2021/3/30
向量的教育价值
向量是通过位移、力、速度等概念抽象出来的，通过向量的坐标表示，向 量与代数、几何、三角建立起广泛的联系。从这里可以看到数学的抽象为 向量的广泛应用打下了坚实的基础。数学的抽象，使数学应用更加广泛， 这是辨证法。通过向量学习引导学生认识科学抽象的作用。
2021/3/30
2021/3/30
向量的发展史
当时的数学家想到， 实数可看作一维向量， 复数可看作 二维向量，那么一定还有“三维数”、“四维数”， 乃 至“N维数”。令人失望的是， 哈密顿发现， 要形成有 加减乘除四则运算的数系， 只能是四元数， 而且不得不 放弃乘法的交换律。最后发现的八元数， 连结合律也维 持不了。除此而外， 其他维数的向量， 根本无法定义四 则运算，谈不上构成数系[1]。
2021/3/30
向量教学的作用地位
作用地位：向量是近代数学最重要和基本的数 学概念之一，是沟通代数、几何、三角的桥梁。 它与代数、几何、三角的联系将随着向量的坐 标表示逐步具体化。为了说明这种联系，书中 给出了向量在推导两角差的余弦公式、在线性 方程组解的存在性讨论、在几何证明中应用的 例题。这些例题仅是一种启示，更多具体的联 系同学们可以在探索中发现。向量实质上是坐 标几何（高中二年级第二学期将学习）的反璞 归真。可以这样说：向量是继函数概念以外， 另一个贯穿整个高中数学的核心概念。
向量的发展史
史载，古希腊的亚里士多德（前384-前322）已 经知道两个力的合成，可以用平行四 边形的法则 得到。但是， 集古希腊数学大成的《几何原本》， 没有讨论向量。 以后的一千多年中，经过文艺复 兴时期， 牛顿创立微积分之后的17、18世纪， 向量的知识没有什么变化。伽利略（1564-1642） 清楚地叙述 了“平行四边形法则”，仅此而已。 这点向量知识，形不成多少有意义的问题， 发展 不成一个独立的学科， 因而数学家没有把向量当 作一回事。
2021/3/30
向量的发展史
现今的上海新课程， 在初中就出现了“平面向量”的概念。高中的解析几何 部分， 也注入了“向量几何”的成分。 例如用向量推导平面直线方程，强 调直线的方向式和法向式、直线的一般式和直线的斜率，却不要求学生在 “两点式”、“点斜式”上下功夫。这样做，可以和将来推导空间直线方程 相一致。Leabharlann 2021/3/30向量的发展史
向量几何在法国已经有很长的历史。以下是一个初中的教学事例（取自1985 年法国国民教育部数学教育委员会马蒂内访华讲演）
高二数学新增部分内容 教学建议
松江区教师进修学院数学组陈萍
2021/3/30
新课本高二上的教学内容
分为三个单元: 1 数列和数学归纳法(数列概念、等差数列、等比数列、数学归纳法、归纳─
猜想─论证、数列极限、无穷等比数列各项和). 2 高中线性数学(平面向量的坐标表示、矩阵、行列式). 3 算法初步(算法概念、程序框图、计算语句与计算程序).
2021/3/30
向量的发展史
上海教材在陈昌平主编的力挺之下， 率先在1990年代初全面推行向量方法。 进入21世纪以后，立体几何采用向量方法处理，在全国范围内也终成定局。
实际上， 现今中学数学内容，除去“数和式的运算”以及排列组合、
数据处理 等少数内容， 可以分成“线性数学”和“非线性”数学两大部分。
[1] 参见罗贤强 ,从四元数到向量:向量概念演变的历史 分析<<西北大学学报（自然科学版） >>2005年04期
2021/3/30
向量的发展史
德国数学家格拉斯曼1844年引入了n 维向量的概 念。令人深思的是， N维向量既然不能成为有四 则运算的数系， 那么它的结构是什么呢？这是19 世纪抽象代数思想的发展的自然思考。研究表明， N维向量全体，可以定义加法和减法，此外还有单 个的“数”可以和向量相乘。 这就是向量空间 （线性空间）的来源。 此外， 两个向量可以 有“内积”和“外积”，但是它们都没有逆运算， 即没有除法。 这是一个不同于“数系”的崭新的 数学结构。果然， 在向量空间的舞台上， 产生 了具有深远影响的数学成就。
2021/3/30
向量的发展史
那么， 向量究竟有什么威力和魅力， 使得它如此受人重视呢？说来简单， 无非是向量“能算”。在数学上， 点的直角坐标，向量的坐标分解（投影）， 直角三角形的正弦余弦， 复数的实部与虚部， 四位一体。它们的原始概念 彼此相通，只有形式上的不同。向量分解可以看作直角坐标的一种推广。分 解就是投影， 投影的量化就是正弦和余弦。
在大学里， 则大量流行“线性”。“ 线
性代数”、“线性变换”、“线性常微分方程”、
““线性偏微分方程”、“线性规划”、“线性
算子 ”、“线性泛函”、 “线性控制系统”、
“拟线性”、“准线性”等等， 不一而足。
2021/3/30
向量的发展史
相对于大学热衷于向量空间和线性数学， 我国中学的反映比较迟缓。 1980 年代， 中学里只有与复数相关的平面向量。 那里不谈数量积，只有平行四 边形法则孤零零的一点内容， 不成气候。 至于三维向量进入立体几何， 则 历尽周折。 直到1990年代， 仍然势均力敌（据说在国家教材审定委员会里， 4票对4票）， 遂有立体几何分两种版本的折中处理办法问世。
2021/3/30
向量的发展史
进入19世纪， 事情开始发生变化。“复数”充当了催化剂。 丹麦的魏塞尔 （1745-1818），瑞士的阿工（1768-1822）发现了复数的几何表示，德国高 斯（1777-1855）建立了 复平面的概念，从而使向量与复数建立起一一对应。 这不但为虚数的现实化提供了可能，也为向量的发展开辟了道路。向量表示 为一对有序的实数（a, b），是一个重大的进步。
2021/3/30
向量的发展史
“线性”， 是20世纪数学中使用十分广泛的词汇。 但是， 中国的中学数学教学中却很少使用。 无 论是英文还是俄文， 我们常说的“一次方程”和 “一次函数”， 原本都是“线性方程（Linear Equation）”和“线性函数(Linear Function)”。 至于为什么丢弃“线性”的提法，不得而知。