a0q
(t )
x (t )
方程两边积分三次得到
q(t)
a2
d 2q(t) dt2
a1
dq(t) dt
a0q(t)
x(t)dt
说明 q(t) 是某信号积分三次得到，可以画出部分框图。
q'''(t) q''(t) q'(t) q(t)
信号与系统
四．系统模拟
第一个积分器的输入信号实际是
q
不接触环路: 环路之间没有公共节点。
信号与系统
三．Mason公式
Mason公式为
M
H (s)
Y (s)
Pk (s)k (s)
k1
X (s)
(s)
其中 H (s) (s) Pk(s) k (s)
从输入节点到输出节点之间的系统函数
特征式 (s) 1 Li LiLj LiLj Lk
从输入节点到输出节点的第k条前向通路增益
X 4 X1H14 X 2 H 24 X 3H 34
信号与系统
三．Mason公式
节点: 支路:
表示系统中的变量或信号的点称为节点。
连接两节点间的有向线段称为支路。 支路增益就是两节点间的增益。
输入节点（源点）: 仅有输出支路的节点， 一 般为系统的输入。
输出节点（阱点）: 仅有输入支路的节点，一般为系统的输出
信号与系统
信号与系统
一．系统方框图
一个系统的方框图可由许多子系统的框图作适当联接组成。
子系统的基本联接方式有级联、并联和反馈三种。
（1）级联
（2）并联
等效系统函数为
H (s) H1(s)H2 (s)
等效系统函数为
H (s) H1(s) H2 (s)
信号与系统
一．系统方框图
（3）反馈
等效系统函数为
y(s)
X (s)
a
y(s)
信号与系统
复习：laplace变换的积分性质（page.180）
f (t) F(s)
t
f ()d
0 t
f ()d
F(s) s
F(s) 1 0
s s f ()d
信号与系统
积分器
零状态
t
y(t) x(t)dt 0
时域
x(t)
y(t)
非零状态
y(t) t x(t)dt x(1) (0) 0
混合节点:
既有输入支路又有输出支路的节点
信号与系统
三．Mason公式
通路: 从任一节点出发沿着支路箭头方向连续地穿过 各相连支路到达另一节点的路径称为通路。
前向通路: 从输入节点到输出节点的通路。
前向通路中通过任何节点不多于一次。
开通路: 如果通路与任一节点相遇不多于一次，则称为开通路。
闭通路: 如果通路的终点就是通路的起点，而且与其余节点相遇不 多于一次，则称为闭通 路、回路、环路或简称为环。
d3q(t) dt3
a2
d2q(t) dt2
a1
dq(t) dt
a0
q(t)
x(t)
由线性时不变系统的性质知道存在下面关系
d2q(t) dq(t) y(t) b2 dt2 b1 dt b0q(t)
信号与系统
信号与系统
信号与系统
四．系统模拟
d
3q(t) dt3
a2
d
2q(t) dt2
a1
dq(t) dt
H(s)1Fra bibliotekH1(s) H1(s)H2
(s)
对于负反馈，总有
H(s)
H1(s)
1 H1(s)H2(s)
对于负反馈，总有
H(s)
H1(s)
1 H1(s)H2(s)
信号与系统
一．系统方框图
基本运算器模型
加法器
x1(t) x2 (t)
标量乘 法器
x(t)
a
y(t)
t域
y(t)
X1(s) s 域 X2 (s)
其中L1、L2，L1、L3是两两不接触的回路，没有三三不接触的回路。
信号与系统
三．Mason公式
所以流图的特征式为
1 (H2G2 H4G4 H5G5 H2 H3 H4 H5G1) (H2 H4G2G4 H2G2 H5G5 )
前向通路只有一条，即
X X 1 X 2 X 3 X 4 Y
四．系统模拟
对应的信号流图为
1 其中 s 表示积分器（拉普拉斯变换的性质）
信号与系统
二．信号流图
系统的信号流图是用一些点和有向线段来描述系统。变成信号流图形式 就是用线段端点代表信号，称为节点。有向线段表示信号传输的路径和方
