数学试题 时间：90分钟；满分：120分一、选择题（每小题3分，共30分）1．下列计算中，正确的是（ ）A ．2a +3b =5abB ．a ●a 3=a 3C ．a 6÷a 2=a 3D ．(-ab )2=a 2b 22. 点M (－sin60°，cos60°)关于x 轴对称的点的坐标是（ ）A ．12)B ．(12-)C ．(12） D ．(－21)3．2则下列判断中正确的是（ ）A ．抛物线开口向上B ．抛物线与y 轴交于负半轴C ．当x ＝4时，y ＞0D ．方程02=++c bx ax 的正根在3与4之间4. 某商场的老板销售一种商品，他要以不低于进价20%价格才能出售，但为了获得更多利润，他以高出进价80%的价格标价．若你想买下标价为360元的这种商品，最多降价多少时商店老板才能出售？答：（ ）A ．80元B ．100元C ．120元D ．160元5．在平面直角坐标系中，先将抛物线22y x x =+-关于x 轴作轴对称变换，再将所得的抛物线关于y 轴作轴对称变换，那么经两次变换后所得的新抛物线的解析式为（ ） A ．22y x x =--+ B ．22y x x =-+-C ．22y x x =-++D ．22y x x =++6. ⊙O 的直径AB 垂直弦CD （非直径）于P ，且P 是半径OB 的中点，CD ＝6cm ， 则直径AB 的长是: （ ） A.32cm B. 23 cm C.24 cm D. 34 cm 7．如图，已知点A 是一次函数y =x 的图象与反比例函数xy 2=的图象在第一象限内的交点，点B 在x 轴的负半轴上，且OA =OB ，那么△AOB 的面积为 （ ）A 、2B 、22C 、2D 、228. 如图点A 、B 、C 在一次函数2y x m =-+的图象上，它们的横坐标依次为-1、1、2，分别过这些点作x 轴与y 轴的垂线，则图中阴影部分的面积和是（ ） A ．1 B ．3 C ．3(1)m - D ．3(2)2m -9. 如图，原点O 是△ABC 和△A ′B ′C ′的位似中心，点A (1，0)与点A ′(－2，0)是对应点，△ABC 的面积是23，则△A ′B ′C ′的面积是（ ） A. 6 B. 83 C. 3 D. 83或610. 如图2，在ΔABC 中，∠C =90°，AC =8，AB =10，点P 在AC 上，AP =2，若⊙O 的圆心在线段BP 上， 且⊙O 与AB 、AC 都相切，则⊙O 的半径是（ ） A. 1B. 45 C. 712D.94二、填空题（每题3分，共24分）11．方程(3)(1)3x x x -+=-的解是 。

12．一组数据2，1，x ，7，3，5，3，2的众数是2，则这组数据的中位数是 。

13. 在一个不透明的袋子中有2个黑球、3个白球，它们除颜色外其他均相同.充分摇匀后,先摸出1个球不放回,再摸出1个球,那么两个球都是黑球的概率为 .14. 如图a 是长方形纸带，∠DEF =20°，将纸带沿EF 折叠成图b ，再沿BF 折叠成图c ，则图c 中的∠CFE 的度数是 ．第10题图A D A CB A E AC A B A F AD C D B EAF CG B A A E A F C B A 第7题图 xy A O B AC BA′123-1-2-3-4-3-2-14321O yx 第9题图 第8题图15．刘谦的魔术表演风靡全国，小明也学起了刘谦发明了一个魔术盒，当任意实数对（a ，b ）进入其中时，会得到一个新的实数：a 2+b -1，例如把（3，-2）放入其中，就会得到32+（-2）-1=6.现将实数对（m ，-2m ）放入其中，得到实数2，则m = ． 16、瑞士中学教师巴尔末成功地从光谱数据、591216⋯⋯32362125、、中得到巴尔末公式，从而打开了光谱奥妙的大门。

