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课 堂 考点突破
自主研、合作探、多面观、全扫命题题点
考点一 函数零点所在区间的判定
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[题组练透]
基础送分型考点——自主练透
1．已知实数 a＞1,0＜b＜1，则函数 f(x)＝ax＋x－b 的零点所
在的区间是
()
A．(－2，－1)
B．(－1,0)
C．(0,1)
D．(1,2)
解析：∵a＞1,0＜b＜1，f(x)＝ax＋x－b，
得 f(x)＝－2 或 f(x)＝12.
若 f(x)＝－2，则 x＝－3 或 x＝14；
若 f(x)＝12，则 x＝－12或 x＝ 2.
综上可得函数 y＝f(f(x))＋1 的零点的个数是 4，故选 A. 答案：A
[由题悟法]
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判断函数零点个数的 3 种方法
(1)方程法：令 f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有
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[谨记通法] 确定函数 f(x)的零点所在区间的 2 种常用方法 (1)定义法：使用零点存在性定理，函数 y＝f(x)必须在区间 [a，b]上是连续的，当 f(a)·f(b)＜0 时，函数在区间(a，b)内至 少有一个零点． (2)图象法：若一个函数(或方程)由两个初等函数的和(或差) 构成，则可考虑用图象法求解，如 f(x)＝g(x)－h(x)，作出 y＝ g(x)和 y＝h(x)的图象，其交点的横坐标即为函数 f(x)的零点．
(
) 返回
A．0
B．1
C．2
D．3
解析：函数 f(x)＝ex＋3x 在 R 上是增函数，
∵f(－1)＝1e－3＜0，f(0)＝1＞0，
∴f(－1)·f(0)＜0，
∴函数 f(x)有唯一零点，且在(－1,0)内，故选 B.
答案：B 3．函数 f(x)＝kx＋1 在[1,2]上有零点，则 k 的取值范围是
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2．函数 f(x)＝exx2－＋x2－x，2，x＜x≥0 0， 的零点个数是(
)
A．0
B．1
C．2
D．3
解析：当 x＜0 时，令 f(x)＝0，即 x2＋2x＝0，解得 x＝－2
或 x＝0(舍去)，所以当 x＜0 时，只有一个零点；当 x≥0 时，
f(x)＝ex－x－2，而 f′(x)＝ex－1，显然 f′(x)≥0，所以 f(x)
1．函数 f(x)＝ln x－2x的零点所在的大致范围是
()
A．(1,2)
B．(2,3)
C．1e，1和(3,4)
D．(4，＋∞)
解析：易知 f(x)为增函数，由 f(2)＝ln 2－1＜0，f(3)＝
ln 3－23＞0，得 f(2)·f(3)＜0.故选 B.
答案：B
2．函数 f(x)＝ex＋3x 的零点个数是
________． 答案：－1，－12
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必过易错关
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1．函数 f(x)的零点是一个实数，是方程 f(x)＝0 的根，也是函 数 y＝f(x)的图象与 x 轴交点的横坐标．
2．函数零点存在性定理是零点存在的一个充分条件，而不是 必要条件；判断零点个数还要根据函数的单调性、对称性 或结合函数图象．
交点个数为 3，所以函数 f(x)在[0,2π]
上的零点个数为 3. 答案：C
2．已知函数 f(x)＝xlo＋g21x，，xx≤＞00，，
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则函数 y＝f(f(x))＋1 的零
点的个数是
()
A．4
B．3
C．2
D．1
解析：由 f(f(x))＋1＝0 得 f(f(x))＝－1，由 f(－2)＝f 12＝－1
y＝f(x)的零点．
(2)几个等价关系
方程 f(x)＝0 有实数根⇔函数 y＝f(x)的图象与 x 轴 有 交点⇔函数 y＝f(x)有 零点 ．
(3)函数零点的判定(零点存在性定理)
如果函数 y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲 线，并且有 f(a)·f(b)＜0 ，那么，函数 y＝f(x)在区间 (a，b)
有两个不同的零点，等价于直线 y＝k(x＋1)与函
数 y＝f(x)的图象在(－∞，1]上有两个不同的交
点．作出 f(x)的大致图象如图所示，因为直线 y
＝k(x＋1)过定点(－1,0)，定点(－1,0)与点(1,2)
和(0,3)连线的斜率分别为 1 和 3，结合 f(x)的图象可知 k 的取
值范围是[1,3)． 答案：A
考点二
[典例引领]
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判断函数零点个数
重点保分型考点——师生共研
1．(2019·温州质检)已知函数 f(x)＝12x－cos x，则 f(x)在[0,2π]
上的零点个数为
()
A．1 B．2 C．3 D．4 解析：如图，作出 g(x)＝12x 与 h(x)
＝cos x 的图象，可知其在[0,2π]上的
横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．
[即时应用]
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3x，x≤1，
