第5章平均指标和变异指标【教学内容】本章包括平均指标和变异指标两部分内容,阐述了平均指标的概念和作用;各种平均数(算术平均数、调和平均数、几何平均数、众数和中位数)的计算原则、方法与应用条件;变异指标的作用、主要的变异指标(全距、平均差、标准差及其系数)的计算方法和运用条件。
【教学目标】1.理解平均指标和变异指标的概念、意义、作用；2.明确其种类及其区别；3.掌握平均指标和变异指标的计算方法、应用的原则和条件、平均指标与变异指标的关系。
【教学重点、难点】1.平均指标的特点和计算、应用原则；2.加权算术平均数；3.平均指标与变异指标的关系；4.标准差及其系数第一节平均指标的概念和作用一、平均指标的概念在社会经济现象的同质总体中,同一标志在各单位的数量表现不尽相同,标志值大小各异,这就需要利用平均指标来代表总体的一般水平。
总体各单位的同质性和某种标志值在各单位的差异性,是计算平均数的前提条件。
平均指标,是将同类社会经济现象总体内各单位某一数量标志值的差异抽象化的代表性水平指标,其数值表现为平均数。
平均指标一般是一种具有单位名称的数,它的计算单位是一个复合单位。
平均指标是社会经济统计中最常用的综合指标之一。
平均指标的显著特点是,把同质总体内各单位在某一数量标志值上的差异抽象化了,是对各单位具体数值的平均;它不是某一单位的具体数值,而是代表总体某种数量标志值的一般水平,是总体各单位的代表值。
需要注意的是,掩盖总体内部各单位某种数量标志值的差异,是平均数的局限性,必须充分认识,以防误用。
二、平均指标的作用平均指标由于能综合反映所研究现象的总体在具体条件下的一般水平,因此,在统计研究中,以及各项经济管理和分析中被广泛应用。
其作用概括起来主要有:1、利用平均指标,可以了解总体次数分布的集中趋势。
2、利用平均指标,可以对若干同类现象在不同单位、地区间进行比较研究。
3、利用平均指标,可以研究某一总体某种数值的平均水平在时间上的变化,说明总体的发展过程和趋势。
4、利用平均指标,可以分析现象之间的依存关系。
5、平均指标可作为某些科学预测、决策和某些推算的依据。
第二节算术平均数一、算术平均数的基本形式算术平均数是统计中最基本、最常用的一种平均数。
它的基本计算形式是用总体的单位总数去除总体的标志总量。
算术平均数的基本计算公式是:在社会经济现象中,总体的标志总量常常是总体单位标志值的算术总和。
例如,工人工资总额是各个工人工资的总和;粮食总产量是各块地播种面积产量的总和等。
在掌握了标志总量和总体单位总数的资料后,就可以按照[公式5-1]计算算术平均数。
二、算术平均数的计算方法（一）简单算术平均数如果所掌握的资料是没有经过统计分组的总体各单位的标志数值,则先将这些标志值相加得出标志总量,再用总体单位总数去除,就得出算术平均数。
这样计算出来的算术平均数称为简单算术平均数。
其计算公式为:用符号表示为:[例5-1]红光机械厂第一生产班组有10名工人,生产某种零件,每个工人的日产量分别为45件、48件、52件、62件、69件、44件、52件、58件、38件、64件。
试用简单算术平均数法计算工人平均日产量（）。
工人平均日产量:（二）加权算术平均数有时我们研究的统计总体包括许多单位,其中有些单位的标志值相同,另一些单位的标志值不同。
在这种情况下,就需要首先对总体各单位的标志值进行分组,编成单项变量数列或组距变量数列,再用加权算术平均数的方法计算平均数。
[例5-2]某厂机械车间有200名工人,每人每日生产某种零件数的单项数列及计算见表5-1,试求平均每个工人日产零件数。
平均每个工人日产零件数:表5-1 身体发育状况调查表(一览表式举例)[例5-3]某月某企业工人工资资料见表5-2,求工人月平均工资。
工人月平均工资:表5-2 某月某企业工人工资情况三、算术平均数的几个重要数学性质（一）平均数与次数和的乘积等于所有变量值(数量标志值)的总和有时我们研究的统计总体包括许多单位,其中有些单位的标志值相同,另一些单位的标志值不同。
在这种情况下,就需要首先对总体各单位的标志值进行分组,编成单项变量数列或组距变量数列,再用加权算术平均数的方法计算平均数。
这个性质说明,平均数是所有变量值的代表数值,并且根据平均数与次数可以推算出数量标志值的总和。
（二）所有变量值与平均数的离差之和等于零在理论上,这个性质说明,在算术平均数中,变量值之间高于或低于平均数的偏差可以相互抵消。
（三）各个变量值与平均数离差平方之和为最小第三节调和平均数一、调和平均数的概念调和平均数是平均数的一种,它是根据变量值的倒数计算的,是变量值倒数的算术平均数的倒数,故又称倒数平均数。
在社会经济统计中,往往由于缺乏总体的单位数资料,不能直接采用算术平均数计算,这时,就需要把算术平均数的形式加以改变,而采用另一种计算方法。
所以,在实际工作中,它主要是作为算术平均数的变形来使用。
其主要特点是用特定的权数(m=Xf)加权,其变量值多为相对数和平均数。
在计算平均数时,由于受到所掌握的资料的限制,往往不能直接用加权算术平均数计算,而需要按照平均数基本公式,算出所需总体单位数,或相当于总体单位数的数字。
这时所用的方法,就是加权调和平均数的方法。
调和平均数有简单调和平均数和加权调和平均数两种。