请你按这种规律写出第七个数据是＿＿＿＿＿。

17. 如图，扇形OAB 中，∠AOB=60°,C 为OB 的中点，以C 点为圆心，CB 为半径作弧BD 交OA 于D 点， 已知：OA ＝4，则阴影部分的面积S ＝_________.18．正方形A 1B 1C 1O ，A 2B 2C 2C 1，A 3B 3C 3C 2，…按如图所示的方式放置．点A 1，A 2，A 3，…和点C 1，C 2，C 3，…分别在直线y kx b =+(k ＞0)和x 轴上，已知点B 1(1，1)，B 2(3，2)， 则B n 的坐标是________．三、解答题：（本题共66分） 19. （本题10分） 某家电商场计划用32400元购进“家电下乡” 指定产品中的电视机、冰箱、洗衣机共l5台.三种家电的进价和售价如表所示： (1) 在不超出现有资金的前提下，若购进电视机的数量和冰箱的数量相同，洗衣机数量不大于电视机数量的一半，商场有哪几种进货方案?(2) 国家规定：农民购买家电后，可根据商场售价的13％领取补贴.在(1)的条件下．如果这15台家电全部销售给农民，国家财政最多需补贴农民多少元? 20．（本题10分）如图，平面直角坐标系中，四边形OABC 为矩形，点A 、B 的坐标分别为（3，0），（3，4）。

动点M 、N 分别从O 、B 同时出发，以每秒1个单位的速度运动。

其中，点M 沿OA 向终点A 运动，点N 沿BC 向终点C 运动。

过点N 作NP ⊥BC ，交AC 于P ，连结MP 。

已知动点运动了x 秒。

（1）求P 点的坐标（用含x 的代数式表示）； yx O C 1 B 2A 2 C 3B 1 A 3B 3A 1C 2 第17题图 oDCB A（2）请你探索：当x 为何值时，∠MPA=∠MAP?21、（本题10分）已知：如图，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，BC ＝5cm ，CD ＝＝90°。

