2012～2013学年度第一学期期中考试高三数学试题（考试时间：120分钟；分值：160分）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在相应位置上．1．已知点A(1,1)，点B(3,5)，则向量AB 的模为 ▲ ． 2．已知集合2{|230}M x x x =--=，{|42}N x x =-<≤，则MN = ▲ ．3．各项是正数的等比数列}{n a 中，2a ，321a ，1a 成等差数列，则数列}{n a 公比q= ▲ ．4．已知函数()sin y x ωϕ=+0,02πωϕ⎛⎫><≤ ⎪⎝⎭，且此函数的图象如图所示，则点(),ωϕ 的坐标是 ▲ ．5．已知x >1，则21x x +-的最小值为 ▲ ． 6．在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知5=a ，325=b ，4π=A ，则=B cos ▲ ．7．若函数))(2()(2c x x x f +-=在2=x 处有极值，则函数)(x f 的图象在1=x 处的切线的斜率为 ▲ ． 8．已知1cos ,cos()714ααβ=-=，且02πβα<<<，则cos β= ▲ ．9．定义在R 上的函数f (x )满足⎩⎨⎧>---≤-=0),2()1(0),1(log )(2x x f x f x x x f ，则f (5)= ▲ ．10． 已知数列{n a }的前n 项和n S 满足22n n S n a +=，则数列{n a }的通项公式为 ▲ ．11．设函数()[)1,,1,f x n x n n n N =-∈+∈，则方程()2log f x x =有 ▲ 个根．12．已知函数()3123f x x x =+，对任意的[]3,3t ∈-，()()20f tx f x -+<恒成立，则x 的取值范围是 ▲ ．13．设等比数列{}n a 的公比1q ≠，n S 表示数列{}n a 的前n 项的和，n T 表示数列{}n a 的前n 项的乘积，()n T k 表示{}n a 的前n 项中除去第k 项后剩余的n-1项的乘积， 即()(),,nn kT T k n k N k n a *=∈≤，则数列()()()12n n n n n S T T T T n +++的前n 项的和是 ▲ (用1a 和q 表示)14．已知函数()f x 的定义域为[]1,5-，部分对应值如下表．x－1 0 4 5 ()f x1221()f x 的导函数()y f x '=的图象如图所示：下列关于()f x 的命题：①函数()f x 是周期函数；②函数()f x 在[]0,2是减函数；③如果当[]1,x t ∈-时，()f x 的最大值是2，那么t 的最大值为4；④当12a <<时，函数()y f x a =-有4个零点；⑤函数()y f x a =-的零点个数可能．．为0、1、2、3、4个．其中正确命题的序号是 ▲ ．二、解答题：本大题共六小题，共计90分．请在指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）已知各项均不相同的等差数列{}n a 的前四项和414S =， 且137,,a a a 成等比数列.(Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式；(Ⅱ)设n T 为数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⋅⎩⎭的前n 项和，求2012T 的值.16．（本小题满分14分）已知()3sin ,sin a x x =，()sin ,cos b x x =，设函数()f x a b =⋅，π[,π]2x ∈(Ⅰ)求函数()f x 的零点；(Ⅱ)求函数()f x 的最大值和最小值.17．（本小题满分14分）已知函数2()21(0)g x ax ax b a =-++>在区间[2，3]上的最大值为4，最小值为1，记()(||).f x g x = (Ⅰ)求实数a ，b 的值；(Ⅱ)若不等式2(log )(2)f k f >成立，求实数k 的取值范围； （Ⅲ）定义在[p,q]上的一个函数m （x ），用分法01:i n T p x x x x q =<<<<<=将区间[p,q]任意划分成n 个小区间，如果存在一个常数M>0，使得和式11()()ni i i m x m x M -=-≤∑恒成立，则称函数()m x 为在[p,q]上的有界变差函数，试判断函数()f x 是否为在[1，3]上的有界变差函数？若是，求M 的最小值；若不是，请说明理由。

（参考公式：121()()()nii f x f x f x ==++∑……+()n f x ）18．（本小题满分16分）如图：某污水处理厂要在一个矩形污水处理池)(ABCD 的池底水平铺设污水净化管道FHE Rt ∆(，H 是直角顶点）来处理污水，管道越短，铺设管道的成本越低.设计要求管道的接口H 是AB 的中点，F E ,分别落在线段AD BC ,上。

