热点专题三 函数及其图象【考点聚焦】函数的本质特征是变化与对应，它是表示、处理数量关系以及变化规律的有效工具．作为刻画变量变化规律的工具，函数的各种形式体现了“函数知识”与“函数思想”的统一．“函数”除了包括函数的概念、正比例函数、一次函数、反比例函数及二次函数等具体知识外，其自身还蕴含着方程与不等式的知识．函数是初中数学的核心内容、重要的基础知识．它与数学其它知识有着更为广泛的联系，不仅有着极为广泛的应用，而且也是发展同学们符号感的有效载体．在历年的学业考试中，函数一直是命题的“重头戏”，所考题型无所不包，同时不断与其它数学知识相互渗透，题量不一定是最多的，但综合程度一定是最高的．【热点透视】热点1：通过设计确定函数关系型问题考查函数三种表达形式及其之间的关系例1 （1）（2018郴州）点(24)，在一次函数2y kx =+的图象上，则k =_________．（2）（2018常德）若反比例函数k y x=的图象经过点(12)-，，则该函数的解析式为________． 分析：（1）将点(24)，代入2y kx =+．（2）将点的坐标直接代入可以求出 k 值． 解：（1）1k =；（2）2y x=-． 点评：直接考查同学们利用函数图象确定函数解析式技能的掌握情况．题目叙述简明、要求简单明了，较好地落实了对这个知识点的考查．热点2：重视对函数图象及性质的考查例2 （1）（2018怀化）均匀地向一个如图1所示的容器中注水，最后把容器注满，在注水过程中水面高度h 随时间t 变化的函数图象大致是（ ）（2）（2018长沙）星期天，小王去朋友家借书，图2是他离家的距离y （千米）与时间x （分钟）的函数图象，根据图象信息，下列说法正确的是（ ）（A ）小王去时的速度大于回家的速度（B ）小王在朋友家停留了10分钟（C ）小王去时所花的时间少于回家所花的时间（D ）小王去时走上坡路，回家时走下坡路解答：（１）（Ａ）；（２）（B ）．点评：本例以实际生活为背景，用分段函数来描述实际问题，在加强对函数图象的识图能力和分析问题能力的考查的同时，也引导同学们平时关注生活中蕴含的数学问题．这样的题目，既突出了函数的基础性功能，又突出了它的应用性功能，对改进和完善中考数学命题具有积极的启示作用． 热点3：重视对函数知识实际应用的考查例3 今年4月18日，我国铁路第六次大提速，在甲、乙两城市之间开通了动车组高速列车．已知每隔1h 有一列速度相同的动车组列车从甲城开往乙城．如图3所示，OA 是第一列动车组列车离开甲城的路程s （单位：km ）与运行时间t （单位：h ）的函数图象，BC 是一列从乙城开往甲城的普通快车距甲城的路程s （单位：km ）与运行时间t （单位：h ）的函数图象．请根据图中信息，解答下列问题：（1）点Ｂ的横坐标0.5的意义是普通快车发车时间比第一列动车组列车发车时间_________h ，点B 的纵坐标300的意义是____________．（2）请你在原图中直接画出第二列动车组列车离开甲城的路程s （单位：km ）与时间t （单位：h ）的函数图象．（3）若普通快车的速度为100km/h ；①求BC 的解析式，并写出自变量t 的取值范围．②求第二列动车组列车出发后多长时间与普通快车相遇．③直接写出这列普通快车在行驶途中与迎面而来的相邻两列动车组列车相遇的间隔时间．解：（1）晚0.5，甲、乙两城相距300km ．（2）如图4：（3）①设直线BC 的解析式为s kt b =+．∵(0.5300)B ，，(3.50)C ，， ∴ 3.500.5300k b k b +=⎧⎨+=⎩解得100350k b =-⎧⎨=⎩． ∴100350s t =-+．自变量t 的取值范围是0.5≤t ≤3.5．②解法1：设直线MN 的解析式为11s k t b =+．∵(10)M ，，(3300)N ，， ∴111103300k b k b +=⎧⎨+=⎩解得11150150k b =⎧⎨=-⎩． ∴150150s t =-．由①可知直线BC 的解析式为100350s t =-+．∴150150100350t t -=-+．解得2t =． ∴211-=．解法2：设直线MN 的解析式为1150s t b =+．∵点M 在直线上，∴101501b =⨯+．解得1150b =-．∴150150s t =-．∴100350150150t t -+=-．解得2t =．解法3：设第二列动车组列车出发x 小时后与普通列车相遇，根据图中信息，得150100(0.5)300x x ++=．解得1x =．答：第二列动车组列车发车1小时后与普通快车相遇．