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计算机控制系统的闭环脉冲传递函数
1. 数字部分的脉冲传递函数 • 控制算法，通常有以下两种形式：
– 差分方程 – 连续传递函数
(离散法) (z变换法)
脉冲传递函数D(z) 脉冲传递函数D(z)
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计算机控制系统的闭环脉冲传递函数
2. 连续部分的脉冲传递函数
• 计算机输出的控制指令u*(t)是经过零阶保持器加到系统的 被控对象上的，因此系统的连续部分由零阶保持器和被控 对象组成。
2.5 脉冲传递函数(Z传递函数)
1.定义：在初始条件为零时，
离散系统脉冲传递 函数 又称为z传递函数 输出量z变换 输入量z变换
输出的采样信号：
为了用Z传函表示，可在输 出端虚设一个与输入开关同 步动作的采样开关
1
2.5 脉冲传递函数特性
2. 连续环节的离散化
离散系统的脉冲传递函数可以看作是系统输入为单位脉冲时，其脉 冲响应的z变换。 若已知采样系统的连续传递函数G(s)，当其输出端 加入虚拟开关变为离散系统时，其脉冲传递函数可按下述步骤求取：
1.定义：在初始条件为零时，
离散系统脉冲传递 函数 又称为z传递函数 输出量z变换 输入量z变换
输出的采样信号：
为了用Z传函表示，可在输 出端虚设一个与输入开关同 步动作的采样开关
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环节串联连接的等效变换
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环节并联连接的等效变换
根据叠加定理有：
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闭环反馈系统脉冲传递函数
C( z)
前向通道所有独立环节z变换的乘积 1 闭环回路中所有独立环节z变换的乘积
（1）对G(s)做拉氏反变换，求得脉冲响应 （2）对 g (t ) 采样，求得离散系统脉冲的响应为
（3）对离散脉冲响应做z变换，即得系统的脉冲传递函数为
几种脉冲传递函数的表示法均可应用
脉冲传递函数完全表征了系统或环节的输入与输出之间的特性， 并且也只由系统或环节本身的结构参数决定，与输入信号无关。
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Ts
•解
HG s (1 e
Ts
1 1 )[ ] s sa
•式中e-Ts相当于将采样延迟了T时间。根据 Z变换的线性定理和滞后定理，再通过查表， 可得上式对应的脉冲传递函数为 1 1 z 1 z (1 e aT ) 1 e aT 1 HG z (1 z )[ ] aT 1 aT aT 1
K z z K z (e aT ebT ) G( z ) ( ) aT bT ba z e z e b a ( z e aT )( z ebT )
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•零阶保持器H(s)与被控对象G(s)串联成为 广义对象，其Z传递函数为HG(z)。 •例2-21已知一个广义对象为： s 1 e a HG s sa 求HG(z)=？
1 z
1 e
z
z ( z 1)( z e
)
4 ze
2.5 脉冲传递函数特性
脉冲传递函数的极点与零点
– 极点
• 当G(z)是G(s)由通过z变换得到时，它的极点是G(s) 的极点按z=e-sT的关系一一映射得到。由此可知， G(z)的极点位置不仅与G(s)的极点有关，还与采样 周期T密切相关。当采样周期T足够小时，G(s)的极 点都将将密集地映射在z=1附近。
G1 ( z)G2 ( z) G1G2 ( z), 但二者极点相同！
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环节串联连接的等效变换
2. 串联环节的脉冲传递函数
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环节串联连接的等效变换
3. 并联环节的脉冲传递函数
根据叠加定理有：
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2.5.3.3.闭环反馈系统脉冲传递函数
E(z) = R(z)-B(z) B(z) = G2G3H(z)U(z) E(z) = R(z) - G2G3H(z)U(z) C(z) = G2G3(z)U(z) U(z) = G1(z)E(z) C(z) = G2G3(z)G1(z)E(z)
c(t ) c(t 1) 0.632c(t 2) 0.368r (t 1) 0.264r (t 2)
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2.5.4 用传递汉书分析离散系统的过渡过 K[(e aT 1) z (1 e aTe )] 程 e )]z [K (1 e aTe ) a e ]， 例2.34.已知(z)= a z [ K (e aT 1) a (1
•