1．已知函数
f(x)＝log
1 3
x，x＞1，
则函数 y＝f(x)＋x－4
的零点个数为
()
A．1
B．2
C．3
D．4
解析：函数 y＝f(x)＋x－4 的零点，即函数
y＝－x＋4 与 y＝f(x)的交点的横坐标．如 图所示，函数 y＝－x＋4 与 y＝f(x)的图象有 两个交点，故函数 y＝f(x)＋x－4 的零点有 2 个．故选 B. 答案：B
[小题纠偏]
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1．(2018·诸暨模拟)函数 f(x)按照下述方法定义：当 x≤2 时，
f(x)＝－x2＋2x；当 x＞2 时，f(x)＝12(x－2)2，则方程
f(x)＝12的所有实数根之和是
()
A．2
B．3
C．5
D．8
解析：画出函数 f(x)的图象，如图所示：
结合图象 x＜2 时，两根之和是 2，
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“课后·三维演练”见“课时跟踪检测(十五)” (单击进入电子文档)

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[即时应用]
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1．(2018·浙江名校联考)已知函数 f(x)＝x＋1x，x＞0，
若
－x2＋3，x≤0，
函数 g(x)＝f(x)－k(x＋1)在(－∞，1]上恰有两个不同的零
点，则实数 k 的取值范围是
A．[1,3)
B．(1,3]
()
C．[2,3)
D．[1，＋∞)
解析：函数 g(x)＝f(x)－k(x＋1)在(－∞，1]上恰
内有零点，即存在 c∈(a，b)，使得 f(c)＝0，这个 c 也就是
方程 f(x)＝0 的根．
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2．二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象与零点的关系
Δ＞0
Δ＝0
Δ＜0
图象
与x轴 的交点 零点个数
(x1,0)，(x2,0) _2__
(_x_1_,0_) __1_
无交点 _0__
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[小题体验]
第八 节 函数与方程
课前·双基落实
想一想、辨一辨、试一试、全面打牢基础
课堂·考点突破
自主研、合作探、多面观、全扫命题题点
课后·三维演练
基础练、题型练、能力练、全练力保全能
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课 前 双基落实
想一想、辨一辨、试一试、全面打牢基础
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必过 教材 关
1．函数的零点
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(1)函数零点的定义 对于函数 y＝f(x)，我们把使 f(x)＝0 的实数 x 叫做函数
∴f(－1)＝1a－1－b＜0，f(0)＝1－b＞0，
由零点存在性定理可知 f(x)在区间(－1,0)上存在零点．
答案：B
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2．设 f(x)＝ln x＋x－2，则函数 f(x)的零点所在的区间为( )
A．(0,1)
B．(1,2)
C．(2,3)
D．(3,4)
解析：函数 f(x)的零点所在的区间转化为函数
解析：令 f(x)＝m－x2＋2ln x＝0，则 m＝x2－2ln x．令 g(x)
＝x2－2ln x，则 g′(x)＝2x－2x＝2x－1xx＋1，∴g(x)在e12，1
上单调递减，在(1，e]上单调递增，∴g(x)min＝g(1)＝1，又
1 ge2
＝4＋e14，g(e)＝e2－2，4＋e14＜5＜e2－2，∴ge12＜g(e)，数形
g(x)＝ln x，h(x)＝－x＋2 图象交点的横坐标
所在的范围．作出两函数大致图象如图所示，
可知 f(x)的零点所在的区间为(1,2)．故选 B.
答案：B
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3．函数 f(x)＝x2－3x－18 在区间[1,8]上______(填“存在” 或“不存在”)零点． 解析：法一：∵f(1)＝12－3×1－18＝－20＜0， f(8)＝82－3×8－18＝22＞0， ∴f(1)·f(8)＜0， 又 f(x)＝x2－3x－18 在区间[1,8]的图象是连续的， 故 f(x)＝x2－3x－18 在区间[1,8]上存在零点． 法二：令 f(x)＝0，得 x2－3x－18＝0， ∴(x－6)(x＋3)＝0.∵x＝6∈[1,8]，x＝－3∉[1,8]， ∴f(x)＝x2－3x－18 在区间[1,8]上存在零点． 答案：存在
在[0，＋∞)上单调递增，又 f(0)＝e0－0－2＝－1＜0，f(2)＝
e2－4＞0，所以当 x≥0 时，函数 f(x)有且只有一个零点．
综上，函数 f(x)只有 2Biblioteka 个零点，故选 C.答案：C
考点三 函数零点的应用
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[典例引领]
重点保分型考点——师生共研
(2018·杭州七校联考)若函数 f(x)＝m－x2＋2ln x 在e12，e上有 两个不同的零点，则实数 m 的取值范围为________．