已知20=AB 米，310=AD 米，记θ=∠BHE 。

(Ⅰ)试将污水净化管道的长度L 表示为θ的函数，并写出定义域；(Ⅱ)若213cos sin +=+θθ，求此时管道的长度L ； （Ⅲ）问：当θ取何值时，铺设管道的成本最低？并求出此时管道的长度。

19．（本小题满分16分）已知常数0>a ，函数()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<≥+=,2,449,2,3243a x x a a x x a x x f (Ⅰ)求()x f 的单调递增区间；(Ⅱ)若20≤<a ，求()x f 在区间[]2,1上的最小值()a g ；(Ⅲ)是否存在常数t ，使对于任意⎪⎭⎫ ⎝⎛>⎪⎭⎫ ⎝⎛-∈222,2a t a t ax 时，()()()()()[]()t f x t f x f t fx t f x f -+≥+-222恒成立，若存在，求出t 的值；若不存在，说明理由。

20．（本小题满分16分）已知等比数列{}n a 的首项12012a =，公比12q =-，数列{}n a 前n 项和记为n S ，前n 项积记为()n ∏.(Ⅰ)求数列{}n S 的最大项和最小项；(Ⅱ)判断()n ∏与(1)n ∏+的大小，并求n 为何值时，()n ∏取得最大值； (Ⅲ)证明{}n a 中的任意相邻三项按从小到大排列，总可以使其成等差数列，如果所有这些等差数列的公差按从小到大的顺序依次设为123,,,n d d d d ，证明:数列{}n d 为等比数列。

参考答案一、填空题1．2．{1}-；3．215+；4．2,4π⎛⎫⎪⎝⎭；5．1；6；7．5-； 8．129．1；10．122n n a +=-；11．3；12．11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭；13．()2111n a q q --；14．②⑤二、解答题15．解（Ⅰ）设公差为d ，由题意得()()12111461426a d a d a a d +=⎧⎪⎨+=+⎪⎩ ……………4分解得d=0（舍）或d=1，所以12a =故1n a n =+ ……………7分（Ⅱ）()()11111212n n a a n n n n ==-++++ 所以1111111123341222n T n n n =-+-++-=-+++……………12分 所以20125031007T =………………………………………………………14分16．（Ⅰ）解：由题意：2()sin cos f x x x x =+，π[,π]2x ∈ (1)分令()0f x =，得 sin cos )0x x x ⋅+=， 所以sin 0x =，或tan x =………………2分 由sin 0x =，π[,π]2x ∈，得x π=由tan 3x =-，π[,π]2x ∈，得56x π=。

综上，函数()f x 的零点为56π或π。

……………6分（Ⅱ）解：()()11cos 2sin 2sin 22232f x x x x π⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭ ……………8分 因为π[,π]2x ∈，所以2π5π2[,]333x π-∈当2π233x π-=，即π2x =时，()f x (12)分当π3π232x -=，即11π12x =时，)(x f的最小值为12-+. ……………14分17．解：（Ⅰ）2()21(0)g x ax ax b a =-++>，因为0a >，所以()g x 在区间[2，3]上是增函数，故()()2134g g =⎧⎪⎨=⎪⎩，解得1a b =⎧⎨=⎩；…………………………5分（Ⅱ）由已知可得2()(||)21f x g x x x ==-+为偶函数，所以不等式2(log )(2)f k f >可化为2log 2k >，……………8分 解得4k >或104k <<；…………………………10分 （Ⅲ）函数()f x 为[1，3]上的有界变差函数。

因为函数()f x 为[1，3]上的单调递增函数，且对任意划分011:13i i n T x x x x x -=<<<<<<=有()()()()()()01113n n f f x f x f x f x f -=<<<<=所以11|()()|ni i i f x x -=-=∑()()()()()()10211n n f x f x f x f x f x f x --+-+-()()()()0314n f x f x f f =-=-=所以存在常数M ，使得11||()()|ni i i m x m x M -=-≤∑恒成立。

(14)分18．解：（Ⅰ）10cos EH θ=，10sin FH θ=，θθcos sin 10=EF (4)分由于10tan 103BE θ=⋅≤，10103tan AF θ=≤， 3tan 33θ≤≤，[,]63ππθ∈。

