13.58 3.02** 2.83 2.14 1.88 1.15 1.14 0.90 0.82 0.48
13.10 2.54 2.35 1.66 1.40 0.67 0.66 0.42 0.34
12.76 2.20 2.01 1.32 1.06 0.33 0.32 0.08
12.68 2.12 1.93 1.24 0.98 0.25 0.24
27.2509
S
SA
1 b
xi2.
C
1 10
(121.332
121.122
121.852
)
C
0.0283
SSB
1 a
x.2j
C
1 3
(35.102
32.262
38.272)
C
26.7591
SS e SS T SS A SS B 27 .2509 0.0283 26 .7591
表3 q值与LSR值
dfe 秩次距k q0.05
2
2.97
3
3.61
4
4.00
5
4.28
18
6
4.49
7
4.67
8
4.82
9
4.96
10
5.07
q0.01
4.07 4.7 5.09 5.38 5.6 5.79 5.94 6.08 6.2
LSR0.05
0.28 0.34 0.37 0.40 0.42 0.43 0.45 0.46 0.47
【例1】某厂现有化验员3人，担任该厂牛奶酸度 （°T）的检验。每天从牛奶中抽样一次进行检验， 连续10天的检验分析结果见表6。试分析3名化验员 的化验技术有无差异，以及每天的原料牛奶酸度有 无差异（新鲜牛奶的酸度不超过20 °T ） 。
化验 员 A1 A2 A3 x.j x.j
B1
11.71 11.78 11.61 35.10 11.70
度均差异极显著或显著。酸度最高的是B7， 最低的是B5和B2。从牛奶质量要求看，连 续10d的牛奶酸度均在鲜奶范围内。
在进行两个因素或多个因素的试验时，除 了要研究每一个因素对试验指标的影响外，往 往更希望知道因素之间的交互作用对试验指标 的影响情况。
通过研究环境温度、湿度、光照、气体成分 等环境条件对导致食品腐烂变质的酶和微生物 的活动的影响有无交互作用，对有效控制酶和 微生物活动，保持食品质量有着重要意义。
各项离差平方和与自由度的计算公式为:
矫正数 总平方和 A因素离差平方和 B因素离差平方和
C x.2. / ab
ab
ab
ST S
(xijx..)2
xi2jC
i1j1
i1j1
SA Sbi a1(xi.x..)2b 1i a1xi2 . C
b
SS Ba (x.j
j1
x..)2a 1jb1x.2j
C
误差平方和 总自由度 A因素自由度 B因素自由度 误差自由度
SSe=SST-SSA-SSB dfT=ab-1 dfA=a-1 dfB=b-1 dfe= dfT - dfA – dfB
=(a-1)(b-1)
相应均方为
MS A SS A / df A , MS B SS B / df B , MS e SS e / df e
两因素无重复观测值试验资料的数学模型为：
xij i j ij (5-26)
(i1,2,,a;j1,2,,b)
式中， μ为总平均数；
αi，βj分别为Ai、Bj的效应； αi=μi-μ， βj=μj-μ，
μi、μj分别为Ai、Bj观测值总体平均数， 且Σαi=0，Σβj=0；
εij为随机误差，相互独立，且服从N(0，σ2)
Ai合计xi.. x1..
表5中
n
x ij .
x ijl
l1
每个组合处理n 次重复之和
bn
x i .
x ijl
j1 l1
A因素第i水平 bn个数据之和
an
x . j .
x ijl
i1 l1
B因素第j水平 an个数据之和
abn
x ..
x abn个数据总和 ijl
i1 j1 l1
A因素的每个水平有b次重复，B因素的每个水平 有a次重复，每个观测值同时受到A、B 两因素及 随机误差的作用。因此全部 ab 个观测值的总变异 可以分解为 A 因素水平间变异、B因素水平间变异 及试验误差三部分；自由度也相应分解。
离差平方和与自由度的分解如下：
SST SSASSBSSe dfT dfAdfBdfe
3.2两因素方差分析
3.1.1 两因素无重复试验资料的方差分析 对于A、B两个试验因素的全部ab个水平组合， 每个水平组合只有一个观测值（无重复）， 全试验共有ab个观测值，其数据模式如下表 所示。
表 两因素无重复观测值的试验数据模式
注：A因素有a个水平，B因素有b个水平，共计有ab个水 平组合，每一组合观测一次，有ab个观测值（表5），xij 为A的第i水平与B的第j水平组合观测值。
(2)这时若仍按前述方法进行方差分析，由于误差 均方值大（包含交互作用在内），有可能掩盖试验因素 的显著性， 从而增大犯Ⅱ型错误的概率。
(3) 每个水平组合只有一个观测值，无法估计真正 的试验误差，因而不可能对因素的交互作用进行研究。
交互作用
交互作用：在多因素试验中一个因素对试验结果的影响依赖于另一因素 所取的水平时，称两因素有交互作用。
表5 两因素等重复观测值试验数据模式
两因素等重复试验数据模式（部分）
A因素
A1
x1jl
x1j. x1j.
