用特征方程与特征根解数列线性递推关系式的通项公式一.特征方程类型与解题方法类型一 递推公式为An+2＝aAn+1＋bAn特征方程为 X 2=aX+b 解得两根X 1 X 2(1)若X 1≠X 2 则A n =pX 1n +qX 2n(2)若X 1=X 2=X 则A n =(pn+q)X n(其中p.q 为待定系数，由A 1.A 2联立方程求得) (3)若为虚数根，则为周期数列 类型二 递推公式为特征方程为X =dc b a X X ++ 解得两根X 1 X 2(1)若X 1≠X 2 则计算2111x A x A n n --++=21x d cA b aA x d cA baA n n n n -++-++=k21x A x A n n --接着做代换B n =21x A x A n n -- 即成等比数列（2）若X 1=X 2=X 则计算x A n -+11=x d cA b aA n n -++1=k+x A n -1接着做代换B n =xA n -1即成等差数列(3)若为虚数根，则为周期数列类型三 递推公式为特征方程为X =dc b ax X ++2解得两根X 1 X 2 。

然后参照类型二的方法进行整理类型四 k 阶常系数齐次线性递归式 A n+k =c 1A n+k-1+c 2A n+k-2+…+c k A n 特征方程为 X k = c 1X k-1+c 2X k-2+…+c k(1) 若X 1≠X 2≠…≠X k 则A n =X k n 11+X k n 22+…+X k k nk(2) 若所有特征根X 1,X 2,…,X s.其中X i 是特征方程的t i 次重根,有t 1+t 2+…+t s =k则A n=X n Q n)(11+X n Q n )(22+…+X n Q s ns)( ，其中)(n Q i=B 1+n B 2+…+n B ti ti 1-（B 1,B 2，…，B ti 为待定系数）二.特征方程的推导及应用类型一、p ，q 均为非零常数）。

先把原递推公式转化为)(112112n n n n a x a x a x a -=-+++，其中21,x x 满足⎩⎨⎧-==+q x x px x 2121，显然21,x x 是方程02=--q px x 的两个非零根。

1） 如果0112=-a x a ，则0112=-++n n a x a ，n a 成等比，很容易求通项公式。

2）如果0112≠-a x a ，则{112++-n n a x a }成等比。

公比为2x ，所以1211211)(-+-=-n n n x a x a a x a ，转化成：)(1122221121a x a x a x x x a n nn n -=---+， ( I )又如果x x x ==21，则{121-+n n x a }等差，公差为)(112a x a -，所以))(1(11122121a x a n a x a n n --+=-+， 即：1211221)])(1([-+--+=n n x a x a n a a12211222])()2([---+=n n x x a x a n x a aIi)如果21x x ≠，则令1121+-+=n n n b x a ，A x x =21，B a x a =-)(112,就有 B Ab b n n =-+1，利用待定系数法可以求出n b 的通项公式21211212121221)()()1(x x x a x a x x x x x x a b n n -----=-所以2221211212121221])()()1([-------=n n n x x x x a x a x x x x x x a a ，化简整理得：1221211112121)1(----+--=n n n x x x a x a x x x x a a ，小结特征根法：对于由递推公式n n n qa pa a +=++12，βα==21,a a 给出的数列{}n a ，方程02=--q px x ，为特征方程。

若21,x x 是特征方程的两个根，当21x x ≠时，数列{}n a 的通项为1211--+=n n n Bx Ax a ，其中A ，B 由βα==21,a a 决定（即把2121,,,x x a a 和2,1=n ，代入1211--+=n n n Bx Ax a ，得到关于A 、B 的方程组）；当21x x =时，数列{}n a 的通项为12)(-+=n n x Bn A a ，其中A ，B 由βα==21,a a 决定（即把2121,,,x x a a 和2,1=n ，代入12)(-+=n n x Bn A a ，得到关于A 、B 的方程组）。

简例应用（特征根法）：例1：数列{}n a ：),0(025312N n n a a a n n n ∈≥=+-++， b a a a ==21, 解：特征方程是：02532=+-x x 32,121==x x , ∴1211--+=n n n Bx Ax a 1)32(-⋅+=n B A 。

又由b a a a ==21,，于是⎩⎨⎧-=-=⇒⎪⎩⎪⎨⎧+=+=)(32332b a B a b A B A b BA a 故1)32)((323--+-=n n b a a b a 例2：设p 、q 为实数，α、β是方程x 2-px+q=0的两个实数根，数列{x n }满足x 1=p,x 2=p 2-q,x n =px n-1-qx n-2(n=3,4,5……)求数列{x n }的通项公式。

