大于零的数，其值决定于各项目标的数量级及重要程度。
加权组合法的关键是加权因子的选择。
（2）目标规划法
先分别求出各个分目标函数的最优值 fj(X*) ，然后根据多 目标函数优化设计的总体要求，作适当调整，制定出思想
的最优值 fj (0) 。则统一目标函数可按如下方法来构成：
f
(X)
q
j1
f j(X) f j(0) fj(0)
差行星传动机构。 解：曲柄式少齿差行星传动机构的传动比为
为使偏曲轴少齿差行星减速器重量轻、体积小，并使少齿 差行星齿轮传动具有良好的传力性能，分别取各齿轮体积 之和最小和啮合角最小为目标函数。
设计变量为：
X=
=
约束条件： 根据设计要求，曲柄式少齿差行星传动机构优化设计中的约
束条件可分为三类：强度约束、几何约束和边界约束条件。 优化设计模型是由13个设计变量和32个约束条件组成的双
各层优化问题如下：
3.7 优化设计实例
例1：如图所示曲柄式少齿差 行星传动， 要求输入功率 P=4KW，输入转速 n1 = 2890r/min， 输出转速n4=10 r/min， 总传动比 i14 = 289，每天工作 8h，工作平稳。由于装配空 间的限制，要求此机构体积小、重量轻。试设计曲柄式少齿
目标优化。
例2. 考虑尺寸公差的圆柱螺旋压簧的最大切应力。
某弹簧使用中有1/3发生断裂，查找设计上的原因
丝径d：0.50.02mm 外径D ：3.28mmD2 d 内径D ：1 2.06mmD2＋d 自由高度H0： 9.2－1mm 有效圈数n： 500..2255 技术要求：弹簧H压 2 缩 4.2m 量m时，检测弹簧R反20力 .6~25.5N； 工作时的压H缩 1 量 4mm。
在上述多目标函数的优化问题中，各个目标函数f1(X),
f2(X),…,fq(X)的优化往往是相互矛盾的，不能期望它们的
极小点重复在一起，即不能同时达到最优解；甚至有时还
会产生对立的情况，即对一个目标函数是最优点，对另一
个目标函数却是差点。这需要在各个目标函数的最优解之
间进行协调，相互之间作出适当“让步”，以便取得整体
2
这意味着当各项分目标函数分别达到各自的理想最优值fj(0)时， 统一目标函数f(X)为最小。
此法的关键在于选择恰当的fj(0) (j=1,2,…,q)值。
（3）分目标乘除法
如果能将多目标函数优化问题中的全部q个目标分为：
目标函数法愈小愈好的所谓费用类(如材料、工时、成本、
重量等)和目标函数值愈大愈好的所谓效益类(如产量、
最优的方案。而不能像单目标函数的优化那样，通过简单
比较函数值大小的方法去寻优。由此可以看出，多目标函
数的优化问题要比单目标函数的优化问题复杂的多。而多
目标函数的优化方法虽然很多，但真正有效的方法并不多。
以下将要介绍几种常用的优化方法。
1 主要目标法
考虑到在多目标函数优化问题中各目标的重要程度 不一样，在优化问题中显然首先考虑主要目标，同时兼顾 次要目标。主要目标法就是以此思想作为指导，首先将多 目标函数优化问题中的全部目标函数，按其重要程度排列， 最重要的排在最前面，然后依次求各个（单）目标函数的 约束最优值，这时其它目标函数则根据初步设计的考虑给 予适当的最优值的估计值（在求得实际最优值后应以实际 最优值进行替换），作为辅助约束处理。这样就将多目标 函数的约束优化问题，转化成一些单目标函数的约束优化 问题，寻求整个设计可以接受的相对最优解。
1. 基本公式：
8KFD2
d 3
8KFC
d 2
0.1 6
where,C
D2 d
,
K
4C 1 4C 4
0.615 C
1.66
d D2
,
k
Gd4 8nD23
fj(X)-βj≤0 αj-fj(X)≤0, j=2, 3, …, q 在实际工程的优化设计中，总可以根据基本要求，对各项 设计指标（目标）作出正确的估计和判断，并按其重要性 进行排列，因此本法在实际使用中并不困难。
2 统一目标法 统一目标法的实质就是将优化模型中的各个目标函数 （或称分目标函数）f1(X), f2(X), …, fq(X) 统一到一 个总的“统一目标函数” f(X) 中，即令：
（1） 加权组合法
又称为线性组合法或加权因子法，即在将各个分目 标函数组合为总的“统一目标函数”的过程中，引入加权 因子，以考虑各个分目标函数在相对重要程度上的差异及 在量级和量纲上的差异。为此， f(X) 写为：
f (X) =∑ωj fj (X) (j=1,2,…,q) 式中 ωj —— 第j项分目标函数 fj(X) 的加权因子，是一个
产值、利润、效益等)，且前者有s项，后者有(q-s)项,
则统一目标函数可取为:
s
fj(X )
f (X )
j1 q
fj(X )
j s1
显然，使f(X)
min可得最优解。
3 宽容分层序列法
此法是将多目标优化问题转化为一系列单目标优化问题的 求解方法。
基本思想：
将多目标优化问题中的 q 个目标函数分清主次，依次对 各个目标函数求最优解，求解时，对各目标函数的最优值 放宽要求，可以预先对各目标函数的最优值取给定的宽容 量，即δ1> 0， δ2> 0，…，这样，在求后一个目标函数 的最优值时，是在前一目标函数最优值附近的某一范围进 行优化。
对数学模型中的q个分目标选出一个最重要的作为主要目 标，例如选f1(X)，同时对其它q-1个分目标fj(X) (j≠1)，给出上下界值:
αj≤fj(X)≤βj , j≠1 即限定这些分目标在一定范围内取值，把这些目标降为 约束条件。于是，问题转化为下列单目标优化问题：
min f1(X) s.t.gi(X)≤0, i=1, 2, …, m
f(X) = f{f1(X),f2n f(X), x∈Rn
s.t. gi (X)≤0, i=1,2,…,m hj (X)=0, j=1,2,…,p
的形式，把多目标函数的优化问题转化为单目标函数的 优化问题来求解。
在极小化 “统一目标函数” f(X) 的过程中，为了使各个 目标函数能均匀一致地趋向各自的最优值，可采用以下的 一些方法：