第三章矩阵的初等变换与线性方程组
3.4.1 基础练习
1．已知，求.
2．已知，求.
3．若矩阵满足，则（）.
(A (B
(C (D
4．设矩阵满足关系，其中，求.
5．设矩阵，求.
6．是矩阵，齐次线性方程组有非零解的充要条件是 . 7．若非齐次线性方程组中方程个数少于未知数个数，那么( .
(A 必有无穷多解； (B 必有非零解；
(C 仅有零解； (D 一定无解.
8．求解线性方程组
（1），（2）
（3）
9．若方程组
有无穷多解，则 .
10．若都是线性方程组的解，则( .
(A (B (C (D
3.4.2 提高练习
1．设为5阶方阵，且，则= .
2．设矩阵，以下结论正确的是( .
(A时， (B 时，
(C时， (D 时，
3．设是矩阵，且，而，则 .
4．设，为3阶非零矩阵，且，则 .
5．设, 问为何值，可使
（1）（2）（3）.
6．设矩阵，且，则 .
7．设，试将表示为初等矩阵的乘积.
8．设阶方阵的个行元素之和均为零，且，则线性方程组的通解为 .
9．设，，
，其中可逆，则 .
10．设阶矩阵与等价，则必有（）.
（A）当时，（B）当时，
（C）当时，（D）当时，
11．设，若，则必有（）.
（A）或（B）或
（C）或（D）或
12．齐次线性方程组的系数矩阵记为，若存在三阶矩阵，使得，则（）.
（A）且（B）且
（C）且（D）且
13．设是三阶方阵，将的第一列与第二列交换得到，再把的第二列加到第三列得到，则满足的可逆矩阵为（）.
（A）（B）（C）（D）
14．已知，为三阶非零矩阵，且，则（）.
（A）时，（B）时，
（C）时，（D）时，
15．若线性方程组有解，则常数应满足条件.
16．设方程组有无穷多个解，则.
17．设阶矩阵与维列向量，若，则线性方程组（）.
（A）必有无穷多解（B）必有唯一解
（C）仅有零解（D）必有非零解.
18．设为矩阵，为矩阵，则线性方程组（）.
（A）当时仅有零解（B）当时必有非零解
（C）当时仅有零解（D）当时必有非零解
19．求的值，使齐次线性方程组
有非零解，并求出通解.
20．设
问为何值时，此方程组有唯一解，无解或无穷多解？并在有无穷多解时，求其通解.
21．问为何值时，线性方程组
有唯一解、无解、有无穷多解？并求出有无穷多解时的通解.
22．问为何值时，线性方程组有解，并求通解.
23．已知3阶矩阵的第一行为，不全为零，矩阵，
为常数.若，求线性方程组的通解.
24．设是阶可逆方阵，将的第行和第行对换后得到的矩阵记为.
（1）证明可逆；（2）求.
第三章参考答案
3.4.1 基础练习
1．． 2．． 3．因为故选．
4．由已知，因为
故．
5．． 6．． 7．．
8．（1）无解；（2）；（3）．
9．有无穷多解的充分必要条件是系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩且小于未知数的个数
得。

10．将解向量代入即可，选．
3.4.2 提高练习
1. 因为，故，所以．
2. 由矩阵
故时，，所以选（A）．
3. 由于，故．
4. 由于，由已知，故．
5. 由可知：
当时，；当时，；当且时，．
6. ．
7. 将通过初等变换化为单位阵，再将每次的初等变换通过初等矩阵的乘积表示
．
8. 。

9. 本题考查初等变换与初等矩阵之间的关系及初等矩阵的性质，由已知
，
故，选（C）。

10. 选（D）． 11．选（C）． 12．选（C）
13．选（D），本题考查初等矩阵的概念与性质，根据矩阵的初等变换与初等矩阵之间的关系，对题中给出的行（列）变换通过左（右）乘一相应的初等矩阵来实现。

对作两次初等列变换，相当于右乘两个相应的初等矩阵，而为此两个初等
矩阵的乘积。

由题意，，故，
故。

14．选（C）． 15．． 16．． 17．选（D）． 18．选（D）．
19．当时，；当时，．20．当，方程组有唯一解。

当时，方程组无解,
当时，方程组有无穷多解，通解为．21．时，方程组有唯一解；且时，方程组无解,
且时，方程组有无穷多解，且解为．
22．时有解，解为．
23．因为所以。

而不全为零，,
当时，，有，由可得，,
则的通解为。

24．，，即可逆；．。