2.黄金分割法
要求插入点 1,2的位置相对于区间 a , b
两端点具有对称性。
x1=a+(1-λ)(b-a)
x22a(ba)
在[a，x1， x2， b ] 如何消去子区间？
f (x1) < f (x2) ，消去[x2， b]，保留[a， x2]
f (x1) > f (x2) ，消去[a， x1]，保留[x1， b]
x1x
2
2 f
x1
x
2
x22 x0
x 1 x 1 x 1 0 , x 2 x 2 x 2 0
11
用泰勒展开将函数 f( x ) x 1 3 x 2 3 3 x 1 2 3 x 2 2 9 x 1 在点 x(1) [1,1]T展开为二次函数。
解：函数在点 x (1 ) 的函数值、梯度和二阶导数
则称此问题为凸规划。
16
六、不等式约束优化问题的极值条件
对于多元函数不等式的约束优化取得极值的条 件：
库恩—塔克条件
f x m xi j 1
gj x j xi
0(i1 ,2,,n)
jg j x 0 (j 1 ,2 ,,m )
j 0(j1,2,m)
17
K-T条件是多元函数取得约束极值的必要条件,以 用来作为约束极值的判断条件，又可以来直接求 解较简单的约束优化问题。
可行域 :在设计空间中满足所有约束条件的设计点 的集合
5
六 优化设计的数学模型 （一）优化设计的标准数学模型
min f X
XRn
s.t. guX0 ,u1,2, ,m hvX0 ,v1,2, , pn
必要时对数学模型进行规范化，
6
7
1. 等值线（面）：是表征目标函数的特性，在每一 条曲线（面）的各点上，目标函数值相等。 2. 优化设计问题的基本解法包括：
20
例 用黄金分割法求函数f(x)=3x3-4x+2的极小点，设初始区间为 （0,2），计算精度为0.8
解： 第一轮计算：区间(a,b)=(0,2) x1=0+0.382X(2-0)=0.764, f1=0.282 x2=0+0.618 X(2-0)=1.236, f2=2.72 f1<f2, 新区间[a,b]=[a,x2]=[0, 1.236], b-a>0.8
矩阵：
f(x(1))3
f(x(1))3 x1 3 2x2 26x6 1 x29x(1)
0 3
2f(x (1 )) 6 x 1 0 6 6 x 0 2 6 x (1 ) 1 0 20 0
12
xx(1) xx1 21 1xx1 2 1 1
f ( x ) f ( x ( 1 ) ) f ( x ( 1 ) ) T [ x x ( 1 ) ] 1 [ x x ( 1 ) ] T 2 f ( x ( 1 ) ) [ x x ( 1 ) ] 2
机械优化设计总复习
1
第一章 机械优化设计的基本概念和理论
机械优化设计过程包括： (1) 将实际问题加以数学描述，形成数学模型； (2) 选用适当的一种最优化数值方法和计算程序运
算求解。
2
• 建立最优化问题数学模型的三要素：
• （1）设计变量和参数。
•
设计变量是由数学模型的解确定的未知数。
• （2）约束或限制条件。
•
由于现实系统的客观物质条件限制，模型必须包括把
决策变量限制在它们可行值之内的约束条件，而这通常是
用约束的数学函数形式来表示的。
• （3）目标函数。
• 这是作为系统决策变量的一个数学函数来衡量系统的效率， 即系统追求的目标。
3
1、设计变量
设计变量的数目确定了优化设计的维数，如n个设计 变量，则称为n维设计问题
2 约束条件的分类 （1）根据约束的性质分 边界约束 直接限定设计变量的取值范围的约束条 件，即
ai xi bi i ＝ 1,2, ···，n
性能约束 由结构的某种性能或设计要求，推导出 来的约束条件。
4
（2）根据约束条件的形式分
不等式约束
guX0
等式约束
u=1,2, ···，m
hv X 0 v = 1，2， ···，p < n
对于目标函数和约束函数都是凸函数 的情况， 符合K-T条件的点一定是全局最 优点。这种情况K-T条件即为多元函数取
得约束极值的充分必要条件。
18
优化问题的几何描述
起作用约束。
19
第三章 一维搜索
1、确定搜索区间的外推法/进退法
在给定区间内仅有一个谷值（或有唯一的极小点） 的函数称为单谷函数，其区间称为单谷区间。
2x1
2x2
4
x2
在点 3,2T 处的梯度为：
f(x1)2x21x2442
10
2、二元函数
二元函数 f ( x) 在 x0(x10,x20)点处的泰勒展开式为：
f (x)
f
(
x0
)
f x1
f x2
x0
x1 x2
1 2
x1
2 f
x2
x12 2 f
x1x2
2 f
2 f
xn
x1
2 f
x1x2 2 f x22
2 f
xnx2
2 f
x1xn
2 f
x2xn
2 f
xn2
x
海色（Hessian）矩阵 H ( x ) 正定，即各阶主 子式均大于零，则X*为极小点。
15
4、凸规划
对于约束优化问题
min f X
s .t . gj X 0 (j1,2,3,,m) 若 f X g j X 都为凸函数，
解析解法 图解法 数值解法
8
第二章 优化设计的数学基础
多元函数的梯度
f
x1
f
X
f
x2 f
f X
x1
xn
f X
x2
f X
xn
T
9
例1：求二次函数 fx 1 , x 2 x 1 2 x 2 2 4 x 1 4 在点 3,2T
处的梯度。
解：
f
f
(
x)
x1 f
3x2 66(x1 1)2 6x12 12x1 3x2
13
3、无约束优化问题取得极值的条件 1）.F(x)在 x * 处取得极值，其必要条件是:
T
f(x) xf1
f x2
xfnx 0
即在极值点处函数的梯度为n维零向量。
14
2. x * 处取得极值充分条件
2 f
x12
2 f
G(
x
)

x2x1
21
第二轮计算：
• 令 x2=x1=0.764,
f2=f1=0.282
• x1=0+0.382X(1.236-0)=0.472, f1=0.317
• f1>f2, 故新区间[a,b]=[x1,b]=[0.472, 1.236]