等边三角形MPN （N 为不动点）的边长为a cm ，边的底边BC 都在直线l 上，NC ＝8cm 。

将直角梯形ABCD 向左翻折180°，翻折一次得到图形①，翻折二次得图形②，如此翻折下去。

（1）将直角梯形ABCD 向左翻折二次，如果此时等边三角形的边长a ≥2cm ，这时两图形重叠部分的面积是多少？（2）将直角梯形ABCD 向左翻折三次，如果第三次翻折得到的直角梯形与等边三角形重叠部分的面积等于直角梯形ABCD 的面积，这时等边三角形的边长a至少应为多少？ （3）将直角梯形ABCD 向左翻折三次，如果第三次翻折得到的直角梯形与等边三角形重叠部分的面积等于直角梯形面积的一半，这时等边三角形的边长应为多少？22、(本题10分)（1）如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，b AB =，a CD =，E 为AD 边上的任意一点，EF ∥AB ，且EF 交BC 于点F ，某学生在研究这一问题时，发现如下事实：①当1=AE DE 时，有2ba EF +=； ②当2=AEDE 时，有32b a EF +=； ③当3=AE DE 时，有43ba EF +=． 当k AEDE =时，参照上述研究结论，请猜想用k 表示EF 的一般结论，并给出证明； （2）现有一块直角梯形田地ABCD （如图所示），其中AB ∥CD ，AB AD ⊥，=AB 310F E D C B A （第22(1)题图） I米，=DC 170米，=AD 70米．若要将这块地分割成两块，由两农户来承包， 要求这两块地均为直角梯形，且它们的面积相等． 请你给出具体分割方案．23. (本题12分)如图：设抛物线22y ax bx =+-与x 轴交于两个不同的点)0,(),0,1(m B A -，与y 轴交于点C .且︒=∠90ACB ． (1)求m 的值和抛物线的解析式；(2)已知点),1(n D 在抛物线上，过点A 的直线1y x =+交抛物线于另一点E ．若点P 在x 轴上，以点D B P 、、为顶点的三角形与AEB ∆相似，求点P 的坐标．24．(本题14分)如图，已知A 、B 是线段MN 上的两点，4=MN ，1=MA ，1>MB ．以A 为中心顺时针旋转点M ，以B 为中心逆时针旋转点N ，使M设x AB =． （1）求x 的取值范围；（2）若△ABC 为直角三角形，求x 的值； （3）探究：△ABC 的最大面积？（第22(2)题图）D CBA 第24题图数学试卷答题纸一、 选择题（每小题3分，共24分）1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 二、填空题（每小题3分，共30分）11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18.三、解答题（共66分） 19. (10分)20.（10分）21.（10分）22、(10分)23. (12分)F ED CB A （第22(1)题图）（第22(2)题图） D CB A24.（14分）数学试题答案一、选择（每题3分，共30分）1.D ；2. B ；3.D ；4.C ；5. C ；6.D ；7.C ；8.B ；9. A ；10.A 二、填空题（每题3分，共24分）11.3x =或0x =；12. 2.5；13.110；14.120°；15. 3或－1； 16.7781；17.3235-π；18.()121,2n n --三、19.（共10分）设购进电视机、冰箱各x 台，则洗衣机为（15-2x ）台 ………1分15-2x ≤12x ， 依题意得：2000x +2400x +1600（15-2x ）≤32400…………………5分解这个不等式组，得6≤x ≤7∵x 为正整数，∴x =6或7 …………………7分 方案1：购进电视机和冰箱各6台，洗衣机3台；方案2：购进电视机和冰箱各7台，洗衣机1台 …………………8分 （2）方案1需补贴：（6×2100+6×2500+3×1700）×13%=4251（元）； 方案2需补贴：（7×2100+7×2500+1×1700）×13%=4407（元）；∴国家的财政收入最多需补贴农民4407元. …………………10分 ２0. （共10分）解：（１）（3—x ,34x ） ………………2分(2 )延长ＮＰ交x 轴于Ｑ，则有ＰＱ⊥ＯＡ若∠MPA=∠MAP ，则ＭＰ＝ＭＡ， ……………3分 ∵ＭＱ＝3—2x ，ＰＱ=34x ，ＰＭ＝ＭＡ＝３—x ……………6分 在Ｒt ⊿ＰＭＱ 中，ＰＭ2＝ＭＱ2＋ＰＱ2∴(３—x) 2=(3—2x) 2+ (34x) 2……………8分 ∴x=4354……………10分 21、（共10分）解：（1）重叠部分的面积等于23cm ………………3分；（2）a 至少为10cm …………6分（3）等边三角形的边长为cm )221(+ ………10分22．（共10分）（1）解：猜想得：EF =kkba ++1． ……………………………2分 证明：过点E 作BC 的平行线交AB 于G ，交CD 的延长线于H ．∵AB ∥CD ，∴AGE ∆∽DHE ∆，∴AEDE AG DH =， 又EF ∥AB ∥CD ，∴GB EF CH ==，∴a EF DH -=，EF b AG -=， ∴k EF b a EF =--，可得kkb a EF ++=1．………………5分 （2）在AD 上取一点E ，作EF ∥AB 交BC 于点F ，设k AEDE=，则EF =k k ++1310170，kk DE +=170， …………7分若ABFE DCFE S S 梯形梯形=，则DCFE ABCD S S 梯形梯形2=， ∴)1310170170(212702310170x x +++⨯=⨯+kk+⨯170， 化简得0127122=--k k 解得：341=k ，432-=k （舍去）， …………9分H GF E D C BA∴40170=+=kkDP ， 所以只需在AD 上取点E ，使40=DE 米，作EF ∥AB （或DA EF ⊥）， 即可将梯形分成两个直角梯形，且它们的面积相等． ………………10分23. （共12分）解：(1)令x=0，得y=－2 ∴C(0，一2)．∵ACB=90°，CO ⊥AB,．∴ △AOC ∽△COB,．∴OA ·OB=OC 2；∴OB=22241OC OA == ∴m=4（本题中(1)题4分；（2）题8分）24．（共14分）（1）在△ABC 中，∵1=AC ，x AB =，x BC -=3．∴⎩⎨⎧>-+->+x x x x 3131，解得21<<x ． ······················ 4分 （2）①若AC 为斜边，则22)3(1x x -+=，即0432=+-x x ，无解．②若AB 为斜边，则1)3(22+-=x x ，解得35=x ，满足21<<x ． ③若BC 为斜边，则221)3(x x +=-，解得34=x ，满足21<<x ． ∴35=x 或34=x ． ···························· 9分 （3）在△ABC 中，作AB CD ⊥于D ， 设h CD =，△ABC 的面积为S ，则xh S 21=． ①若点D 在线段AB 上， 则x h x h =--+-222)3(1． ∴22222112)3(h h x x h x -+--=--，即4312-=-x h x ．∴16249)1(222+-=-x x h x ，即16248222-+-=x x h x ． ∴462412222-+-==x x h x S 21)23(22+--=x （423x <≤）． ······· 11分（第24题-1）当23=x 时（满足423x <≤），2S 取最大值21，从而S 取最大值22． ····· 13分 ②若点D 在线段MA 上， 则x h h x =----2221)3(． 同理可得，462412222-+-==x x h x S 21)23(22+--=x （413x <≤）， 易知此时22<S ．综合①②得，△ABC 的最大面积为22． ·········· 14分（第24题-2）。