第二十二章 曲线积分与曲面积分P.361 第一型曲线积分与第一型曲面积分 1. 计算下列第一型曲线积分： （1）)1,0(),0,1(),0,0(,)(B A O L ds y x L是以其中⎰+为顶点的三角形；（2）⎰+Lds y x2122)(，其中L 是以原点为中心，R 为半径的右半圆周；（3）⎰L xyds ，其中L 为椭圆12222=+by a x 在第一象限中的部分；（4）⎰Lds y ，其中L 为单位圆122=+y x ；（5）ds z y x L)(222⎰++，其中L 为螺旋线)20(,sin ,cos π≤≤===t bt z t a y t a x 的一段； （6）⎰Lxyzds ，其中L 为曲线)10(21,232,22≤≤===t t z t y t x 的一段； （7）⎰+Lds z y 222,其中L 是2222a z y x =++与y x =相交的圆周．2. 求曲线)0,10(21,,2>≤≤===a t at z at y a x 的质量．设其线密度为.2az =ρ 3. 求摆线⎩⎨⎧≤≤-=-=)0()cos 1()sin (πt t a y t t a x 的重心，设其质量分布是均匀的．4. 计算下列第一类型曲面积分： （１）⎰⎰++SdS z y x )(,其中S 是上半圆面0,2222≥=++z a z y x ； （２）⎰⎰+SdS y x )(22，其中S 为立体122≤≤+z y x 的边界曲面； （３），⎰⎰+S yx dS 22其中S 为柱面222R y x =+被平面H z z ==,0所截取的部分； （４）⎰⎰SxyzdS ，其中S 为平面1=++z y x 在第一卦限中的部分；5. 若曲线以极坐标))((21θθθθρρ≤≤=表示，试给出计算⎰Lds y x f ),(的公式，并用此公式计算下列曲线积分： （１）⎰+Ly x ds e22，其中L 为曲线)4(πθρ≤≤=a 的一段；（２）⎰Lxds ，其中L 为对数螺线)0(>=k ae k θρ在圆a r =内的部分．6. 设有一质量分布不均匀的半圆弧)0(sin ,cos πθθθ≤≤==r y r x ，其线密度θρa =（a 为常数），求它对原点)0,0(处质量为m 的质点的引力．7. 证明：若函数f 在光滑曲线],[),(),(:βα∈==t t y y t x x L 上连续，则存在点L y x ∈),(00，使得L y x f dS y x f L∆=⎰),(),(00，其中L ∆为L 的长．8. 计算dS z S⎰⎰2，其中S 为圆锥表面的一部分： ⎩⎨⎧≤≤≤≤⎪⎩⎪⎨⎧===,20,0:;cos sin sin sin cos :πϕθθϕθϕa r D r z r y r x S这里θ为常数).20(πθ≤≤P.371 第二型曲线积分1. 计算第二型曲线积分： （１）⎰-L ydx xdy ，其中L 为本节例２中的三种情形．（２）⎰+-Ldy dx y a )2(，其中L 为摆线)20)(cos 1(),sin (π≤≤-=-=t t a y t t a x 沿t 增加方向的一段； （３）⎰++-L y x ydy xdx 22，其中L 为圆周222a y x =+，依逆时针方向；（４）⎰+Lxdy ydx sin ，其中L 为)0(sin π≤≤=x x y 与x 轴所围的闭曲线，依顺时针方向； （５）⎰++Lzdz ydy xdx ，其中L ：从（１，１，１）到（２，３，４）的直线段．2. 设质点受力作用，力的反方向指向原点，大小与质点离原点的距离成正比．若质点由)0,(a 沿椭圆移动到),0(b ，求力所作的功。

3. 设一质点受力作用，力的方向指向原点，大小与质点到xy 平面的距离成反比。

若质点沿直线)0(,,≠===c ct z bt y at x 从),,(c b a M 到)2,2,2(c b a N ，求力作的功。

4. 证明：曲线积分的估计式：,LM Qdy Pdx AB≤+⎰其中L 为AB 的弧长，22),(maxQ P M ABy x +=∈，利用上述不等式估计积分⎰=+++-=222222)(R y xR y xy x xdyydx I ，并证明：0lim =+∞→R R I 。

５.计算沿空间曲线的第二型曲线积分：（１）⎰Lxyzdz ，其中Ｌ：z y z y x ==++与1222相交的圆，其方向按曲线依次经过１，２，７，８卦限； （２）dz y x dy x z dx z yL)()()(222222-+-+-⎰，其中L 为球面1222=++z y x 在第一卦限部分的边界曲线，其方向按曲线依次经过xy 平面部分，yz 平面部分和zx 平面部分．P.381 格林公式 曲线积分与路线无关性 1. 应用格林公式计算下列曲线积分： （１）⎰-L ydy x dx xy22，其中L 为圆周222a y x =+的正向；（２）⎰+-+Ldy y x dx y x )()(222，其中L 是以)5,2(),2,3(),1,1(C B A 为顶点的三角形，方向取正向； （３）⎰-+-ABx x dy m y e dx my y e )cos ()sin ，其中m 为常数，AB 为由)0,(a 到)0,0(经过圆ax y x =+22上半部的路线（其中a 为正数）。