解： 显然x n =px n-1-qx n-2(n=3,4,5……)的特征根方程就是x 2-px+q=0，而α、β是方程x 2-px+q=0的两个实数根，所以可以直接假设：⑴ 当α=β时，设1)(-+=n n Bn A x α，因为x 1=p,x 2=p 2-q ，所以⎩⎨⎧-=+=+q p B A p B A 2)2(α 解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=+-=ααααpq P B qP P A 222 ∴=n x 222})(2{---++-n n p q p q p p ααα⑵ 当βα≠时，设11--+=n n n B A x βα，因为x 1=p,x 2=p 2-q ，所以 ⎩⎨⎧-=+=+qp B A p B A 2βα 解得αββ----=q p p A 2，αβα---=q p p B 2 ∴=n x 12-----n q p p ααββ+12----n q p p βαβα类型二、解法：如果数列}{n a 满足：已知1a ，且对于N ∈n ，都有hra qpa a n n n ++=+1（其中p 、q 、r 、h 均为常数，且r ha r qr ph -≠≠≠1,0,），那么，可作特征方程hrx qpx x ++=,当特征方程有且仅有一根0x 时,如果01x a =则0x a n =；如果01x a ≠则01n a x ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭是等差数列。

当特征方程有两个相异的根1x 、2x 时，则12n n a x a x ⎧⎫-⎨⎬-⎩⎭是等比数列。

（证明方法如同类型一，从略）例1：已知数列}{n a 满足：对于,324,N 1++=∈-n n n a a a n 且,31=a 求}{n a 的通项公式.解: 数列}{n a 的特征方程为,324++=x x x 变形得,04222=-+x x 其根为.2,121-==λλ故特征方程有两个相异的根，则有.N ,)221211(2313)(11212111∈⋅-⋅-⋅+-=--⋅--=--n r p r p a a c n n n λλλλ∴.N ,)51(521∈-=-n c n n∴.N ,1)51(521)51(52211112∈----⋅-=--=--n c c a n n n n n λλ 即.N ,)5(24)5(∈-+--=n a nn n例2：已知数列}{n a 满足：对于,N ∈n 都有.325131+-=+n n n a a a（1）若,51=a 求;n a （2）若,31=a 求;n a （3）若,61=a 求;n a（4）当1a 取哪些值时，无穷数列}{n a 不存在？ 解：作特征方程.32513+-=x x x 变形得,025102=+-x x特征方程有两个相同的特征根.5=λ(1)∵∴=∴=.,511λa a 对于,N ∈n 都有;5==λn a (2)∵.,311λ≠∴=a a ∴λλr p r n a b n --+-=)1(1151131)1(531⋅-⋅-+-=n ,8121-+-=n 令0=n b ，得5=n .故数列}{n a 从第5项开始都不存在， 当n ≤4，N ∈n 时，51751--=+=n n b a n n λ. (3)∵,5,61==λa ∴.1λ≠a ∴.,811)1(11N n n r p r n a b n ∈-+=--+-=λλ令,0=n b 则.7n n ∉-=∴对于.0b N,n ≠∈n ∴.N ,7435581111∈++=+-+=+=n n n n b a nn λ (4)、显然当31-=a 时，数列从第2项开始便不存在.由第（1）小题的解答知，51=a 时，}{n a 是存在的，当51=≠λa 时，有.N ,8151)1(111∈-+-=--+-=n n a r p r n a b n λλ令,0=n b 则得N ,11351∈--=n n n a 且n ≥2. ∴当11351--=n n a （其中N ∈n 且N ≥2）时，数列}{n a 从第n 项开始便不存在。

于是知：当1a 在集合3{-或,:1135N n n n ∈--且n ≥2}上取值时，无穷数列}{n a 都不存在。

例3: 数列).1(0521681}{111≥=++-=++n a a a a a a n n n n n 且满足记).1(211≥-=n a b n n求数列}{n b 的通项公式及数列}{n n b a 的前n 项和.n S 解：由已知,得n n n a a a 816521-+=+,其特征方程为x x x 81652-+=解之得,211=x 或452=x∴n n n a a a 816)21(6211--=-+,nn n a a a 816)45(12451--=-+ ∴452121452111--⋅=--++n n n n a a a a , ∴n n n n a a a a 24)21(45214521111-=•--=---∴42521++=-nn n a )1(34231≥+⋅=n b n n ,121211+=-=nn n n n b b a a b 得由n n n b a b a b a S +++= 2211故121()2n b b b n=++++1(12)53123n n -=+-1(251)3n n =+-例4：各项均为正数的数列{}n a 中都有的正整数且对满足q p n m q p n m b b a a ,,,,,11+=+===+++)1)(1(m n m n a a a a )1)(1(q p q p a a a a +++， 当时，求通项54,21==b a n a解：由=+++)1)(1(m n m n a a a a )1)(1(q p q p a a a a +++得=+++)1)(1(11a a a a n n )1)(1(2121a a a a n n +++--化间得21211++=--n n n a a a ，作特征方程212++=x x x ，11=x ，12-=x 。