13级研究生现代数字信号处理作业（I）完成人1：姓名（学号）完成人2：姓名（学号）完成人3：姓名（学号）完成人4：姓名（学号）完成人5：姓名（学号）XXXX年XX月XX日13级研究生现代数字信号处理作业题（I ）一、已知模拟信号,k m ，现以采样频率500s f Hz =对其进行均匀采样，得到离散时间信号()x n 。

假设从0t =时刻开始采样，共采样N 个点，分析以下问题： （1）写出()x n 的表达式。

采样周期： s T = ()x n 的表达式为：(x n整理得：（2）判断()x n 是否为周期序列，如果是周期序列，确定其最小周期。

设信号周期为T ，则根据周期性定义有关系：带入()x n 表达式得：0.4 0.4其中k 和m 取正整数，最终算得最小周期50T =(s) （3）如果使用FFT 对()x n 进行频谱分析，并能分辨出()a x t 中的频率成份，请确定最小的N 值是多少？ 由公式1s s f f k k N NT ==可知FFT 最小频率分辨力为1s sf f N NT ∆==，根据题目知 10f Hz ∆=，代入公式解得50N =。

（4）写出Matlab 环境下，基于FFT 算法对该信号进行频谱分析的程序，参数使用（3）中确定的参数，要求绘制出信号的时域图形和频谱图。

程序：clear all ; close all ;fs=500; N=50; t=(0:N-1)*(1./fs); n=0:N-1; xn=cos(2.*pi.*100.*t)+cos(2.*pi.*110.*t); subplot(2,1,1) stem(n,xn,'fill');xlim([0,60]);xlabel('n'); ylabel('X(n)'); title('离散序列'); grid on ; M=50; n=0:M-1; f=500*n/M; Xk=fft(xn,M);subplot(2,1,2)stem(f,abs(Xk),'fill'); xlim([0,250]);xlabel('f'); ylabel('|X(f)| ^2'); title('离散序列频谱') grid on ;图形：（5）在采样点数N 不变的情况下，通过补零可以增大()x n 的长度，补零增长后再基于FFT 进行频谱分析，谱分析的分辨能力是否有所提高，为什么？信号的补零，不会引入更多的信息，因此只能提高DFT 分析的频谱密度，而无法提高DFT 分析的频谱分辨力，提高频谱分辨力在采样频率一定的情况下，只能通过增加对信号的采样点数来实现。

二、关于相关运算，分析下面的问题（1）写出序列()x n 与()y n 的相关运算()xy r m 的计算公式，分析其与卷积运算之间的关系。

定义()x n 与()y n 的相关运算()xy r m 的计算公式如下：()()()()()xy n n r m x n y n m x n m y n ∞∞=-∞=-∞=-=+∑∑定义()x n 与()y n 的卷积计算公式如下：()()()()k x n y n x k y n k ∞=-∞*=-∑故推得两者关系如下：()()()xy r m x m y m =*-（2）写出序列()x n 的自相关序列()xx r m 的计算公式，并用()x n 的傅立叶变换()j X e ω表示()xx r m 的傅立叶变换()j R e ω。

已知()x m 的傅立叶变换为()j X e ω，则由傅立叶变换性质知()x m -的傅立叶变换为()j X e ω-，又有（1）知()()()xx r m x m x m =*-，则由时域卷积定理得：2()()()()()()j j j j j j R e X e X e X e X e X e ωωωωωω-*=== （3）若2()cos()nx n Nπ=，求其自相关序列，并判断其自相关序列的周期。

将()x n 代入自相关函数计算公式，由积化和差知识化简得：22()1422()cos()cos()cos()cos()2xx n n n n m n m mr m N N N N N πππππ∞∞=-∞=-∞-==-+∑∑()xx r m 是关于m 的函数，故()xx r m 周期为T N =。

三、关于希尔伯特变换，分析以下问题： （1）希尔伯特变换的定义；给定一连续时间信号 f(n) ，其希尔伯特变换定义为：[]1()1()1()()()f f t f t H f t d d x t t t ττττπτπτπ∧∞∞-∞-∞-====*-⎰⎰ 给定一离散时间信号 x(n) ，其希尔伯特变换定义为：[]2(21)()()21x n m x n H x n m π+∞∧-∞--==+∑ （2）希尔伯特变换都有哪些主要性质；1、希尔伯特变换保持能量守恒，即信号通过希尔伯特变换器后，信号频谱的幅度不发生变化。

2、()f t 与()f t ∧互为奇偶函数。

3、()f t 与()f t ∧相互正交。

4、若()x t ,1()x t ,2()x t 的希尔伯特变换分别是()x t ∧,1()x t ∧,2()x t ∧，且12()()()x t x t x t =*，则：1212()()()()()x t x t x t x t x t ∧∧∧=*=*（3）何为解析信号，其频谱具有什么样的特征？ 给定一连续时间信号()f t ，其解析信号定义为：()()()z t f t j f t ∧=+定义()f t 的希尔伯特变换()f t ∧，与之对应的傅立叶变换分别为()F j Ω和()F j ∧Ω。

