x x0 Fy Fz
,
M0
Fz Fx Gz Gx
y y0 Fz Fx
,
M0
Fx Gx
z z0
Fx Fy
Fy Gy M0
,
Gy Gz M0 Gz Gx M0 Gx Gy M0
法平面方程为:
Fy Gy
Fz Gz
M0
(
x
x0
)
Fz Gz
Fx Gx
(
M0
y
y0 )
Fx Gx
Fy Gy
M0
(
z
z0
dy dx
|(1,2, 1)
0,
dz dx
|(1,2, 1)
1,
由此得切向量为:
T (1, 0,1),
所求切线方程为: x 1 y 2 z 1,
1
0 1
法平面方程为: ( x 1) 0 ( y 2) (z 1) 0,
即
ห้องสมุดไป่ตู้
xz0
二、曲面的切平面与法线
1. 曲面的方程为一般方程
则切向量为: T ( x(0), y(0),z(0)) (1,2,3)
故, 切线方程为: x 0 y 1 z 2 ,
1
2
3
法平面方程为: x 2( y 1) 3(z 2) 0,
即
x 2 y 3z 8 0.
2.
空间曲线方程为
zy
( (
x) x)
的情形:
在M0(x0, y0, zo)处, 取x为参数, 则
§8.6 多元函数微分学的几何应用
一、空间曲线的切线和法平面
定义: 设M0是空间曲线L上的一个定点, M是L上 的一个动点, 当M沿曲线L趋于M0时, 割线M0M的极限 位置M下T面0(导如出果空极间限曲存线在的)称切为线曲方线程L.在M0处z的切线M. L
1. 空间曲线方程为参数方程的情形:
T
L:
x y
(t) (t)
z (t )
M0
(1)
o
y
x
(1)式中的三个函数均可导. 且导数不同时为零.
设M0(x0, y0, zo)对应参数 t=t0, M(x0+x, y0+y, zo+z) 对应参数 t=t0+t. 则割线M0M的方程为:
x x0 y y0 z z0
x y z
考察割线趋近于极限位置——切线的过程:
F令x(x0曲, yn0线,z(0)F在x点((tx00M),+y处F0y,的(zx00)切,,Fy向0y,(z量x00)满, y(0足t,0z):0+T)F,Fz(zx(n0x,.0由y,0y,曲0z,0z线)0))(在t0)=0
曲 垂 上面直 . 且于这上同张的一平任向面意量的性n法知. 因向, 此量上,为过所点n有, M并这的称些任切n为意线曲曲都面线在的同的切一在线平点都面M 处的法向量; 称这张平面为曲面在点M处的切平面.
x x0 y y0 z z0 . f x ( x0 , y0 ) f y ( x0 , y0 ) 1
全微分的几何意义 因为, 曲面z=f(x, y)在M处的切平面方程为
z z0 fx ( x0 , y0 )( x x0 ) f y ( x0 , y0 )( y y0 )
切平面上点的竖 函数z=f(x, y)在(x0, y0)的全微分.
2. 曲面的方程为显函数z=f(x, y)的情形: 令F(x, y, z)=f(x, y)–z, 则曲面在点M(x0, y0, z0)的 法向量为: n ( fx ( x0, y0 ), f y ( x0, y0 ), 1) 故, 切平面方程为:
fx ( x0 , y0 )( x x0 ) f y ( x0 , y0 )( y y0 ) (z z0 ) 0 法线方程为:
坐标的增量z.
即dz=fx(x0, y0)x+ fy(x0, y0)y.
函数z=f(x, y)在(x0, y0)的
全微分, 表示曲面z=f(x, y)在
点(x0, y0, z0)处的切平面上的 点的竖坐标的增量, 即以切
切平面的方程为:
Fx(x0, y0, z0)(x–x0)+Fy(x0, y0, z0)(y–y0)+Fz(x0, y0, z0)(y–y0)=0
通过点M(x0, y0, z0)而垂直于切平面的直线称为曲 面在该点的法线. 法线方程为:
x x0 y y0 z z0 Fx ( x0 , y0 , z0 ) Fy ( x0 , y0 , z0 ) Fz ( x0 , y0 , z0 )
F(x, y, z)=0的情形:
在曲面上任取一条通过点
M(x0, y0, z0)的曲线
:
x y
(t) (t),
对应M有
z t=t0 .
(t
)
n
T
M
曲线在M处的切向量为:
T ((t0 ), (t0 ), (t0 )),
又因为为曲面上的曲线, 故有
F((t), (t), (t)) 0
上式在t = t0 处对 t 求导得,
切线方程为: 法平面方程为:
x x0 1
y y0 z z0 ,
( x0 ) ( x0 )
( x x0 ) ( x0 )( y y0 ) ( x0 )(z z0 ) 0.
3.
空间曲线方程为
GF((xx,,
y, z) y, z)
0 0
的情形:
切向量为:T 切线方程为:
Fy Fz Gy Gz
(t0 )( x x0 ) (t0 )( y y0 ) (t0 )(z z0 ) 0
例1:求曲线
x
:
y
t
0
e
u
cos
udu
2sin t cos t
在t=0处的切线
和法平面方程.
z
1
e3t
解: 当t=0时对应曲线上的点的坐标为M0(0, 1, 2),
而
x etcos t, y 2cos t sin t, z 3e3t ,
上式分母同除以t , 得
x x0 y y0 z z0 ,
x y z
t
t
t
当M→M0, 即t →0时, 曲线在M处的切线方程为:
x x0 y y0 z z0 .
(t0 ) (t0 ) (t0 )
切向量(切线的方向向量)为
T ((t0 ), (t0 ),(t0 ))
法平面(过M0点且与切线垂直的平面)的方程为:
)
0
例2:
求曲线
x2 y2 x y
z z
2 0
6
在点(1,
–2,
1)处的切
线及法平面方程.
解一: 直接利用公式.
解二: 在所给方程的两边对x求导并移项, 得
y dy dx
dy
z dz
dz dx 1
x ,
解得 dy z x , dx y z
dz x y , dx y z
dx dx 在点(1, -2, 1)处