G( z) K [(e aT aT 1) z (1 e aT aTe aT )] (z)= 2 1 G( z ) a ( z 1)( z e aT ) K[(e aT aT 1) z (1 e aT aTe aT )] a 2 z 2 [ K (e aT K [(e aT aT 1) z (1 e aT aTe aT )] aT 1) a 2 (1 e aT )]z [ K (1 e aT aTe aT ) a 2e aT ]
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• 例 2.28 设线性离散系统的差分方程为：
c(kT ) 3c(kT T ) 4c(kT 2T ) 5c(kT 3T ) r (kT ) 3r (kT T ) 2r (kT 2T )
• 初始静止，求系统的Z传函？
C( z) 1 3z 1 2 z 2 解：G( z ) R( z ) 1 3z 1 4 z 2 5 z 3
aT aT aT 2 2 aT 2 aT aT aT 2 aT
输入为单位阶跃，且a 1/ s, K 1, T 1s, 分析系统的过渡过程。
(z)=
a z [ K (e
2 2
aT
K[(e aT aT 1) z (1 e aT aTe aT )] e1 z (1 2e1 ) 2 2 aT aT aT 2 aT aT 1) a (1 e )]z [ K (1 e aTe ) a e ] z z (1 e1 )
(z)= K[(e aT aT 1) z (1 e aT aTe aT )] e1 z (1 2e1 ) 2 2 aT aT aT 2 aT aT 1) a (1 e )]z [ K (1 e aTe ) a e ] ) z / ( z 1)
e1 z (1 2e1 ) z 0.368z 2 0.264 z C ( z ) (z)R(z) 2 3 超调量40% 1 z z (1 e ) z 1 z 2 z 2 1.632 z 0.632 峰值时间3s 震荡次数1.5次 C ( z ) e1 z (1 2e1 ) 0.368 z 1 0.264 z 2 法2： 2 稳态误差0 1 R( z ) z z (1 e ) 1 z 1 0.632 z 2
a 2 z 2 [ K (e aT
法1：输入单位阶跃：R( z) z / ( z 1)
e1 z (1 2e1 ) z 0.368z 2 0.264 z C ( z ) (z)R(z) 2 3 1 z z (1 e ) z 1 z 2 z 2 1.632 z 0.632 C ( z ) e1 z (1 2e1 ) 0.368 z 1 0.264 z 2 法2： 2 1 R( z ) z z (1 e ) 1 z 1 0.632 z 2
共同作用时 的系统输出
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2.5.4离散系统动态特性指标的提法
动态特性主要是用系统在单位阶跃输入信号作用下的响应特性来描述。 超调量
图 系统阶跃响应特性
图 系统阶跃响应的采样
上升时间
峰值时间
调节时间
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2.5.4 用传递函数分析离散系统的过渡过程
例2.34.已知(z)= a 2 z 2 [ K (e aT K[(e aT aT 1) z (1 e aT aTe aT )] ， aT 1) a 2 (1 e aT )]z [ K (1 e aT aTe aT ) a 2e aT ] 输入为单位阶跃，且a 1/ s, K 1, T 1s, 分析系统的过渡过程。
1. 采样系统中连续部分的结构形式
并不是所有结构都能写出环节的脉冲传递函数
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• 例2-30
z az 设G1 ( z ) , G2 ( z ) ，求开环传函G ( z ) ? aT z 1 z e
•
az 2 解：G( z ) G1 ( z )G2 ( z ) ( z 1)( z e aT ) 1 a 设G1 ( s ) , G2 ( z ) ，求开环传函G ( z ) ? 例2-31 s sa z (1 e aT ) 解：G( z ) Z [G1 (s)G2 (s)] G1G2 ( z ) ( z 1)( z e aT )
被控对象传 递函数
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3. 闭环传递函数的求取
K , 求闭环Z传递函数(z)=? 例2-33如图2-14,已知G0 ( s) s( s a)
1 e aT K k 1 k 1 k 1 1 G ( z ) HG( z) Z[ ] (1 z ) Z[ 2 2 2 ] s s ( s a) a s a s a ( s a) z 1 k Tz k z k z K [(e aT aT 1) z (1 e aT aTe aT )] [ 2 2 ] 2 aT z a ( z 1) a z 1 a z e a 2 ( z 1)( z e aT )
• 例 2.29 设线性离散系统的Z传递函数为：
1 3z 1 2 z 2 z -3 z -4 G( z ) 1 4 z 1 5 z 2 3z 3 2 z 4