③35小时（或36分钟）． 点评：对函数应用性问题的重视，一方面体现了初、高中数学知识衔接的需要，另一方面体现了数学新课程基本理念的要求，本例在这方面起到很好的导向作用，中考复习时应当着力把握这方面的动态．热点4：重视对函数知识与其它知识的综合考查例4 （2018衡阳）如图5，在等腰三角形ABC 中，5A B A C ==cm ，6BC =cm ，AD BC ⊥，垂足为点D ．点P Q ，分别从B C ，两点同时出发，其中点P 从点B 开始沿BC 边向点C 运动，速度为1cm/s ，点Q 从点C 开始沿CA 边向点A 运动，速度为2cm/s ，设它们运动的时间为x （s ）．（1）当x 为何值时，将PCQ △沿直线PQ 翻折180，使C 点落到C '点，得到的四边形CQC P '是菱形？（2）设PQD △的面积为y （2cm ），当0<x <2.5时，求y 与x 的函数关系式．（3）当0<x <2.5时，是否存在x ，使得PDM △与MDQ △的面积比为5:3，若存在，求出x 的值；若不存在，请说明理由．解：（1）6PC x =-，2CQ x =，要使四边形CQC P '是菱形，则PC CQ =． 即62x x -=，得2x =．当2x =时，四边形CQC P '是菱形．（2）过点Q 作QE BC ⊥，垂足为E ，∵5AB AC ==cm ，6BC =cm ，AD BC ⊥，∴4AD ==（cm ）．∵QE AD ∥，∴QEC ADC △∽△，∴QE CQ AD CA =，即245QE x =，∴85QE x =． 又3PD x =-，∴118(3)225y PD QE x x ==-， 即2412(0 2.5)55y x x x =-+<<． （3）存在．理由如下：过点Q 作QF AD ⊥，垂足为F ，∵:5:3PDM MDQ S S =△△，∴:5:3PD QF =． 在Rt QEC △中，65EC x ==，635QF DE x ==-， （也可由Rt Rt AFQ ADC △∽△，求得QF ）．∴356335x x -=-，解得2x =． ∴当2x =时，:5:3PDM MDQ S S =△△．例5（2018怀化）两个直角边为6的全等的等腰直角三角形AOB 和CED 按图6所示的位置放置，A 与C 重合，O 与E 重合．（1）求图6中，A B D ，，三点的坐标．（2）Rt AOB △固定不动，Rt CED △沿x 轴以每秒2个单位长的速度向右运动，当D 点运动到与B 点重合时停止，设运动x秒后Rt CED △和Rt AOB △重叠部分面积为y ，求y 与x 之间的函数关系式．（3）当Rt CED △以（2）中的速度和方向运动，运动时间4x =秒时Rt CED △运动到如图7所示的位置，求经过A G C ，，三点的抛物线的解析式．（4）现有一半径为2，圆心P 在（3）中的抛物线上运动的动圆，试问P 在运动过程中是否存在P 与x 轴或y 轴相切的情况，若存在请求出P 的坐标，若不存在请说明理由． 分析：（1）略（2）应分两种情况进行讨论，一是0≤x ＜3时，求y 与x 之间的函数关系式；二是3≤x ≤6时，求y 与x 之间的函数关系式．（3）计算：4x =时，A G C ，，三点的坐标，代入抛物线解析式．（4）先可假设⊙P 与坐标轴相切，进而求出此时点P 的坐标．解：（1）(06)(60)(60)A B D -，，，，，． （2）当０≤x <3时，位置如图8所示，作GH DB ⊥，垂足为H ，可知：2OE x =，EH x =，62DO x =-，6DH x =-，∴22()GHD IOD IOHG y S S S ==-△△梯形22221132(6)(62)26312222x x x x x x ⎡⎤⎛⎫=---=-+=-+ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，当3≤x ≤6时，位置如图9所示．可知：12DB x =-，2122DGB y S DB ⎛⎫∴== ⎪ ⎪⎝⎭△2212)123622x x x ⎤=-=-+⎢⎥⎣⎦． ∴y 与x 的函数关系式为：22312(03)1236(36)x x x y x x x ⎧-+<⎪=⎨-+⎪⎩≤≤≤ （3）图7中，作GH OE ⊥，垂足为H ，当4x =时，28OE x ==，1224DB x =-=，∴122GH DH DB ===，1666242OH HB DB =-=-=-=． ∴可知：(06)(42)(86)A G C ，，，，，． ∴经过A G C ，，三点的抛物线的解析式为：221(4)22644x y x x =-+=-+． （4）假设P 在运动过程中，存在P 与坐标轴相切的情况，设P 点坐标为00()x y ，， 当P 与y 轴相切时，有02x =，02x =±， 由02x =-得：011y =，∴1(211)P -，． 