动平衡计算中影响系数的通解算法及其应用
动平衡的质量，在动平衡计算方法上已作了大量的工作。

自1964年Goodman将最小二乘法引入柔性转子的动平衡计算中后，影响系数算法一直是动平衡试验中最常用的方法。

虽然这种方法有其固有的缺陷，但考虑的平衡面数、平衡转速数、“测点”数较多时具有一定的误差补偿能力。

按传统的影响系数算法，为求出各面的影响系数，需在每个加重面上分别单独加重，从而求得各面的单面影响系数。

但是在现场的动平衡试验中，常常是多平面同时加重，需要解决一些特殊条件下的影响系数的计算及提炼问题，即采用非常规的影响系数计算方法。

这些情形包括：（1）在熟知性能的机组上尝试一次加重或多面同时加重，当尝试的次数达到一定时，各加重平面的影响系数的分离计算。

（2）在多面同时加重时，若某些面的影响系数已知，加重次数足够时，未知面的影响系数的分离计算。

（3）包括试加重在内的加重次数超过了确定影响系数所必需的次数时，如何充分利用冗余的加重信息计算各面的影响系数。

对于以上的较为特殊的影响系数的计算问题，影响系数的分离计算在面数多于2个时，手工计算十分困难。

而加重次数冗余时影响系数的计算遵循何种准则，如何计算又是一个值得探讨的问题。

本文推导了涵盖以上3个方面特殊情形影响系数求解通式，它也适合于一般意义下的影响系数的求解。

1影响系数求解通式的推导
设在某次动平衡试验中，有m个加重平面，n个“测点”，同一测点不同转速情况亦视为一新的“测点”。

对于多面同时试重的情形，须足够次的试（加）重后才能计算影响系数。

一般对于具有m个平面、n个“测点”的平衡计算问题，至少需m次的试重确定各面的影响系数值，并且每次试重并不要求只在一个面加重，允许每次在可加重的m个平面上任意加重。

为了使推导的公式适用于一般情形，假设在总共m个加重平面中，有k（k≤m）个加重面的影响系数未知。

另在试验中共有h次（试）加重，且加重次数满足h≥k。

在这种条件下，加重次数多于唯一确定未知影响系数所需的加重次数，即有冗余的加重信息，此时可利用冗余的信息对影响系数进行提炼，取代一般的矢量平均的办法，充分利用加重信息。

下面对这种条件下的影响系数的求解方法进行推导。

1．1矩阵构造方法
由于振动值是建立在复数域上的矢量，加重亦有大小和方向，故在推导中，所有的矩阵元素均在复数域内讨论，在推导之前作如下的矩阵构造：
（1）原始振动矢量及原始振动矩阵
V0
j
为j次加重前n个“测点”的原始振动所组成的振动矢量：
V0
j ＝（v
1j
0，v
2j
0，…，v
nj
0）T，
其中v
ij
0∈C，1≤i≤n，1≤j≤h，
［V
0］
n×h
为原始振动矢量组成的原始振动矩阵：
［V
0］
n×h
＝［V0
1
，V0
2
，…，V0
h
］
n×h
，1≤j≤h（1）
其实原始振动仅有一个，即在首次加重前的振动，但从推导公式的角度出发，考虑到在某次加重后其所加的试重组由于某种原因有可能保留在轴系上，则后续的加重效应的计算应考虑到
“原始振动”已变化了。

因此原始振动矩阵［V
0］
n×h
的各列矢量满足如下关系：
1．2一般意义下影响系数的求解公式
在动平衡工程实践中，为计算平衡校正重量，将加重效应与加重量认为是线性的，它们用影响系数来联系。

这是目前广泛应用的最小二乘法以及各种改进算法的前提。

据线性关系，有如下矩阵关系式：
［V
0］
n×h
＋［K］
n×m
［P］
m×h
＝［V］
n×h
（6）
在m个加重面中有k（k≤m）个面的影响系数未知，为使（7）式可解将［K］分块，不妨将
影响系数矩阵［K］
n×m
中与未知面相对应的未知列置于矩阵的左半部分，与已知面相对应的已知
列置于矩阵的右半部分，即分解为［A］
n×k 和［B］
n×（m－k）
两部分。

相应地，加重矩阵［P］
m×h
中的各行排列次序应遵循与未知加重面对应的元素在上半部分，与已知面对应的元素在下半部
分，将［P］
m×h 分解为［C］
k×h
和［D］（
m－k）×h
两部分。