向，一般称为支路，所以每一条支路相当于乘法器。
信号流图中的节点可以有很多信号输入，它们是相加的 关系，而且可以有不同方向输出。
三条前向通路之(2)
X X1 X4 Y
P2 H1H 5H 6
2 1
信号与系统
三．Mason公式
三条前向通路之(3)
X X 1 X2 Y
P3 H1 H 2 H 7
所以系统函数为
3 1 H4G1
H
H1H 2 H 3H 4 H5 H1H5 H 6 H1H 2 H 7 1 H 4G1
信号与系统
三．Mason公式
例： 用Mason公式求图所示系统的系统函数
解：先求环路，一共有4个环路，即 L1 ( X 3 X 4 X 3 ) H4G1
L2 ( X1 X 2 X 3 X 4 Y X1 ) H2 H3 H4 H5G2 L3 ( X1 X 4 Y X1 ) H5 H6G2 L4 ( X1 X 2 Y X1 ) H2 H7G2
'(t)
x(t)
a2
d 2q(t) dt2
a1
dq(t dt
)
a0q
(t
)
可以画出部分系统框图
q dq q
信号与系统
四．系统模拟
d 2q(t) dq(t) y(t) b2 dt2 b1 dt b0q(t)
可以画出完整的系统框图
b2
b1
x(t)
yq1t
b0
y(t)
a2 a1 a0
信号与系统
信号与系统
信号与系统
四．系统模拟
例： 用加法器、标量乘法器和积分器三种部件模拟下面微分方程描
述的系统，即画出该系统的时域和s域模拟图，并求解系统函数。
d3 y(t) dt3
a2
d2 y(t) dt2
a1
dy(t) dt
a0
y(t )
b2
d2 x(t) dt2
b1
dx(t) dt
b0 x(t)
解：首先考虑下面的系统
k1
X (s)
(s)
Ø 系统模拟（t s ）
x(1) (0)
x(t)
y(t)
x(1) (0)
s域 X (s) 1 Y (s)
s
s
X (s)
1 s
Y (s)
信号与系统
四．系统模拟
系统模拟指用一些标准的部件通过一定的连接方式实 现同样的系统函数。 对于连续时间动态LTI系统的模拟，通常由加法器、 标量乘法器和积分器三种部件构成。 系统模拟可以理解为就是用这三种部件画出系统的信 号流图或是系统的方框图，使得流图或方框图实现了 同样的系统函数。
其中L1、L4是两两不接触的回路
信号与系统
三．Mason公式
可以求得流图的特征式
1 H4G1 H 2 H 3H 4 H 5G2 H 5H 6G2 H 2 H 7G2 H 2 H 4 H 7G1G2
三条前向通路之(1)
P1 H1H 2 H 3H 4 H5
X X1 X 2 X 3 X 4 Y 1 1 0 0 1
所有回路都和这条前向通路接触，所以
P1 H1H 2 H3H 4H5 1 1 0 0 1
信号与系统
三．Mason公式
系统函数为
H
H1H 2H3H4H5
1 H2G2 H 4G4 H 5G5 H 2 H 3H 4 H 5G1 H 2 H 4G2G4 H 2 G2H 5G 5
1 H4G1 H 2 H 3H 4 H 5G2 H 5H 6G2 H 2 H 7G2 H 2 H 4 H 7G 1G2
信号与系统
课程小结
Ø 系统方框图
级联、并联、反馈
Ø 信号流图
节点、支路、增益、通路、环路......
Ø Mason公式
M
H (s)
Y (s)
Pk (s)k (s)
在 (s) 中，将与第k条前向通路相接触
的回路所在项去掉后余下的部分
Li
所有不同回路增益之和
Li Lj 所有两两互不接触回路增益乘积之和
Li Lj Lk 所有三个互不接触回路增益乘积之和
信号与系统
三．Mason公式
例：用Mason公式求图所示系统的系统函数
解：先求环路，一共有4个环路，即 L1 H 2G2 L2 H 4G4 L3 H 5G5 L4 H 2 H 3H 4 H5G1