由02x =，得03y =，∴2(23)P ，．当P 与x 轴相切时，有02y =，∵21(4)204y x =-+>，∴02y =，得：04x =，∴3(42)P ， 综上所述，符合条件的圆心P 有三个，其坐标分别是：123(211)(23)(42)P P P -，，，，，． 例6 （2018湘潭）某中学要印制期末考试卷，甲印刷厂提出：每套试卷收0.6元印刷费，另收400元制版费；乙印刷厂提出：每套试卷收1元印刷费，不再收取制版费．（1）分别写出两个厂的收费y （元）与印刷数量x （套）之间的函数关系式；（2）请在图10的直角坐标系中，分别作出（1）中两个函数所在的直线；并根据图象回答：印800套试卷，选择哪家印刷厂合算？若学校有学生2 000人，为保证每个学生均有试卷，那么学校至少要付出印刷费多少元？（3）从图象上你还获得了哪些信息．（写一条与（2）中不同的信息即可）分析：（1）分别写出函数关系式．（2）作出函数图象时应注意自变量x 的取值范围．（3）从图象中获取信息，应紧紧围绕试题所提出的数学问题来回答．解：（1）4000.6y x =+甲；y x =乙．（2）如图11：由图象可知：印800套，选择乙厂，印2000套至少要1 600元．（3）当印1 000套时，不论哪个印刷厂都付出一样多的钱；当超过1 000套时，选甲厂印刷合算；当小于1 000套时，选乙厂印刷合算；或者y 乙是正比例函数；……点评：对函数知识的考查在很多中考命题中一般会置于综合问题里，解决的办法有方程思想、数形结合思想、分类讨论思想等，所以在复习时要密切予以关注．【考题预测】１．如图12，矩形ABCD 中，3AB =，4AD =，动点P 沿A →B →C →D 的路线由A 点运动到D 点，则APD △的面积S 是动点P 运动的路程x 的函数，这个函数的大致图象可能是（ ）2． 如图13，一次函数11y k x b =+与反比例函数k y x=的图象相交于A B ，两点，若已知一个交点为(21)A ，，则另一个交点B 的坐标为（ ） （A ）(21)，（B ）(21)--， （C ）(12)--， （D ）(12)，3．已知正比例函数y kx =经过点(12)P ，，如图14所示． （1）求这个正比例函数的解析式；（2）将这个正比例函数的图象向右平移4个单位，写出在这个平移下，点P 、原点O 的平移后所得的P O ''，的坐标，并求出平移后的直线的解析式．4．在社会主义新农村建设中，李叔叔承包了家乡的50亩荒山．经过市场调查，预测水果上市后A 种水果每年每亩可获利0.3万元，B 种水果每年每亩可获利0.2万元，李叔叔决定在承包的山上种植A 、B 两种水果．他了解到需要一次性投入的成本为：A 种水果每亩1万元，B 种水果每亩0.9万元．设种植A 种水果x 亩，投入成本总共y 万元．（1）求y 与x 之间的函数关系式；（2）若李叔叔在开发时投入的资金不超过47万元，为使总利润每年不少于11.8万元，应如何安排种植面积（亩数x 取整数）？请写出获利最大的种植方案．5．如图15，矩形ABCD 中，3AB =，4BC =，将矩形ABCD 沿对角线AC 平移，平移后的矩形为EFGH （A 、E 、C 、G 始终在同一条直线上），当点E 与C 重合时停止移动．平移中EF 与BC 交于点N ，GH 与BC 的延长线交于点M ，EH 与DC 交于点P ，FG 与DC 的延长线交于点Q ．设S 表示矩形PCMH 的面积，S '表示矩形NFQC 的面积．（1） S 与S '相等吗？请说明理由．（2）设AE x =，写出S 和x 之间的函数关系式，并求出x 取何值时S 有最大值，最大值是多少？（3）如图16，连结BE ，当AE 为何值时，ABE △是等腰三角形．6．如图17，已知抛物线23y x mx =-++与x 轴的一个交点(30)A ，．（1）你一定能分别求出这条抛物线与x 轴的另一个交点B 及与y 轴的交点C 的坐标，试试看；（2）设抛物线的顶点为Ｄ，请在图中画出抛物线的草图．若点(2)E n -，在直线BC 上，试判断E 点是否在经过D 点的反比例函数的图象上，把你的判断过程写出来；（3）请设法求出tan ∠DAC 的值．。