二、简单调和平均数在市场上(如蔬菜市场)常常早上1元可买到1.5千克,即每千克0.67元;中午1元可买到2千克,即每千克0.50元;晚上1元可买到2.5千克,即每千克0.40元。
要计算这一天平均价格是多少有以下两种方法。
先求出每千克的价格,然后求平均数,即用简单算术平均数方法:用总金额除以总数量,即用简单调和平均数方法:这两种方法计算出的平均价格为什么不同呢?因为前一种平均价格是用简单算术平均法计算的,后一种平均价格是用简单调和平均数方法计算的。
前一种方法是依据早、中、晚的单价简单平均计算的,它只受早、中、晚单价的影响,假设早、中、晚买的重量相同(1千克),就不受重量的影响;而后一种简单调和平均数,不仅受早、中、晚不同价格的影响,还受早、中、晚买的商品重量不同的影响,所以两种方法计算出的平均价格是不同的。
由于晚上买价较低从而相同金额可以购买的重量较多(1元可买到2.5千克),后一种方法受重量因素的影响,因此用后一种方法计算出的平均价格低于用前一种方法计算出的平均价格(0.50元<0.52元)。
哪种平均价格更具代表性呢?在销售量不同的情况下,应考虑销售量这个因素对平均价格的影响,故用第二种方法计算出的平均价格(0.50元/千克)更具代表性。
简单调和平均数的计算公式为:式中:m为标志总量(m=Xf);其他符号含义同前。
三、加权调和平均数加权调和平均数实际上是加权算术平均数的变形。
在实际工作中,经常会遇到只有各组标志总量和各个组变量值,缺少总体单位数资料的情况,这时就需要利用调和平均数公式计算平均数。
它的计算方法是以标志总量为权数,其计算公式为:式中:m为标志总量(m=Xf);其他符号含义同前。
[例5-4]某农产品收购部门某月购进三批同种产品,每批产品的价格及收购金额见表5-3,求三批产品的平均价格。
平均每千克的价格(H)为:式中:m为收购金额,即权数;X为变量值;分子是收购总金额,即总体标志总量;分母为收购量之和,即总体单位总数。
第四节几何平均数一、几何平均数的概念和特点几何平均数不同于算术平均数和调和平均数,它是n个变量值连乘积的n次方根,是计算平均比率和平均速度时比较适用的一种方法,符合人们的认识规律。
例如,有甲、乙两种商品,甲商品价格从200元上涨到250元,其价比为1.25(250÷200),其上涨率为25%;而乙种商品价格则从250元下降到200元,其价比为0.8(200÷250),即下降了20%。
如果单纯从价格变动来看两者拉平,应当是没有变动,这两种价比按算术平均法计算平均价比为1.025((1.25 +0.8)÷2),即上涨了2.5%。
如果按调和平均法计算平均价比为:二、几何平均数的计算方法（一）简单几何平均数简单几何平均数是n个变量值连乘积的n次方根。
其计算公式：式中:G为几何平均数;X为各个变量值;n为变量值的个数;∏为连乘符号。
[例5-5]某机械厂生产机器,设有毛坯、粗加工、精加工、装配四个连续作业的车间。
某批产品其毛坯车间制品合格率为97%,粗加工车间制品合格率为93%,精加工车间制品合格率为91%,装配车间产品合格率为87%,求各车间制品平均合格率。
由于各车间制品的合格率总和并不等于全厂产品的总合格率,后续车间的合格率是在前一车间制品全部合格基础上计算的。
全厂产品总合格率等于各车间制品合格率的连乘积,故应采用几何平均法计算各车间制品平均合格率。
车间制品平均合格率:为进一步了解它的实质,采用对数计算:按对数方法计算车间产品平均合格率见表5-4。
表5-4 车间产品平均合格率计算表求反对数得产品平均合格率:G=91.93%这种计算,可以直接运用计算器。
（二）加权几何平均数当计算几何平均数的每个变量值的次数不相同时,则应用加权几何平均法,其计算公式为:式中:f为变量值的次数;∑f为次数总和;其他符号含义同前。
将上述公式两边取对数,则:可见,加权几何平均数的对数,就是各变量值对数的加权算术平均数。
求出几何平均数的对数之后,再求反对数找出真数即为几何平均数。
[例5-6]某建设银行某项投资的年利率是按复利计算的,25年的年利率情况是:1年为8%、4年为5%、8年为4%、10年为3%、2年为2%,求平均年利率。
在计算平均年利率时,根据研究对象性质必须先将各年利率加100%换算成各年本利率,然后按加权几何平均法计算平均年本利率,再减100%得平均年利率,现列表计算,见表5-5。
求反对数得本利率:G=103.75%平均年利率=103.75%-100%=3.75%这就是说,25年间的年平均本利率为103.75%,年平均利率为3.75%。
第五节众数和中位数一、众数在观察某一总体时,最常遇到的标志值在统计上称为众数。
换句话说,众数就是在一组变量值中出现次数最多的那个变量值。
它是总体中最常遇到的变量值,是最普遍、最一般的,因而,可以用来说明社会经济现象的一般水平。
在实际工作中,众数被广泛运用。
例如,消费者需要的鞋、袜、帽等最普遍的尺码,集市贸易市场某种商品最普遍的价格水平,企业工人中最普遍的工资水平等,常用它来说明总体各单位某一数量标志值的一般水平。
但必须指出,众数只有在总体内单位充分多时才有意义。
一般来说,众数的确定比较简单,不需要进行复杂的计算,只要大量观察就可得知。
当掌握原始资料时,只要直接观察各数值即可得知众数,不必一一列举,如根据单项数列确定众数,只需要观察找出次数最多的那个变量值即可。