有希尔伯特变换定义知：()0()()0jF j F j jF j ∧ΩΩ<⎧Ω=⎨-ΩΩ>⎩则解析信号()z t 的频谱函数()Z j Ω计算式如下：2()0()00F j Z j ΩΩ>⎧Ω=⎨Ω<⎩故解析信号的信号频谱仅含正频率成分，利用这一特征能降低信号的抽样率。

四、若窄带信号的最高频率是5KHz ，最低频率为4KHz ，对其进行采样，试确定最小的采样频率？如果信号的最低频率是3.7KHz ，最小的采样频率应取多少。

1、窄带信号满足()H B H L f kf k f f ==-，其中k 为正整数，故最小采样频率可取22s B f f kHz ==2、信号最低频率改为3.7Hz 后，不再满足()H B H L f kf k f f ==-条件。

由窄带信号采样定理，采样频率s f 满足条件1H L s f ff N N ≤≤-时，采样后频域不会发生频率混叠，其中N 取大于2的正整数，由此算得max 3N =，s f 最小值取103kHz 。

五、总结对正弦信号进行采样应该注意的问题。

1、信号相位已知时，可以以2s m f f =进行采样。

2、信号相位未知时，采用s m f kf =，k 取大于等于3的正整数，即倍频采样。

因原信号表达式0()sin(2)f t A f πϕ=+中含三个未知数，故至少需要三个方程，即单周期内至少要三个采样点，即可获得原信号全部信息。

3、对正弦信号采样，截断时，应为整周期。

4、对采样以后的信号不宜进行补零。

六、关于FFT ，分析以下问题： （1）FFT 的含义是什么？英文全称Fast Fourier Transformation ，中文解释快速傅立叶变换。

（2）以8N =为例，分别绘制基-2时间抽取FFT 算法和分裂基FFT 算法的蝶形流程图。

（3）设()x n 是长度为2N 的有限长实序列，()X k 是()x n 的2N 点DFT ，试设计用一次N 点FFT 完成计算()X k 的高效算法。

1、定义新实序列1()(2)x n x n =，2()(21)x n x n =+，其中0121n N =- ,,,,，两者组成N 点复序列12()()()z n x n jx n =+。

2、对()z n 调用N 点FFT 算法程序得到N 点复序列()Z k ，此时若设1()x n 和2()x n 对应的DFT 为1()X k 和2()X k ，则有关系： 11()()()2X k Z k Z N k *⎡⎤=+-⎣⎦ 21()()()2X k Z k Z N k *⎡⎤=--⎣⎦ 3、那么原序列()x n 的2N 点DFT ()X k 的前N 个点序列为：12()()()kN X k X k W X k =+，其中0,1,2,,1k N =- ()X k 的后N 个点序列为：12()()()kN X k N X k W X k +=-，其中0,1,2,,1k N =-（4）用一次N 点FFT 可完成两个N 点实序列的DFT 的计算，试给出相应的算法。

已知两个N 点是序列1()x n 和2()x n ，对应的DFT 为1()X k 和2()X k ，现定义新N 点复序列12()()()z n x n jx n =+，对()z n 调用N 点FFT 算法程序得到N 点复序列()Z k ，则有关系：11()()()2X k Z k Z N k *⎡⎤=+-⎣⎦ 21()()()2X k Z k Z N k *⎡⎤=--⎣⎦七、若已知一数字滤波系统的单位取样响应序列为：15()(0.5)nh n -=，030n ≤≤，分析以下问题：（1）说明该滤波器是FIR 数字滤波器还是IIR 数字滤波器。

（2）计算该系统的相频响应，并说明这样的相频响应对信号处理有什么好处？（3）如果该数字滤波系统的输入信号为()x n ，其长度为620，系统的输出信号为()y n ，请给出三种计算()y n 的方法并分析运算量。

（4）假设采样频率500s f Hz =，输出信号()y n 相对于输入信号()x n ，会延迟多长时间？ （5）分析该系统是否为最小相位系统，并说明原因。

八、关于离散余弦变换，分析以下问题： （1）离散余弦变换的定义 []1(21)()()()()cos 2N c n n k X k DCT x n k x n N π-=+⎡⎤==⎢⎥⎣⎦∑，其中0,1,2,,1k N =- ，0()111k c k k N ==≤≤-⎩（2）离散余弦变换的典型特点是什么？ DCT 具有能量集中的特点。

（3）分析离散余弦变换用于数据压缩的原理。

DCT 具有把图像的重要可视信息都集中于DCT 变换的小部分系数中。

原理如下：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-===⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-===-=-=++=∑∑-=-=1,...,2,1,20,1)(1,...,2,1,20,1)(;1,...,1,0;1,...,1,02)12(cos2)12(cos),()()(),(101N v Nv N v c M u M u M u c N v M u Nvy Mux y x f v c u c v u F M x N y ππ九、信号()x t 中有一定的高频噪声干扰，干扰信号的频率在4000~5000Hz 之间，设计一个数字滤波系统，滤除干扰信号，要求：通带截止频率为2000Hz ，通带衰减不大于3dB ，阻带截止频率为4000Hz ，阻带衰减不小于40dB ，滤波器的频率响应无起伏波纹。