§2.3.1 数学归纳法（第一课时）【教材分析】数学归纳法是以解决与正整数有关问题的一种推理方法，它将一个无穷归纳过程转化为一个有限步骤的演绎过程，是证明与正整数有关问题的有力工具，本节课是数学归纳法第一课时，主要是让学生了解数学归纳法原理，并能够用数学归纳法解决一些简单的实际应用问题。
【学情分析】学生在学习本节之前已经学习过归纳推理，以及一些简单的数学证明方法，并且已经开始使用与正整数有关的结论（在求曲边梯形面积中），但学生只是停留在认知阶段，对问题本质没有作更进一步的研究。
另外高二学生经过了一年半的高中学习之后，已初步具有了发现和探究问题的能力，这为本节学习数学归纳法奠定了一定的基础。
【教学目标】１、知识与技能目标：（1）了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的与正整数有关的数学命题；（2）进一步发展猜想归纳能力和创新能力，经历知识的构建过程, 体会类比的数学思想。
2、过程与方法目标：（1）通过对例题的探究，体会由猜想到证明的数学方法；（2）努力创设积极思考、大胆质疑的课堂愉悦情境，提高学习兴趣和课堂效率。
3、情感态度与价值观目标：通过对数学归纳法的学习，进一步感受数学来源于生活，并形成严谨的科学态度和勤于思考、善于观察的学习习惯。
【教学重点】数学归纳法产生过程的分析和对数学归纳法的证题步骤的掌握。
【教学难点】数学归纳法中递推思想的理解。
【教法准备】讲授法，引导发现法，合作探究法。
【教具准备】传统板书与多媒体辅助教学相结合。
【教学过程】一、创设情境，引出课题1、复习旧知，铺垫新知：（1）不完全归纳法：地主花重金请了一名先生教儿子识字，第一天学了“一”，第二天学了“二”，之后，地主儿子想：“一”是一横，“二”是二横，那“三”肯定是三横，第三天果不其然是三横，于是地主儿子对地主说：不必学了，很简单，已经全会了。
地主大喜，为吹嘘儿子聪明，大摆宴席。
席间，一乡绅想讨好地主，就说让地主儿子给他写个名帖，没想到这让地主儿子出尽了洋相，因为那位乡绅的名字叫“万百千”。
（2）完全归纳法：大家来看，我这里有一盒粉笔，我逐根进行抽取。
抽出第一根是白色的，抽出第二根也是白色的，请问怎样验证盒中的其他粉笔也都是白色的？（逐一取出剩下的粉笔，进行验证）注：对于以上二例的结果是非常明显的，教学中主要用以上二题引出数学归纳法。
师：①（出示投影）不完全归纳法→结论不可靠；完全归纳法→结论可靠。
②以上问题都是与正整数有关的问题，从上例可以看出，要想正确的解决一个与此有关的问题，就可靠性而言，应该选用第几种方法？（完全归纳法）2、问题情境，方法引入： 情境一：632112⨯⨯=； 22235126⨯⨯+= 2223471236⨯⨯++=；222245912346⨯⨯+++=； 222225611123456⨯⨯++++=； ……思考：①第n 个等式，应怎样表示？ （222(1)(21)1236n n n +++++=2…+n ） ②上述结论一定可靠吗？能完成证明吗？注：①对于第一个问题，由于学生在学习求曲边梯形面积时已经用过，再结合归纳推理，学生很容易得出结论；②第二个问题，学生利用现有知识，无法完成证明。
（可以让学生尝试运用完全归纳法，并点题）师：在上面的解答中，我们只通过有限的步骤就得出了结论，这样的结论不一定可靠，用的是不完全归纳法；而要使结论可靠，需要用到完全归纳法，但逐一去验证又很难完成，能否找出一种方法，既使步骤有限，又使结论可靠呢？大家想不想知道这种方法？（追问引出课题：数学归纳法）②其实这种方法来源于生活，请同学们看多米诺骨牌的视频：情境二：（播放多米诺骨牌视频）问：怎样才能让多米诺骨牌全部倒下？二、师生合作，探究新知：探究一：让所有的多米诺骨牌全部倒下，必须具备什么条件？条件一：第一张骨牌倒下；条件二：任意相邻的两张骨牌，前一张倒下一定导致后一张倒下。
注：此问题由学生合作交流完成，必要时，教师重新播发视频或给予提示。
探究二：同学们在看完多米诺骨牌视频后，是否对证明222(1)(21)1236n n n +++++=2…+n 有些启发？ （证明本题对任意正整数都成立相当于验证让骨牌全部倒下的条件）注：通过以上合作交流，以及使骨牌全部倒下的两个条件，此时，师生共同探究得到解决引例的方法：（1）第一块骨牌倒下相当于证明当1n =时，命题成立；（2）对于任一块骨牌倒下相邻的后一块也倒下，更一般地，相当于当*(1,)n k k k N =≥∈时命题成立，证明当1n k =+时命题也成立。
师：（投影）证明222(1)(21)1236n n n +++++=2…+n 的两个步骤： （1）证明当1n =时，命题成立；（2）假设当*(1,)n k k k N =≥∈时命题成立，证明当1n k =+时命题也成立。
探究三：第一块骨牌不倒行不行？假如从第二块或第三块骨牌开始将骨牌推倒，结果会是怎样？（第一块骨牌必须倒，才能让所有的骨牌倒下。
如果从第二块或第三块开始倒，那么只能让该块骨牌后面的全部倒下。
）注：此问题说明第一块骨牌倒下对全部骨牌倒下的重要性，同时也说明在证明与正整数有关问题时，0n 是使命题成立的最小正整数，0n 不一定取1，也可以取其它正整数。
