+
C
r r +1
+
C
r r+2
+

+
C
r n1
=
C
r n
+1(n

r )（第r+1条斜线）
如图，写出斜线上各行数字的和， 发现有什么规律？
1，1，2，3，5，8，13，21．．．
an = an1 + an2 (n 3)
著名的斐波,那契数列．
二项式定理
分类习题研究
二项式定理的逆向使用问题

n
k k
+1
实质：数
所
以C
k n
相
对
于C
k n
1的
增
减
情
况
由n

k k
+
1
决
定.
由nk +1 1 k n+1
k
2
列的单调 性与数列 的最大项 问题
当k n +1时 二项式系数是逐渐增大的，由对称性可知
2 它的后半部分是逐渐减小的，且中间项取得最大值。
n
当n是偶数时，中间的一项
C2 n
(5) a0 + a1 + + a100 .
常见的赋值方法(：1)多项式f ( x)的各项系数和为f (1);
(2)奇数项系数和为 f 1 f -1,偶数项系数和为 f 1+ f -1
2
2
展开式的系数和问题
12.设(3x 1)8 = a0 + a1x + a2 x2 ++ a8 x8 ,求 (1)a1 + a2 + + a8;(2)a0 + a2 + a4 + a6 + a8; (3)a0 a1 + a2 a3 + a4 a5 + a6 a7 + a8 .
n n
(a
+
b)n
=
C n0a n
+ Cn1an1b
+



+
C
k n
a
nk
b
k
+ + Cnnbn
(a b)n = Cn0an Cn1an1b + + (1)k Cnkankbk + + (1)n Cnnbn
二项展开式指定项的系数问题 2.已知二项式3
二项式定理
基础知识
• 1研.在n究=1,(2a,3+,4时b)，n的研究展(a+开b)n的式展开式.
(a+b)1 = a+b
(a+b)2 = a2+2ab+b2
(a+b)3 = a3+3a2b+3ab2+b3
(a+b)4=？
n次齐次式
• 2.规律: (1)展开式各项次数有什么特点？a降次，b升次
(2)展开式各项系数有什么特点？
=（）a4 +（）a3 b +（）a2 b2 +（）ab3 +（）b4
(a + b)4
= C04 a4
+ C14 a3 b + C24 a2 b2
+ C34 ab3
+
C
4 4
b
4
• 4.一般地，(a+b)n=?
(a
+ b)n
=
C n0a n
+
C
n1a
n1b
+



+
C
k n
a
nk
bk
+ + Cnnbn
8.(1)求
x
+
1 x

2
3
展
开
式
中
的
常
数
项
；

(2)若 x + 1 2n的 展 开 式 的 常 数 项 为 20,求n. x
9.求
x

3+
3 x

1 x2
5
展 开 式 中 的 常 数 项.
◆ 多项式问题的方法: ①转化为二项式来展开； ②利用多项式的乘法法则展开； ③对多项式先变形化简，再展开； ④利用加法原理和乘法原理来求指定项的系数.
x
2
10
,
(1)求
展
开
式
中
第4项
的
二
项
式
系
数
；

3x
(2)求 展 开 式 中 第4项 的 系 数; (3)求 第4项.
3.已知 x + 1 n的展开式中，前三项的系数成等差数列， 2 x
求 展 开 式 中x项 的 系 数 及 二 项 式 系 数.
◆ 区分三个概念：项、项的系数、项的二项式系数；
C
m n
=
C nm n
图象的对称轴：r = n 2
在相邻的两行中，除1外的每一 个数都等于它“肩上”两个数的
C
r n+1
=
C
r n
ห้องสมุดไป่ตู้
1
+
C
r n
和.
• 2.增减性与最大值： 二项式系数的性质
C nk
= n(n 1)(n 2)...( n k +1) (k 1)!k
=
C nk 1

3 x
6.若
x+
1
n
展
开
式
中
前
三
项
系
数
成等
差
数
列, 求
：

24 x
(1)展 开 式 中 含x一 次 幂 的 项(；2)展 开 式 中 所 有x的 有 理 项.
抓住通项Tk+1 = Cnkan-k bk解题, 注意Cnkan-k bk是第k +1项,不是第k项.
三项式、多项式问题
7.求 x2 + 3x + 2 5的 展 开 式 中x的 一 次 项 的 系 数.
1.求 下 列 式 子 的 展 开 式(1：)1+ 1 4;(2) 2
x
1
6

x
x
2.求(1+ 2x)7的 展 开 式 的 第4项 的 二 项 式 系 数 、
第4项 的 系 数 、 倒 数 第4项 的 二 项 式 系 数 与 系 数.
3.求
x

1
9
的 展 开 式 中x3的 系 数,并 问 展 开 式 中
取得最大值 ；
n1
n+1
当n是奇数时，中间的两项 C 2 ，C 2 相等，且
同时取得最大值。
n
n
• 3.二各二项项式式系系数的数和的性质
在二项式定理中，令a = b = 1得：
重要方法： 赋值法
C
0 n
+
C
1 n
+
C
2 n
+

+
C
n n
=
2n
这就是说，(a + b)n的展开式的各二项式系数的和等于：2n
13.在展(3x开 2 y式)20的系展开数式最中,求大项的问题
(1)二 项 式 系 数 最 大 的 项(2；)系 数 绝 对 值 最 大 的 项(3；)系 数 最 大 的 项.
14.(1+ 2x)n的 展 开 式 中 第6项 与 第7项 的 系 数 相 等,求 展 开 式 中 二 项
式 系 数 最 大 的 项 和 系 数最 大 的 项.
4.在奇数项的二项式系数的和等 于偶数项的二项式系数的和，即
C
0 n
+
C
2 n
+
C
4 n
+
=
C
1 n
+
C
3 n
+
C
5 n
+
=
2n1
更多探究……
• 从杨辉三角中一个确定的数的“左 （右）肩” 出发， 向右（左）上方 作一条和左斜a边n 平行的射线，在这条 射线上的各数的和有何特征？
C
r r
C 30a 3
C31a 2b
C
2 3
ab2
C33b3
共有四项
a3 :每个括号都不取b的情况有一种，即 C03 种，所以a3的系数是 C03
a2b:相当于有一个括号中取b的情况有 C13 种，所以a2b的系数是 C13 同理，ab2 有 C23 个；b3 有 C33 个；
如何求(a+b)n的展开式
3. (a + b )4 = (a + b )( a + b )( a + b )( a + b )
P
可以推出Q到每一个节点 的步数，如图所示，你发 现了什么规律？
杨辉三角形
n=0 n=1 n=2 n=3 n=4 n=5 n=6
C10 C11
C
0 2
C
1 2
C
2 2
C
0 3
C
1 3
C
2 3
C
3 3
C40
C
1 4
C42
C43
C
4 4
伟大的数学家
• 杨辉，字谦光，钱塘(今杭州) 人，中国古代数学家和数学 教育家。由现存文献可推知， 杨辉担任过南宋地方行政官 员，为政清廉，足迹遍及苏 杭一带，他署名的数学书共 五种二十一卷。他是世界上 第一个排出丰富的纵横图和 讨论其构成规律的数学家。 与秦九韶、李治、朱世杰并 趁称宋元数学四大家。