A2
B1 x111 x112 x113 … x11n x11. x11. … … …
B因素
B2
…
x121 …
x122 …
x123 …
……
x12n … x12. x12.
……
……
……
Bb x1b1 x1b2 x1b3 … x1bn x1b. x1b. … … …
3.1.2 交叉分组两因素等重复试验的方差分析 对两因素和多因素等重复试验结果进行
分析， 可以研究因素的简单效应、主效应 和因素间的交互作用（互作效应）。
三种效应
1．简单效应（simple effect） 是指在某一因素同一 个水平上，比较另一因素不同水平对试验指标的影响。
三种效应
2．主效应（main effect） 是指某一因素各水平间的平均 差别。它与简单效应的区别是，主效应指的是某一因素各水平 间的平均差别是综合了另一因素各水平与该因素每一水平所有 组合的情况。
LSR0.01
0.38 0.44 0.47 0.50 0.52 0.54 0.55 0.57 0.58
B因素各水平均值多重比较结果见表4
测定 日期
B7 B6 B10 B8 B4 B3 B1 B9 B2 B5
表4不同测定日牛奶酸度多重比较结果（q法）
x.j
x.j10.56
x.j10.7
5
11.44 11.70 12.43 12.44 12.68 12.76 13.10
在两因素无重复观测值试验中，A因素每一
水平的重复数恰为B因素的水平数b，故A因素
的标准误为 标准误
Sxi. MSe /b；同理，B 因 素 的
Sx.j MSe / a
对例1分析，a=3，MSe=0.0258。故
Sx.j Me/a S0.02/3 50 8 .093
根据 dfe=18，秩次距 k=2，3 ，…，10，查 临界 q 值 ，计算最小显著极差LSR，见表3。
B2
10.81 10.7 10.75 32.26 10.75
表1 牛奶酸度测定结果
B3
B4
B5

xi.
xi.
12.39 12.5 12.4 37.29 12.43
12.56 12.35 12.41 37.32 12.44
10.64 10.32 10.72 31.68 10.56
13.26 12.93 13.1 39.29 13.10
三种效应
3. 互作效应（interaction effect） 如果某一因素的 各简单效应随另一因素的水平变化而变化，而且变化的幅度 超出随机波动的程度，则称两个因素间存在互作效应。
两因素等重复试验的方差分析
设A、B两因素，A因素有a个水平，B因素 有b个水平，共有ab个水平组合，每个水平组 合有n次重复试验，则全试验共有abn个观测值。 试验结果的数据模式如表5所示。
(i 1 ,2 , ,a ;j 1 ,2 , ,b ;l 1 ,,2 , ,n )
在多因素对比试验中，某些因素对指标的影响往往是互相制约、 互相联系的。即在试验中不仅因素起作用，而且因素间有时联合起来起 作用，这种联合作用并不等于各因素单独作用所产生的影响之和，称这 种联合作用为交互作用。 例：某农场对四块大豆试验田作施肥试验。每块田以不同的方式施以磷 肥和氮肥，其产量如下：
P1=0
12.44 1.88 1.69 1.00 0.74 0.01
12.43 1.87 1.68 0.99 0.73
11.70 1.14 0.95 0.26
11.44 0.88 0.69
10.75 0.19
10.56
处理
B7 B6 B10 B8 B4 B3 B1 B9 B2 B5
附表：多重比较结果字母表示
n
x ij . x ijl / n l1
bn
x i ..
x ijl / bn
j1 l1
an
x . j .
x ijl / an
i1 l1
abn
x ... x ijl / abn i1 j1 l1