师：（板书） “数学归纳法”一般地，证明一个与正整数n 有关的命题，可按下列步骤进行：（1）（归纳奠基）证明当n 取第一个值*00()n n N ∈时命题成立；（2）（归纳递推）假设*0(,)n k k n k N =≥∈时命题成立，证明当1n k =+时，命题也成立。
只要完成以上两个步骤，就可以判定命题对从0n 开始的所有正整数n 都成立。
上述方法叫做数学归纳法。
三、解答例题，初步应用例1、用数学归纳法证明222*(1)(21)123()6n n n n N +++++=∈2…+n 证明：（1）当1n =时，左边211==，右边1(11)(211)16⨯+⨯⨯+==，等式成立； （2）假设当*),1(N k k k n ∈≥=当时，等式成立，即：222(1)(21)1236k k k +++++=2…+k ， 则当n=k+1时，222222(1)(21)123(1)(1)6(1)(276)6(1)(2)(23)6(1)[(1)1][2(1)1]6k k k k k k k k k k k k k k +++++++=+++++=+++=+++++=2…+k 即：当1n k =+时，等式成立。
根据（1）和（2），可知等式对任何*n N ∈都成立。
注：上例让学生独立完成，师板书写现完整过程，以突出数学归纳法证题的一般步骤。
练习：1、课本P95、1（复习等差数列的定义式：如a n+1-a n =d ,(n ∈N +)2、用数学归纳法证明“2n >n 2+1对于n ≥n 0的正整数n 都成立”时，第一步证明中的起始值n 0应取（ ）A 、2B 、3C 、5D 、63、用数学归纳法证明：)1n ,(12131211>∈<-+∙∙∙+++* N n n n 第一步要证明的不等式是 。
例2、已知数列411⨯，741⨯，1071⨯，…，)13)(23(1+-n n ，…，计算S 1，S 2，S 3,S 4，根据计算结果，猜想Sn 的表达式，并用数学归纳法进行证明。
练习：数列{a n }中，a1=1,且221+=+n n n a a a （a n+1=2a n /a n +2）(n ∈N +) (1)求a 2,a 3,a 4的值；（2）归纳{a n }的通项公式，并用数学归纳法证明。
思考：针对第（2）问，不用数学归纳法能否证明？注：数学归纳法并不是解决与正整数有关问题的唯一方法。
总结：（1）验证是基础：找准起点，验证的初始值n 0不一定是1；（2）递推是关键：正确分析所给式子的结构及由n=k 到与之相邻的下一个正整数时，项的变化是证明成功的保障（在这一步中，利用假设是核心，在应用数学归纳法证明中，一定做到让归纳假设“粉墨登场”，有它的参与证得的n=k+1时的成立才建立了递推关系即逻辑推理链，实现了在验证命题n=n 0正确的基础上, 利用命题本身具有传递性，运用“有限”的手段来解决“无限”的问题。
否则就不是数学归纳法）四、反馈练习，加深理解：用数学归纳法证明：135+++2…+(2n-1)=n五、归纳小结，概念提升：,问：今天我们学习了一种很重要的数学证明方法，通过本节课的学习，你有哪些收获？（学生总结，教师整理）1、数学来源于生活，生活中有许多形如“数学归纳法”这样的方法等着我们去发现。
2、数学归纳法中蕴含着一种很重要的数学思想：递推思想；3、数学归纳法一般步骤：4、应用数学归纳法要注意以下几点：（1）第一步是基础，没有第一步，只有第二步就如空中楼阁，是不可靠的；（2）第二步是证明传递性，只有第一步，没有第二步，只能是不完全归纳法； 注：（归纳奠基要打牢, 归纳递推不能少, 归纳假设要用到）六、布置作业：1、书面作业：P96习题2.3Ａ组，第1题（1）2、思考：习题2、3，A 组第1题其它证明方法。
注：第1题书面作业帮助学生巩固数学归纳法，第2题可以利用数列求和，让学生比较两种方法，说明数学归纳法并不是解决与正整数有关问题的唯一方法，同时也提醒学生利用数学归纳法证明的第二步不能用数列求和公式。
【板书设计】【教后反思】补充：错例辨析，突出重点：1、求证：所有的奇数都是2的倍数。
证明：假设第m 个奇数为k ，且k 为2的倍数，则第m+1个奇数为k + 2，而k+2也是2的倍数，所以命题成立。
2、用数学归纳法证明：135+++2…+(2n-1)=n证明：（1）当1n =时，左边1=，右边211==，等式成立；§2.3.1 数学归纳法（一） 例1：…… 学生板演 数学归纳法： 证明：…… ……1. …… ……2. ……………… 归纳递推归纳奠基 成立，证明当1n k =+时命题也成立 验证0n n =时命题成立 命题对从0n 开始所有的正整数n 都成立（2）假设当n k =（k ≥1,k ∈N*）时，135+++2…+(2k-1)=k ，那么： 2[12(1)1](1)135(1)2k k k ++-++++=+…+(2k-1)+(2k+1)=，则当1n k =+时也成立。
根据（1）和（2），可知等式对任何*n N ∈都成立。
注：①对例1，师先让学生讨论一下数学归纳法中没有第一步行不行，进而说出这个例子，让学生理解当0n n =时，命题成立的重要性，没有第一步，就如同空中阁楼，是不可靠的。
另外在例1中，让学生明白假设是错误的，此处并不是把假设当作条件来用，数学归纳法的第二步其实是一个条件命题，第一步已经验证是正确的，如果有怀疑，第二步中k 可以取n 0，这其实是在证明一个传递性。