三、三刚片组成规则
规则三：三个刚片用不在同一直线上的三个 铰两两相联，则组成没有多余约束的几何不 变体系。如图所示。
A
A



O2 O1 O2 O3O1
O3

B
B

C
C


第二章 平面结构的几何构造分析
现在来讨论三刚片联结的特殊情况。如果两个刚
片之间是通过平行链杆联结，则其形成的虚铰将在无 穷远处。三个刚片之间的联结包括一对、两对和三对 平行链杆的情况。
合理，因B而不能限制瞬时运动B 的情况。 C
C
A
B
A'
第二章 平面结构的几何构造分析
二、两刚片组成规则
规则二：两个刚片用一个铰和不通过该铰 的一根链杆或用不交于一点也不互相平行 的三根链杆相联结，则组成没有多余约束 的几何不变体系。如图所示。
O
几何可变体系
O
R P
几何不变体系

A
C
A CE
B
D
变，实际上就是判别该体系 是否存在刚体运动的自由度。 y
所谓体系的自由度，是指体
系运动时可以独立变化的几
何参数的数目，也就是确定
xA
物体位置所需的独立坐标数
目。例如一个点在平面内自 由运动时，其位置要用两个 o
y x
坐标和来确定（右图），所
以一个点的自由度等于2。
第二章 平面结构的几何构造分析
如一个刚片在平面
1
2
A
1
3
2
第二章 平面结构的几何构造分析
体系中的约束有的对组成几何不变体 系来说是必须的，这种约束称为必要约束， 而必要约束之外的约束称之为多余约束。 每一个必要约束都可以使体系的自由度减 少1个，而多余约束并不减少体系的自由 度。
第二章 平面结构的几何构造分析
如下图中，A点在平面内的自由度原来为2，用两 根不共线的链杆将A点与基础相联，这时A点被完全 固定，体系的自由度为零。但是再增加一根链杆，体 系的自由度仍为零，增加的链杆并不会使得体系的自 由度减少，增加的链杆就是多余约束。应当注意的是，
第二章 平面结构的几何构造分析
几何不变体系
在不计材料应变的条
件下，在很小的荷载 P A
作用下，若体系的形
状和各杆的相对位置
保持不变，则称为几
B
C
何不变体系。
PC
D
第二章 平面结构的几何构造分析
P
A
几何可变体系
B
C
如果体系的形状或 P C
D
各杆的相对位置可
以改变，则称为几
何可变体系。
A
B
第二章 平面结构的几何构造分析
第二章 平面结构的几何构造分析
第四节 平面体系几何构造分析示例
利用上一节所述的规则及方法能够解 决一般工程上常见的平面杆件体系的几何 构造分析问题。具体分析时可将易直观判 定为内部几何不变的部分当作刚片，并应 注意检查刚片之间的联系数目是否符合两 刚片或三刚片的组成规则。
第二章 平面结构的几何构造分析
内自由运动时，其 位置可由其上任一 点A的坐标、和任
y
B x'
一直线AB的倾角来 确定（右图），因
x

A y
此一个刚片的自由 o
度等于3。
A' '
y' B' x
第二章 平面结构的几何构造分析
三、约束
平面体系各部分之间以及杆件与基础之 间存在一定的联系，这种联系对体系各 部分之间的位置关系形成一定的限制， 称之为约束。体系的联结方式常见的有 链杆联结、铰联结和刚性联接等。
例2-5 试分析图（a）所示体系的几何构造。
(a) D
(b) (O2,3 )
(O1,3 )
G
E
F
D
E

