
直线PQ最终就成为经过点P处最逼近曲线的直线l，这条直线l也称为曲线在点P处的切线．这种方法叫割线逼近切线．
思考：如上图，P为已知曲线C上的一点，如何求出点P处的切线方程？
三、数学运用
例1.试求在点(2,4)处的切线斜率．
小结求曲线上一点处的切线斜率的一般步骤：
（1）找到定点P的坐标，设出动点Q的坐标；
（2）求出割线PQ的斜率；
（3）当时，割线逼近切线，那么割线斜率逼近切线斜率．
思考：如上图，P 为已知曲线C 上的一点，如何求出点P 处的切线方程？ 解：设))(,()),(,(0000x x f x x Q x f x P ∆+∆+
x x f x x f x x x x f x x f k PQ ∆-∆+=-∆+-∆+=∴)()()()()(000000
例2．已知，求曲线在处的切线斜率和切线方程；
练习1.试求在x ＝1处的切线斜率．
练习2.已知，求曲线在处的切线斜率和切线方程．
2.已知曲线y ＝12x2－2上一点P(1，－32)，则过点P 的切线的倾斜角为________
3.函数在点(12，－2)处的切线方程为________．
4.函数的图像在处的切线的斜率是
5．判断曲线y ＝x3＋1在点P(－1,0)处是否有切线，如果有，求出切线的方程．。