２. 应用格林公式计算下列曲线所围的平面面积： （１） 椭圆：;sin ,cos θθb y a x == （２） 双扭线：θ2cos 22a r =．３. 验证下列积分与路线无关，并求它们的值： （1）;))(()1,1()0,0(⎰--dy dx y x（2）⎰-)2,1()1,2(2x xdyydx 沿在右半平面的路线； （3）⎰++)8,6()0,1(22yx ydy xdx 沿不通过原点的路线；（4）⎰+)2,1()0,1()()(dy y dx x ψϕ，其中ψϕ,为连续函数.4. 求下列全微分的原函数：（1）;)2()2(2222dy y xy x dx y xy x --+-+ （2）;]1)([])2([dy y x e e dx y y x e e yx y x +-+++-（3）.)()(2222ydy y x f xdx y x f +++5. 为了使线积分)(),(xdy ydx y x F L+⎰与积分路线无关，则可微函数),(y x F 应满足怎样的条件？ 6. 计算曲线积分⎰-'+-AMBx x dy m e y dx my e y ])([])([ϕϕ其中 )(y ϕ和)(y ϕ'为连续函数;AMB 为连接点),(),(2211y x B y x A 和点的任何路线，但与线段AB 围成已知大小为S的面积. 7. 设函数)(u f具有一阶连续导数，证明对任何光滑闭曲线L ，有0))((=+⎰Lxdy ydx xy f .8. 求积分值⎰+=Lds y n y x n x I )],cos(),cos([，其中L 为包围有界区域的闭曲线，n 为L 的外法线方向.9. 设函数),(y x u 在光滑闭曲线L 所围成的区域D 上具有二阶连续偏导数。

证明⎰⎰⎰∂∂=∂∂+∂∂L Dds n udxdy y u x u )(2222，其中),(y x u nu是∂∂沿L 外法线方向n 的导数。

P.391 第二型曲面积分1. 计算下列第二型曲面积分：（1）⎰⎰+++-sdxdy xz y dzdx x dydz z x y )()(22，其中S 为a z y x z y x ======,0六个平面所围的正方体并取外侧为正向； （2）⎰⎰+++++sdxdy x z dzdx z y dydz y x )()()(，其中S 是以原点为中心，边长为2的正方体表面并取外侧为正向； （3）⎰⎰++sxzdxdy yzdzdx xydydz，其中S 是由平面1,0======z y x z y x 所围的四面体表面并取外侧为正向； （4）⎰⎰s yzdzdx ，其中S 是球面1222=++z y x的上半部分并取外侧为正向；（5）⎰⎰++sdxdy z dzdx y dydz x 222，其中S 是球面2222)()()(R c z b y a x =-+-+-并取外侧为正向。

2. 设某流体的流速为)0,,(y k v =，求单位时间内从球面4222=++z y x 的内部流过球面的流量.3. 计算第二型曲面积分,)()()(⎰⎰++=Sdxdy z h dzdx y g dydz x f I 其中S 是平面六面体)0,0,0(c z b y a x ≤≤≤≤≤≤的表面并取外侧，)(),(),(z h y g x f 为S 上的连续函数.4. 设磁场强度为),,(z y x E ，求从球内出发通过上半球面0,2222≥=++z a z y x 的磁通量。

P.399 高斯公式与斯托克斯公式1. 应用高斯公式计算下列曲面积分： （1）⎰⎰++S xydxdy zxdzdx yzdydz ，其中S 是单位球面1222=++z y x的外侧；（2）⎰⎰++Sdxdy z dzdx y dydz x 222，其中S 是立方体a z y x ≤≤,,0表面的外侧； （3）⎰⎰++Sdxdy z dzdx y dydz x222，其中S 是锥面222z y x =+与平面h z =所围的空间区域)0(h z ≤≤的表面，方向取外侧； （4）⎰⎰++Sdxdy z dzdx y dydz x 333，其中S 是单位球面1222=++z y x 的外侧； （5）⎰⎰++Szdxdy ydzdx xdydz ，其中S 是上半球面222y x a z --=的外侧。

2. 应用高斯公式计算三重积分⎰⎰⎰++Vdxdydz zx yz xy )(，其中V 是由,0,0≥≥y x10≤≤z 与122≤+y x 所确定的空间区域.3. 应用斯托克斯公式计算下列曲线积分：（1）⎰+++++Ldz y x dy z x dx z y )()()(222222，其中L 为1=++z y x 与三坐标面的交线，它的走向使所围平面区域上侧在曲线的左侧； （2）⎰++L zdz dy dx y x32其中L 为y x z y ==+,122所交的椭圆的正向；（3）⎰-+-+-Ldz x y dy z x dx y z )()()(，其中L 为以),0,0(),0,,0(),0,0,(a C a B a A 为顶点的三角形沿ABCA 的方向。