(O1,2 ) F
ABC
ABC
（体系是瞬变体系 ）
第二章 平面结构的几何构造分析
第五节 平面杆系结构的计算自由度
1.体系的自由度数S
体系的自由度数S等于其各组成部分互不联结时总 的自由度数减去体系中的必要约束数，即
第二章 平面结构的几何构造分析
1.当体系上有二元体时，应去掉二元体使体系 简化，以便于应用规则。但需注意，每次只能 去掉体系外围的二元体（符合二元体的定义）， 而不能从中间任意抽取。如图。
先去最外围
的二元体
A
B
C
D
E H
F
G
第二章 平面结构的几何构造分析
2.从一个刚片（例如地基或铰结三角形）开始， 依次增加二元体，尽量扩大刚片范围，使体系 中的刚片个数尽量少，便于应用规则。如图。
A x
1
刚片的自由度由9个 减少为5个，即减少
3 2
3
1y
4个自由度。由此可
2
知，联结n个刚片的 o
x
复铰可以当作个n-1
单铰，减少2(n-1)个
自由度。
第二章 平面结构的几何构造分析
连接2个刚片的 刚性连接称为单 刚结点。如右图
联结2个以A 上刚
片的刚结点称
为复刚1结。2 如
1
2
右图
A
1
2
第二章 平面结构的几何构造分析
任何平面体系的计算自由度，按以上两种方法 计算的结果，将有以下三种情况：
（1）W并不一定是体系的实际自由度，仅说明体系 必须的约束数目够不够，即
• W>0，表明体系缺少足够的联系，因此是几何可 变的；
• W=0，表明体系具有成为几何不变所必需的最少 联系数目；
• W<0，表明体系具有多余约束。 • 对于W≤0，体系是否几何不变取决于体系的具体
第二章 平面结构的几何构造分析
第二章 平面结构的几何构造分析
第一节 概述 第二节 几何构造分析的几个概念 第三节 平面几何不变体系的组成规则 第四节 平面体系几何构造分析示例 第五节 平面杆系结构的计算自由度
第二章 平面结构的几何构造分析
第一节 概述
• 结构都是用建筑材料组成的，但并不是怎样组成都 能作为结构使用的。
规则一：一点与一个刚片用两根链杆相联
结，且两链杆不共线，则组成没有多余约
束的几何不变体系。有时也称它为二元片
的组成规则，其中两根链杆称为二元片。
如图所示 。
A
几何可 变体系
A
二元片
B
B
C
第二章 平面结构的几何构造分析
而我们把本A来是几何可变的，经A微小的运动后成 为几何不变的体系称为瞬变体系。如图所示。瞬变一 般发生在体系的刚片间本有足够的约束，但其布置不
第二章 平面结构的几何构造分析
3.如果体系的支座链杆
只有三根，且不全
平行也不交于一点，
B
A
则地基与体系本身
的联结已符合二刚
片规则，因此可去
掉支座链杆和地基
B
D
而只对体系本身进
行分析。如图所示。
第二章 平面结构的几何构造分析
当体系支座链杆多 于三根时，应考虑 把地基作为一刚片， 将体系本身和地基 一起用三刚片规则 进行分析，否则， 往往会得出错误的 结论。如图。
造。
(a)
E
(b)
E

F
DF
D
G
G
去掉支座链


杆和地基
A
CA
C
B
B
(体系为几何不变体系，且无多余约束)
第二章 平面结构的几何构造分析
例2-4 试分析图（a）所示体系的几何构 造。
(a)
(b)
14
7
9
7 41
3
6
6
3 去掉支座链
杆和地基
258
10
85 2
（体系是瞬变体系 ）
第二章 平面结构的几何构造分析
第二章 平面结构的几何构造分析
4.先确定一部分，连续几次使用二刚片或 三刚片规则，逐步扩大到整个体系。如图 所示体系。
A
B
第二章 平面结构的几何构造分析
5.链杆和刚片可以相互转化。如图所示体
系。

B
A
D
E
GH
C
F
第二章 平面结构的几何构造分析
几何构造分析小结
在进行分析时，体系中的每根杆件和 约束都不能遗漏，也不可重复使用（复铰 可重复使用，但重复使用的次数不能超过 其相当的单铰数）。当分析进行不下去时， 一般是所选择的刚片或约束不恰当，应重 新选择刚片或约束再试。对于某一体系， 可能有多种分析途径，但结论是唯一的。
单铰。如右图，刚片1、
2用单铰A相连后，还 剩下4个运动独立几何 参数（x、y、1、2），则
y x
A 1
刚片的自由度由6个减 少为4个，即减少2个
2
2
1y
自由度。由此可知，1 o
x
个单铰相当于2个约束，
可以减少2个自由度。
第二章 平面结构的几何构造分析
以此类推，联结两个
以上刚片的铰称为
y
复铰。如右图，3个 刚片用复铰A联结后，
多余约束和必要约束是相对而言的。
(a)
(b)
A
A
B
C
B
C
D
第二章 平面结构的几何构造分析
第三节 平面几何不变体系的组成规则
在具体分析或检查体系的几何组成之 前，先必须了解几何不变体系的组成规则。 在平面体系中，组成几何不变体系的基本 规则主要有以下三种：
第二章 平面结构的几何构造分析
一、点和刚片的组成规则
W=3m—(3g+2h+b)
第二章 平面结构的几何构造分析