命题 8 设 A 、 B 为 n 阶方阵 , 则 AB 与 B A 有相 同的特征多项式 , 即 λE - AB = λE - B A . 证明 当λ = 0 时 , 等式成立 . 而当λ ≠0 时 , 因 λE A - A ×( 2) + ( 1) λE - AB 0
B E A E
- A
所以
r ( C) ≤ r ( E) + min{ r ( A ) , r ( B ) } ,
所以
A
2
= E Ζ r ( A + E) + r ( A - E) = n.
r ( G) = r
A + B B
命题 2 设 A 为 n 阶方阵 , 则 2 A = A Ζ r ( A ) + r ( A - E) = n. A - E 0 E ×( 2) + ( 1) 证明 0 A
收稿日期 :2008 - 02 - 28 . 基金项目 :苏州科技大学重点学科基金资助 . 作者简介 :乔占科 ( 1960 - ) , 男 , 甘肃白银人 , 副教授 , 主要从事半群代 数理论及矩阵论的教学与研究 , E _ mail :qzhke @163. com .
0 0
A + E
A - A
0
.
0
A - E
E ×( 2) + ( 1)
所以
2 r ( A - E) + r ( A ) = r ( E) + r ( A - A ) = 2 n + r( A - A ) ,
A + E
A - E A - E
- E ×( 1) + ( 2)
A - E
0
2
- 2E A - E - 2E
0
,
证明
A 0 B B A
A 0
0 B
E ×( 2) + ( 1)
E ×( 2) + ( 1)
A +B B
B B
从而
r ( A + E) + r ( A - E) =
2 r ( 2 E) + r ( A - E) = 2 n - r ( A - E) .
,
记G =
0
B
0
, 则同时有 : r ( G) = r ( A ) + r ( B ) ,
r ( B ) + r ( AB C) ≥ r ( B C) + r ( AB ) .
= =
A - D A
-1
-1
-1
CA
-1
D
-1
-1
, .
T2
-1
- AB D D
-1
0
能用分快方法证明的命题还有许多 , 限于篇幅 , 其余不再列举 . 总之 , 在学习高等代数时 , 许多问题都 可尝试用分块方法解决 .
r ( C) = r ( AB ) + r ( E) = r
0
B
- A E
≤
由此即得
E + AB 可逆 Ζ E + B A 可逆 .
r ( B , E) + r ( A ) = r ( E) + r ( A ) .
另外 ,
r
0
B
- A E
≤r
- A E
+ r( B) = r( E) + r( B) .
B ×( 2) + ( 1)
90
AB B AB
高等数学研究 2010 年 1 月
0
E
- A ×( 2) + ( 1)
0BLeabharlann - 1 E, E A
| E + BA | = - B E = E A
E + BA A
0
E
=
记C =
0
E
0
,则
0
E + AB
= | E + BA | ,
B
E
,
因此 ,
r ( AB ) ≤ min{ r ( A ) , r ( B ) } .
λE
B
λE
λ ×( 1) + ( 2)
0
E BA ,
命题 5 设 A = ( aij ) s×n , B = ( bij ) n×m , 则 r ( AB ) ≥ r ( A ) + r ( B ) - n. 证明
命题 7 设 A 、 B 为 n 阶方阵 , 若 E + AB 可逆 , 则 E + B A 也 可逆 . 证明 因为 E - B B ×( 2) + ( 1) E + BA 0
A E A E - B E
B ×( 1) + ( 2)
A E A
E
,
0
E + AB
,
所以
在线性代数的学习中 , 很多读者对于涉及矩阵或 行列式的相关命题的证明感到困难 . 事实上 , 利用矩 阵分块方法可使这些命题的证明大大简化 . 本文将利 用矩阵的分块方法给出若干命题的证明 , 从而说明矩 阵分块方法对解决线性代数相关问题的重要性 . 命题 1 设 A 为 n 阶方阵 , 证明
A
A = B C.
r ( C) ≥ r ( A ) + r ( B ) ,
而
r ( C) = r ( AB ) + n.
所以
n + r ( AB ) ≥ r ( A ) + r ( B ) ,
命题 10 设
T1 = A , B , D 可逆 , 则 T1
-1
A C
0
D
因此
r ( AB ) ≥ r ( A ) + r ( B ) - n.
E A E E
B
λ
所以
|λ E - AB | =
0
AB
- A ×( 1) + ( 2)
λE
B
A E
=| λ E - BA | ,
0 0
AB
E
- B ×( 1) + ( 2)
- B
A
0
,
记C =
0
AB
0
,则
命题得证 . 可进而证明 , 当 A 、 B 分别为 m ×n 和 n ×m 阵时 , m- n4 λ | E m - AB | = λ |λ En - BA | . 用分块方法可更简洁地证明下述命题 : 命题 9 设 A 是秩为 r 的 m ×n 矩阵 , 则存在秩 为 r 的 m ×r 矩阵 B 和秩为 r 的 r ×n 矩阵 C , 使
B B
≥ r( A + B) ,
所以
r( A + B) ≤ r( A) + r( B) .
命题 4 设 A 为 s × m 阵 ,B 为 m × n 阵 , 且 E = Em , 则
r ( AB ) ≤ min{ r ( A ) , r ( B ) } . AB 0
证明
0 E
2
A - E
A A E A E
- E( 1) + ( 2) - A ×( 1) + ( 2)
0
A - E
0
A - E A - A
2
= E Ζ r ( A + E) + r ( A - E) = n. A + E
0 0
( E - A) ×( 2) + ( 1)
E
2
其中 E 为 n 阶单位矩阵 . 证明
, T2 =
A
B D
0 0
,
命题 6 设 A 、 B、 C 均为同阶方阵 , 则 r ( AB ) + r ( B C) ≤ r ( B ) + r ( AB C) . B 0 A ×( 1) + ( 2) 证明 0 AB C B 0 B - BC , AB A B C - C ×( 1) + ( 2) AB 0 所以
参考文献
[ 1 ] 王萼芳 . 高等 代 数 教 程 [ M ]. 北 京 : 清 华 大 学 出 版 社 , 1996 :111. [ 2 ] 谢邦杰 . 线 性代 数 [ M ] . 北京 : 人民教 育 出 版 社 ,1978 : 47 - 87. [ 3 ] 屠伯埙 . 线性代数方法导引 [ M ] . 上海 : 复旦大学出版社 , 1986 :98 - 104. [ 4 ] 屠伯埙 . 高等代数 [ M ] . 上海 : 上海科学技术出版社 , 1986 :220 - 232.
2
×( 1) + ( 2)
因此
A
2
= A Ζ r ( A ) + r ( A - E) = n.
A + E A - E
命题 3 两个矩阵的和的秩不超过这两个矩阵 的秩的和 . 即
A + E
2
2
0 0
A - E
2
×( 2) + ( 1)
r( A + B) ≤ r( A) + r( B) .
- 2E
2
Vol. 13 ,No . 1 高等数学研究 J an. , 2010 STUDIES IN COLL E GE MA T H EMA TICS
89
矩阵分块方法的应用
乔占科
( 苏州科技大学数学系 , 江苏苏州 , 215009)
摘 要 矩阵的分块方法是矩阵论的一种重要方法 , 选择合适的分块方法可使一些证明变得简单明了 . 利用 矩阵的分块方法给出关于矩阵的秩 、 特征多项式 、 行列式的若干等式 、 不等式及相关命题的简洁证明 , 有利于初学 者理解和掌握 . 关键词 矩阵分块 ; 矩阵的秩 ; 行列式 . 中图分类号 O151 . 21