轴力图(FN图)显示了各段杆横截面上的轴力。 FN,max FN2 50 kN
思考：为何在F1，F2，F3作用着的B，C，D 截面处轴力图 发生突变？能否认为C 截面上的轴力为 55 kN？
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例题2-2：试作此杆的轴力图。
q
F
F
l
解： FR
F
l
2l
1
F2 q
1
F 2
第二章 轴向拉伸和压缩
F cos
A
s 0 cos
式中，s 0
F A
为拉(压)杆横截面上(
=0)的正应力。
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第二章 轴向拉伸和压缩
斜截面上的正应力(normal stress)和切应力(shearing stress)：
s p cos s 0 cos2
t
p
s in
s0
2
sin 2
正应力和切应力的正负规定：
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第二章 轴向拉伸和压缩
§2-1 轴向拉伸和压缩的概念 §2-2 内力·截面法·及轴力图 §2-3 应力·拉(压)杆内的应力 §2-4 拉(压)杆的变形·胡克定律 §2-5 拉(压)杆内的应变能 §2-6 材料在拉伸和压缩时的力学性能 §2-7 强度条件·安全因数·许用应力 §2-8 应力集中的概念
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第二章 轴向拉伸和压缩
3. 对于拉(压)杆知道了其横截面上一点处正应力s0(其 上的切应力t0= 0)，是否就可求出所有方位的截面上该点处
的应力，从而确定该点处所有不同方位截面上应力的全部情 况——该点处的应力状态(state of stress)？
F
F
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第二章 轴向拉伸和压缩
材料力学Ⅰ电子教案
第二章 轴向拉伸和压缩
3. 推论：拉(压)杆受力后任意两个横截面之间纵向线段 的伸长(缩短)变形是均匀的。根据对材料的均匀、连续假设 进一步推知，拉(压)杆横截面上的内力均匀分布，亦即横截
面上各点处的正应力s 都相等。 4. 等截面拉(压)杆横截面上正应力的计算公式 s FN 。
图示一般情况下在不同截面处杆的横截面上的轴力不同，
故不同截面的变形不同。
x 截面处沿x方向的纵向平均线应变为 x
x
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第二章 轴向拉伸和压缩
fl
f (x x)
f
x
l
x
x
fx
沿杆长均匀分布
轴力图
微段的分离体
的荷载集度为 f
x截面处沿x方向的纵向线应变为
x
lim x x0 x
d x
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第二章 轴向拉伸和压缩
例题2-3 试求薄壁圆环在内压力作用下径向截面上的 拉应力。已知：d = 200 mm，δ= 5 mm，p = 2 MPa。
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第二章 轴向拉伸和压缩
解：薄壁圆环 (δ<<d )在内压力作用下，径向截面上的
拉应力可认为沿壁厚均匀分布，故在求出径向截面上的法
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Ⅱ. 截面法·轴力及轴力图
第二章 轴向拉伸和压缩
FN=F
步骤： （1）假想地截开指定截面； （2）用内力代替另一部分对所取分离体的作用力； （3）根据分离体的平衡求出内力值。
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横截面m－m上的内力FN其作用线与杆的轴线重合(垂直 于横截面并通过其形心)——轴力。无论取横截面m－m的左
t
s0
2
sin 2
90
s
E
s 90
90
E
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第二章 轴向拉伸和压缩
单轴应力状态下，应力不超过比例极限时：
s
E
s 900
E
s 90 t 90
s s 0 cos2
t
s0
2
sin 2
s
t
90
s
E
s 90
90
E
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第二章 轴向拉伸和压缩
横向变形因数(泊松比)(Poisson’s ratio) 单轴应力状态下，当应力不超过材料的比例极限时，
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第二章 轴向拉伸和压缩
低碳钢(Q235)：
E 2.001011 Pa ~ 2.101011 Pa 200GPa ~ 210GPa
胡克定律的另一表达形式： l 1 FN l EA
s
s
s ←单轴应力状态下的胡克定律
E
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第二章 轴向拉伸和压缩
注意：1. 单轴应力状态——受力物体内一点处取出的单元 体，其三对相互垂直平面上只有一对平面上有应力的情况。
上图为不能应用圣维南(Saint-Venant)原理的例子（详见奚