由于在一般的情况下k≠h，C
k×h
不为方阵，另外从所列的方程组可以看出，当加重次数多于未知的加重面数时，方程组是一矛盾方程组，根据矩阵理论，这种条件下可以求出其2－范数意义下的最佳近似解。

另外从物理意义上讲，在此种条件下能综合多次的加重信息求影响系数，以便能使求出的系数能真实地反映加重响应。

对于矩阵方程组（8），A
n×k 为未知，C
k×h
不为方阵，故其一般意义下的逆矩阵不存在，但其
广义逆矩·21·阵存在。

一般情况下，加重次数h不小于未知面数k，且当每次加重矢量间不相
关时，矩阵C
是一行满秩矩阵，根据矩阵理论，行满秩矩阵右可逆。

行满秩矩阵的右逆矩阵就k×h
的广是其广义逆矩阵，用广义逆矩阵求得的方程组的解为其最佳平方逼近意义下的解。

当用C
k×h
，至此，推导出了求解影响系数义逆矩阵右乘（8）式两边时，可求出未知的影响系数矩阵A
n×k
的通式（10）。

由（10）式的推导过程可以看出，它包括了影响系数求解的所有情况。

影响系数的最佳近似解即为影响系数的一种提炼方法，它可最大限度地利用加重后机组表现出来的特性，使影响系数最大限度地融入每次加重的信息。

基于最佳平方逼近意义下的影响系数通解公式，实际上是在加重次数较多时，是对同一加重面多次加重效应的综合计算。

在特殊的加重条件下，通式退化为传统的单面影响系数求解公式。

2影响系数求解通式的工程应用
以上推导的影响系数通解公式在现场动平衡过程中有极大的应用价值。

以下的算例均来自现场动平衡工作中的实例，旨在说明影响系数通解公式的用途。

下面的影响系数计算结果均用上述思路编制的程序计算而得。

2．1部分加重面影响系数已知时影响系数的计算
某厂1号机为国产引进型300 MW机组励磁机／发电机三支撑轴系统。

该型轴系工作转速下最灵敏的不平衡是发电机转子二阶和励磁机转子中部（整流环）加单个重量。

1号机在经常性的振动处理过程中积累了较多整流环加重的影响系数，而且其重现性比较好。

为此在1998年的大修后，为处理5～7号轴振大的问题，基于整流环的加重效应已知，在动平衡时，在发电机转子两个端面（汽端和励端）以及励磁机转子的整流环同时加重，共加重2次。

若按传统的影响系数算法，此时的影响系数是无法求出的。

但若用手工计算，用已知的整流环的影响系数剔除整流环加重对发电机5、6号轴振动的影响，再列方程求解，手工作复数域的矩阵运算则相当烦琐。

对于这种情况，用影响系数通解算法编制的程序可计算出手工计算难以分离的汽端、励端端面加重的影响系数，现场计算实例见表1。

2.2 加重次数冗余时影响系数的计算
某厂4号送风机前瓦振动严重超标，为处理其振动平衡。

在动平衡过程中相当于仅有一个加重面，包括调整加重次数多于加重面数。

在动平衡完成后，可根据上述影响系数的求解通式提炼
影响系数。

由此算例可知：用一次的加重信息求取的影响系数有一定的分散性，用上面推导的影响系数求解通式可计算出最佳平方逼近意义下的影响系数值，它可综合加重信息进行计算，意义明确，更能反映轴系的真实响应。

由此可以看出，本文的通解算法为动平衡试验后影响系数的整理、提炼提供了一种有效的途径，为日后同类、同型机组的动平衡处理提供参考。

3结论
本文运用矩阵的方法，推导出了影响系数的求解通式，并进行了举例。

从影响系数求解通式的推导及应用举例中可以得出如下结论：
（1）本文推导的影响系数求解公式适用于影响系数求解的一般情况，将各种情况下的影响系数计算用统一的公式求解，特殊加重条件下该通式可退化为传统的影响系数求解公式。

加重次数不小于未知的加重面数是影响系数可解的前提条件。

（2）影响系数的通解算法可广泛适用于常规情况下单面逐次加重影响系数的求解。

多面同时加重时单面影响系数的分离计算，部分加重面影响系数已知时未知面影响系数的分离计算，特别是加重次数较多时影响系数的最佳逼近计算，为动平衡试验后影响系数的整理提供了有效的方法。

（3）本文运用矩阵方法推导的最佳逼近意义下的影响系数计算通式，易于实现计算机辅助计算，可成为目前动平衡辅助计算软件中影响系数计算的核心算法。

充分、灵活地运用本文所提的算法，并应用到工程实践中将发挥极大的效益。