所以101010cos sin sin cos L θθθθ=++⋅ ，[,]63ππθ∈……………………6分（Ⅱ）213cos sin +=+θθ时，43cos sin =θθ，)13(20+=L ；……………10分 （Ⅲ）101010cos sin sin cos L θθθθ=++⋅=sin cos 110sin cos θθθθ++⎛⎫ ⎪⋅⎝⎭，设sin cos t θθ+=, 则21sin cos 2t θθ-⋅=，由于[,]63ππθ∈，所以31sin cos 2sin()[,2]4t πθθθ+=+=+∈ ，201L t =-在31[,2]2+ 内单调递减，于是当2t =时4πθ=. L 的最小值20(21)+米……………15分答：当4πθ=时，所铺设管道的成本最低，此时管道的长度为20(21)+米 (16)分19．解：(Ⅰ)当2a x <时，249()4f x a x =为增函数． …………………………（2分）当2a x ≥时，()f x '=23x 423a x -．令()f x '0>，得x a x a ><-或．……（4分）∴()f x 的增区间为(,)a -∞-，(,)22a a-和(,)a +∞．………………………（6分）(Ⅱ)由右图可知，①当12a <<时，12aa <<，()f x 在区间[]1,a 上递减，在[],2a 上递增，最小值为3()4f a a =；………（8分） ②当01a <≤时，()f x 在区间[]1,2为增函数，最小值为4(1)13f a =+；……………………………（10分）③当2a =时，()f x 在区间[]1,2为增函数，最小值为3()4f a a =； ……………………………（11分）综上，()f x 最小值431301()412a a g a a a ⎧+<≤=⎨<≤⎩． …………………………（12分）(Ⅲ)由()[]2()(2)()(2)()f x f t x f t f x f t x f t -+≥+-，可得[][]()()()(2)0f t f x f t f t x ---≥， ……………………………（14分）即()()()(2)f t f x f t f t x ≤⎧⎨≤-⎩或()()()(2)f t f x f t f t x ≥⎧⎨≥-⎩成立，所以t 为极小值点，或t 为极大值点．又,222aa x t ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时()f x 没有极大值，所以t 为极小值点，即t a =（16分）20．解：（Ⅰ）111[1()]221[1()]1321()2n n n a S a --==---- (1)当n 是奇数时，121[1()]32n n S a =+, 单调递减，13521123n S S S S a -∴>>>⋅⋅⋅>>, (2)当n 是偶数时，121[1()]32n n S a =-, 单调递增，2462123n S S S S a ∴<<<⋅⋅⋅<<； 综上，当n=1时，12012n S S =有最大值为; 当n=2时，21006n S S =有最小值为.…4分（Ⅱ）123|()|||n n a a a a ∏=，1|(1)|1||2012()|()|2n n n a n +∏+∴==∏， 111020122012122<<， 则当10n ≤时，|(1)||()|n n ∏+>∏；当11n ≥时，|(1)||()|n n ∏+<∏，……6分 又(10)0,(11)0,(9)0,(12)0∏<∏<∏>∏>，()n ∴∏的最大值是(9)(12)∏∏和中的较大者.310310111211(12)1[2011()]1(9)2a a a a ∏===->∏，(12)(9)∴∏>∏， 因此当n=12时，()n ∏最大. ………………………10分（Ⅲ） ||n a 随n 增大而减小，数列{}n a 的奇数项均正数且递减，偶数项均负数且递增. ①当n 是奇数时，调整为12,,n n n a a a ++.则1111111()()222n n n n n a a a a a -++=-+-=，1121122()22n n na a a ++=-=，12122,,,n n n n n n a a a a a a ++++∴+=成等差数列；………………………12分②当n 是偶数时，调整为21,,n n n a a a ++；则1111111()()222n n n n n a a a a a -++=-+-=-，1121122()22n n na a a ++=-=-， 12212,,,n n n n n n a a a a a a ++++∴+=成等差数列； 综上可知，数列{}n a 中的任意相邻三项按从小到大排列，总可以使其成等差数列.14分①n 是奇数时，公差112111311[()()]222n n n n n n a d a a a ++++=-=---=； ②n 是偶数时，公差111211311[()()]222n n n n n n a d a a a +-++=-=---=. 无论n 是奇数还是偶数，都有1132n n a d +=，则112n n d d -=， 因此，数列{}n d 是首项为134a ，公比为12的等比数列. …………………16分。