绍中编 《材料力学精讲》，p15)。
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第二章 轴向拉伸和压缩
例题2-2 试求此正方 形砖柱由于荷载引起的横 截面上的最大工作应力。 已知F = 50 kN。
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第二章 轴向拉伸和压缩
解：Ⅰ段柱横截面上的正应力
的某一特征值(“比例极限”)时，若两端受力 l Fl A
引进比例常数E，且注意到F = FN，有
l FNl 胡克定律(Hooke’s law),适用于拉(压)杆。
EA
式中：E 称为弹性模量(modulus of elasticity)，由实验测定，其 量纲为ML-1T-2，单位为Pa；EA—— 杆的拉伸(压缩)刚度。
F
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第二章 轴向拉伸和压缩
F q=F/l
F
l
2l
F l
F +
F
FN 图
F +
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第二章 轴向拉伸和压缩
§2-3 应力·拉(压)杆内的应力
Ⅰ.应力的概念
受力杆件(物体)某一截面的M点附近微面积ΔA上分布 内力的平均集度即平均应力， p F ，其方向和大小一般
m A
而言，随所取ΔA的大小而不同。
s1
FN1 A1
50103 N (0.24 m) (0.24
m)
0.87106 Pa 0.87 MPa (压应力)
Ⅱ段柱横截面上的正应力
s2
FN 2 A2
150103 N
0.37 m0.37 m
1.1106 Pa 1.1MPa (压应力)
s2 s1
所以，最大工作应力为 smax= s2= -1.1 MPa (压应力）
为方便，取横截面1－1左 边为分离体，假设轴力为 拉力，得
FN1=10 kN(拉力)
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第二章 轴向拉伸和压缩
FN2=50 kN(拉力)
为方便取截面3－3右边为 分离体，假设轴力为拉力。 FN3=-5 kN （压力），同理，FN4=20 kN (拉力)
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第二章 轴向拉伸和压缩
桁架的示意图
（未考虑端部连接情况）
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第二章 轴向拉伸和压缩
§2-2 内力·截面法·及轴力图
Ⅰ. 内力
材料力学中所研究的内力——物体内各质点间原来相 互作用的力由于物体受外力作用而改变的量。
根据可变形固体的连续性假设，内力在物体内连续分布。 通常把物体内任一截面两侧相邻部分之间分布内力的 合力和合力偶简称为该截面上的内力(实为分布内力系的合 成)。
F l
3 F
3
F F'=2ql
FR
F
F
FR = F
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1
F2
FR = F
1
F2
第二章 轴向拉伸和压缩
q
3
Fx
3
FR = F FR = F
FR = F
FN1 = F
FN3 = F
F
Fq
F N2
F
x1
F F Fx1 l
FN 2
F
x1
Fx 0
FN2
2F
-
FR
-
Fx1 l
0
FN2
Fx1 l
边或右边为分离体均可。 轴力的正负按所对应的纵向变形为伸长或缩短规定: 当轴力背离截面产生伸长变形为正；反之，当轴力指向
截面产生缩短变形为负。
轴力背离截面FN=+F
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第二章 轴向拉伸和压缩
轴力指向截面FN=-F
用截面法求内力的过程中，在截取分离体前，作用于 物体上的外力(荷载)不能任意移动或用静力等效的相当力 系替代。
应力量纲：ML-1T-2
布内力在某一点处 的集度
应力单位：Pa(1 Pa = 1 N/m2，1 MPa = 106 Pa)。
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Ⅱ.拉(压)杆横截面上的应力
第二章 轴向拉伸和压缩
FN
s dA
A
(1) 与轴力相应的只可能是正应力s，与切应力无关；
(2) s在横截面上的变化规律横截面上各点处s 相等时
dx
一般情况下，杆沿x方向的总变形 l 0l x d x
线应变的正负规定：伸长时为正，缩短时为负。
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第二章 轴向拉伸和压缩
横向变形——与杆轴垂直方向的变形
在基本情况下 d d1 - d
d
d
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第二章 轴向拉伸和压缩
胡克定律(Hooke’s law) 工程中常用材料制成的拉(压)杆，当应力不超过材料
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第二章 轴向拉伸和压缩
F
F
(c)
(f)
轴力图(FN图)——显示横截面上轴力与横截面位置 的关系。
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