（3） agb ( (a b) a b )
2
1
(
r (a
r b)
2
r a
2
r b
2
)21来自r2 (ar 2a
r b
r2 b
|
r a
|2
|
r b
|2
)
r2 r
=a b
例2. 已知|a|=2，|b|=3，<a·b>=120° ,求 （1）(a+b) ·(a－b)； （2）(a－b)2； （3）(2a+b) ·(a－b).
方向上的正投影等于各个向量在这个方向上的
投影的数量和。
Ab
B a
O c0
c
l
A' C B '
例1. 求证：
（1）
rr (a b)2
r a
2
rr 2agb
r2 b
（2）
rr rr (a b)g(a b)
r a
2
r b
2
（3）
rr agb
1
(
r (a
r b)
2
r a
2
r b
2
)
2
r （1）(a
解：(a－b) ·a=|a|2－a·b =4－2×4×(－0.5)=8.
(a－b)2=|a|2－2a·b+|b|2=28, |a－b|=2 7 所以 cos a, a b a (a b) 2 7
| a || a b | 7
例5. 如图在矩形ABCD中，求证两条对角线 AC和BD的长相等。
2.3.2向量数量积的运算律
向量数量积的运算律
1.交换律 ab = ba 2.分配律 (a+b)c =ac +bc
3. λ(ab)=(λa)b = a(λb)
我们知道，一个向量与一个轴上的单位向
量的数量积等于这个向量在轴上的正投影的数
量，如果分配率中的向量c换成它的单位向量
c0，则分配率变成 (a+b)·c0=a·c0+b·c0. 证明分配率就成为证明：两个向量和在一个
解： （1） (a+b) ·(a－b)=|a|2－|b|2=4－9=－5。 (2) (a－b)2=|a|2－2a·b+|b|2 =4－2×2×3×(－0.5)+9 =19；
(3) (2a+b) ·(a－b)=2|a|2－a·b－|b|2 =2×4－2×3×(－0.5) －9 =2.
例3. 已知|a|=3，|b|=4，<a, b>=60° ,求 （1）|a+b|；（2）|2a－3b|.
解：a·b=|a|·|b|·cos<a,b>=6.
(1) |a+b|2=|a|2+2a·b+|b|2 =9+12+16=37.
所以 | a b | 37
(2) |2a－3b|2=4|a|2－12a·b+9|b|2=108, 所以 | 2a 3b | 6 3
例4. 已知|a|=2，|b|=4，<a, b>=120° ，求 a与a－b的夹角。
D
C
A
B
r b)2
r a
2
rr 2agb
r b
2
r (a
r b)2
r2 a
r 2a
r b
r2 b
r2 r r r2 a 2a b b
r （2）(a
rr b)g(a
r b)
r a
2
r b
2
r r r r r2 r2 (a b)g(a b) a b
r2 r2 a b
r r 1 r r 2 r2 r2