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在上述三个定理中, 我们都可举出函数列不一致收
敛但定理结论成立的例子. 在今后的进一步学习中 (如实变函数论)将讨论使上述定理成立的较弱条件, 但在目前情况下, 只有满足一致收敛的条件, 才能
保证定理结论的成立. 下面讨论定义在区间 [a , b] 上函数项级数
u1 ( x ) u2 ( x ) un ( x ) (5)
§2 一致收敛函数列与 函数项级数的性质
一致收敛性的重要性在于可以将通
项函数的许多解析性质遗传给和函数，
如连续性、可积性、可微性等，这在
理论上非常重要.
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定理8 ( 极限交换定理 ) 设函数列
{ fn } 在
(a , x0 ) ( x0 , b) 上一致收敛于 f ( x ) , 且对每个 n,


证 设 lim f n ( x0 ) A, g 为 f n 在 [a , b] 上极限函数,
n
下面证明函数列 { f n } 在区间 [a , b]上收敛, 且其极限
函数的导数存在且等于g.
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证 设 lim f n ( x0 ) A, g 为 f n 在 [a , b] 上极限函数,
0
1
的充要条件是 lim
n
n
2n
0.
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{ f n ( x )} 在 [0, 1] 上一致收敛于 0 的充要条件是 n 0 (n )

1
0
f n ( x )dx f ( x )dx 0 的充要条件是 lim
0
n
1
n
2n
0.
这样,当 n 1 时, 虽然 { f n ( x )}不一致收敛于 f ( x ) ,

3

3
和 | a N 1 A |

3
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| f ( x ) A || f ( x ) f N 1 ( x ) | | f N 1 ( x ) a N 1 | | a N 1 A |
又因为 lim f N 1 ( x ) a N 1 , 故存在 0 , 当 x x

x
x0
g ( t )dt . 所以上式左边极限存在, 记为 f ,于是 f ( x ) lim f n ( x ) A g( t )dt .
n x0 x
由 g 的连续性及微积分学基本定理得 f g .
这就证明了等式(4).
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注 请注意定理中的条件 x0 为 { f n } 的收敛点的作用.
x x0
lim f n ( x ) an , 则 lim an和lim f ( x ) 均存在且相等. 即
n
x x0
x x0 n
lim lim f n ( x ) lim lim f n ( x ).
n x x0
(1)
证 先证 {an }是收敛数列. 对任意 0 , 由于 { f n } 一 致收敛, 故存在正整数 N, 当 n>N 及任意正整数 p, 对一切 x (a , x0 ) ( x0 , b) 有
0
0 | x x0 | 时,也有 | f N 1 ( x ) a N 1 |
这样, 当 x 满足 0 x x0 时,

3
.
| f ( x ) A || f ( x ) f N 1 ( x ) | | f N 1 ( x ) a N 1 |
n
n
fn
又 sup | f n ( x ) 0 | n
x[0, 1]
图 13 6
因此, { f n ( x )} 在 [0, 1] 上一致
O
1 2n
1 n
1
x
收敛于 0 的充要条件是 n 0( n ) .
又因 f n ( x )dx
0
1
n
2n
,故

1
0
f n ( x )dx f ( x )dx 0
n { x } 的各项在 ( 1, 1] 上都是连续的, 但 例如: 函数列
0, 1 x 1, 其极限函数 f ( x ) 在 x 1 时不连 1, x 1
n { x } 在 ( 1, 1] 上不一致收敛. 续, 所以
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定理10 (可积性) 若函数列 敛, 且每一项都连续, 则
这就证明了等式 (3 ). 这个定理指出: 在一致收敛的条件下, 极限运算与 积分运算的顺序可以交换.
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例1 设函数
1 0 x , 2n n x , 2n 1 1 f n ( x ) 2 n 2n n x , x , 2n n 1 x 1, 0, n
n x x0
下面证明 lim f ( x ) lim lim f n ( x ) A.
x x0 x x0 n
注意到
| f ( x) A |
| f ( x ) f N 1 ( x ) | | f N 1 ( x ) a N 1 | | a N 1 A |
| a N 1 A |
x x0

3


3


3
,
这就证明了 lim f ( x ) A.
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定理指出: 在一致收敛的条件下, { f n ( x )} 中关于独 立变量 x 与 n 的极限可以交换次序, 即(1)式成立.
fn ( x) 类似地, 若 f n ( x ) 在 (a, b) 上一致收敛, 且 lim
n x b
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定理9 (连续性) 若函数列
{ f n } 在区间 I上一致收
敛, 且每一项都连续, 则其极限函数 f 在 I 上也连续. 证 设 x0 为 I 上任一点. 由于 lim f n ( x ) f n ( x0 ), 于 x x
0
是由定理 8 知
x x0
x x0
只需证明不等式右边的每一项都可以小于事先给定
的任意正数即可.
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| f ( x ) A || f ( x ) f N 1 ( x ) | | f N 1 ( x ) a N 1 | | a N 1 A |
an 收敛于A , 因此对任 由于 f n ( x ) 一致收敛于 f ( x )，
| f n ( x ) f n p ( x ) | .
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从而
| an an p | lim | f n ( x ) f n p ( x ) | .
x x0
于是由柯西准则可知 {an }是收敛数列, 设 lim an A,
n
即 lim lim f n ( x ) A,
的连续性、逐项求积与逐项求导的性质, 这些性质
可根据函数列的相应性质推出.
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定理12(极限交换定理、连续性定理)
1. 若函数项级数 un ( x ) 在 U ( x0 ) 一致收敛, 且对
lim un ( x ) an , 则有 每个 n , x x
{ f n } 在 [a , b] 上一致收
lim f n ( x ) dx lim f n ( x ) dx .
n a a n
b
b
(3)
证 设 f 为函数列 { f n } 在 [a , b] 上的极限函数. 由定理 9知
f 在 [a , b] 上连续, 从而 f n ( n 1,2, ) 与 f 在
意 0 , 存在正数 N , 当 n N 时, 对任意 x (a , x0 )
( x0 , b) , 有
3 同时成立. 特别当 n N 1 时, 有 | f N 1 ( x ) f ( x ) | | f n ( x ) f ( x ) |

和 | an A |
lim f ( x ) 也存在, 且
n
lim f ( x ) lim f n ( x0 ) f ( x0 ),
因此 f ( x ) 在 x0 上连续.
定理9可以逆过来用: 若各项为连续函数的函数 列在区间 I 上其极限函数不连续, 则此函数列在区
间 Iቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ上一定不一致收敛.
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[a , b] 上都可积. 于是(3)变为
lim f n ( x ) dx f ( x ) dx .
n a a
b
b
(3)
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因为在 [a, b] 上 f n一致收敛于f , 故对于任意 0 ,
存在 N , 当 n N 时, 对一切 x [a , b], 都有
与
在 [0, 1] 上都收敛于0, 由于
1 lim max | f n( x ) f ( x ) | , n x[0, 1] 2
所以导函数列 { f n( x )} 在 [0,1] 上不一致收敛, 但有
lim f n( x ) 0 [lim f n ( x )] .
n n
| f n ( x ) f ( x ) | .
再根据定积分的性质, 当 n N 时有

b
a
f n ( x ) f ( x ) dx
a
b

b
a
( f n ( x ) f ( x )) dx
f n ( x ) f ( x ) dx (b a ),
a
b
x a
lim f n ( x ) lim lim f n ( x ); 存在, 则有 lim