A·
B
问题延伸一
如图，A和B两地之间 有两条河，现要在两 条河上各造一座桥MN 和PQ.桥分别建在何处 才能使从A到B的路径 最短？（假定河的两 岸是平行的直线，桥 要与河岸垂直）ຫໍສະໝຸດ AB思维分析
如图，问题中所走总路径是 AM+MN+NP+PQ+ＱＢ． 桥MN和PQ在中间，且方向不 能改变，仍无法直接利用“两 点之间，线段最短”解决问题， 只有利用平移变换转移到两侧 或同一侧先走桥长. 平移的方法有三种：两个桥长都平移 到A点处、都平移到B点处、MN平移 到A点处，PQ平移到B点处
A A1 A2
P Q B
3、确定PQ的位置，也确定了BQ和PQ，此时问题 可转化为由A点、P点和第一条河确定桥MN的位置.
A A1 A1 A
M P Q N P Q
连接A1P交A1的对岸于Ｎ点，在Ｎ点处建桥ＭＮ．
问题解决
沿垂直于河岸方向依次把 Ａ点A1、A2，使ＡA1＝ ＭＮ，A1A2＝ＰＱ ； 连接A2Ｂ交于Ｂ点相邻河 岸于Ｑ点，建桥ＰＱ； 连接A1Ｐ交A1的对岸于 Ｎ点，建桥ＭＮ； 从Ａ点到Ｂ点的最短路 径为ＡM＋MN＋ＮＰ＋ ＰＱ＋ＱＢ．
A A1 A2 M N P Q B
思维方法二
沿垂直于第一条河岸方 向平移Ａ点至A1点，沿垂直 于第二条河岸方向平移Ｂ点 至B1点，连接A1B1 分别交 A、B的对岸于N、P两点， 建桥MN和PQ. 最短路径 AM+MN+NP+PQ+QB转化为 AA1+A1B1+BB1.
A A1 M N P Q B
13.4 课题学习 ---最短路径问题（2）
博闻强记，多思多问， 取乎法上，持之以恒。 ————
问题 2 （造桥选址问题）如图，A和B两 地在一条河的两岸，现要在河上造一座 桥MN，桥造在何处可使从A到B的路径 AMNB最短？（假定河的两岸是平行的直 线，桥要与河垂直。）
a A M b
N
B
思维分析
A
1、如图假定任选位 置造桥ＭＮ，连接ＡＭ 和ＢＮ，从A到B的路径 是AM+MN+BN，那么怎 样确定什么情况下最短 呢？
Ｍ
Ｎ
B
2、利用“两点间，线段最短”解决 问题我们遇到了什么障碍呢？
思维火花
我们能否在不改变AM+MN+BN的前 提下把桥转化到一侧呢？什么图形变换能 帮助我们呢？
各抒己见
1、把A平移到岸边. 2、把B平移到岸边. 3、把桥平移到和A相连. 4、把桥平移到和B相连.
A
M N P Q B
思维方法一
1、沿垂直于第一条河岸的方向平移A点至 AA1使AA1=MN，此时问题转化为问题基本题 型两点（A1、B点）和一条河建桥（PQ）
A A1
B
2、利用基本问题的解决方法确定桥PQ： （1）在沿垂直于第二条河岸的方向平移A1至A2， 使A1A2=PQ. （2）连接A2B交A2的对岸Q点，在点处建桥PQ.
合作与交流
上述方法都能做到使AM+MN+BN不变吗？ 请检验.
1、2两种方法改变了.
怎样调整呢？ 把A或B分别向下或上平移一个桥长
那么怎样确定桥的位置呢?
问题解决
如图，平移A到A1，使AA1 等于河宽，连接A1B交河 岸于Ｎ作桥ＭＮ，此时路 径ＡＭ＋ＭＮ＋ＢＮ最短.
A
A1
M N
Ｍ１ Ｎ１
B
理由；另任作桥Ｍ１Ｎ１，连接ＡＭ１，ＢＮ１，Ａ１Ｎ１.
由平移性质可知，ＡＭ＝Ａ１Ｎ，ＡＡ１＝ＭＮ＝Ｍ１Ｎ１，ＡＭ１＝Ａ１Ｎ１. AM+MN+BN转化为ＡＡ１＋Ａ１Ｂ，而ＡＭ１＋Ｍ１Ｎ１＋ＢＮ１ 转 化为ＡＡ１＋Ａ１Ｎ１＋ＢＮ１. 在△Ａ１Ｎ１Ｂ中，由三角形三边关系知A1N1+BN1＞A1B 因此ＡＭ１＋Ｍ１Ｎ１＋ＢＮ１＞ AM+MN+BN
作法：1.将点B沿垂直与河岸的方向平移一个河宽到E， 2.连接AE交河对岸与点M, 则点M为建桥的位置，MN为所建的桥。 证明：由平移的性质，得 BN∥EM 且 BN=EM, MN=CD, BD∥ BD=CE, 所以A.B两地的距:AM+MN+BN=AM+MN+EM=AE+MN, 若桥的位置建在CD处，连接AC.CD.DB.CE, 则AB两地的距离为： M C AC+CD+DB=AC+CD+CE=AC+CE+MN, 在△ACE中，∵AC+CE＞AE, N D ∴AC+CE+MN＞AE+MN, E 即AC+CD+DB ＞AM+MN+BN 所以桥的位置建在CD处，AB两地的路程最短。
思维方法三
沿垂直于河岸方向依次把 B点平移至B１、B２，使 BB１＝PQ，B１B２ ＝ MN ； 连接B２A交于A点相邻河 岸于M点，建桥MN； 连接B１N交B１的对岸于P 点，建桥PQ； 从Ａ点到Ｂ点的最短路径 为ＡM＋MN＋NP＋ＭＮ ＋ＮＰ＋ＰＱ＋ＱＢ转化 为AB２+B２B１+B１B．
A
M N P Q B2 B1 B