2．二元函数的极值与最值二元函数的极值与最值问题已成为近年考研的重点， 现对二元函数的极值与 最值的求法总结如下： 1．二元函数的无条件极值 (1) 二元函数的极值一定在 驻点 和不可导点 取得。
对于不可导点，难以判断 是否是极值点；对于驻点可用极值的充分条件判定。
(2)二元函数取得极值的 必要条件 ： 设 z f (x,y) 在点(x 0,y 0) 处可微分且在 点(x 0, y 0 )处有极值，则 f 'x (x 0,y 0) 0， f 'y (x 0, y 0) 0，即 (x 0,y 0) 是驻点。
(3) 二元函数取得极值的 充分条件 ：设 z f (x,y) 在(x 0,y 0) 的某个领域内有 连续上 二阶偏导数，且 f 'x (x 0,y 0) f 'y (x 0, y 0) 0 ，令 f'xx (x 0,y 0) A ， f'xy (x 0,y 0) B ， f 'yy (x 0,y 0) C ，则当B 2AC 0且 A<0 时， f ( x 0 , y 0 )为极大值； 当B 2 AC 0且 A>0， f ( x 0 , y 0 )为极小值； B 2 AC 0 时，(x 0, y 0) 不是极值点。
注意： 当 B 2－AC = 0时，函数 z = f (x, y)在点( x 0 , y 0 )可能有极值，也可能没有 极值，需另行讨论 例 1 求函数 z = x 3 + y 2－ 2xy 的极值． 【分析】可能极值点是两个一阶偏导数为零的点， 先求出一阶偏导， 再令其为零 确定极值点即可， 然后用二阶偏导确定是极大值还是极小值， 【解】先求函数的一、二阶偏导数：并求出相应的极值 . 2z 2 z z 3x 2y ， 2y 2x ． 26x ,xy x2zxy2z2y 2再求函数的驻点．令 z= 0，x得方程组23x 2y 0, 2y 2x 0.22求得驻点(0，0)、( 2，2)．33利用定理 2 对驻点进行讨论：2．(1)对驻点(0, 0)，由于 A = 0, B =－2， C = 2，B 2－AC 0,故(0, 0)不是函数 z = f(x, y) 的极值点．(2)对驻点( 2，2)，由于 A =4, B =－2，C = 2,B 2－AC =－4 0, 且A 0,则 332 2 4 f ( 2，2) 4为函数的一个极小值．3 3 27例 2：( 2004数学一)设 z=z(x,y)是由 x 26xy 10 y 22yz z 218 0 确定的函 数，求 z z(x, y )的极值点和极值 .分析 】 本题把极值问题与隐函数求导方法相结合，计算量是比较大的。
这体 现了考研的基本要求。
2z z z2 2z 0, y x x y22z z 2 z2( ) 2z 2 0 ， 2yy解】 因为 x 2 6xy10 y 22yz zzz2 x 6y 2 y2zxxzz 6x 20 y 2z2y2zyyx zyx 3 y 0, 3x 10 y z 0,3y, z y.将上式代入 x 2 6 xy10 y 2 2yz z 2 18 0 ，可得x 9,9, 3,3, 3.由于222zy2xz22( ) 2 2z x2z 0，22zz 6 2 2yx x yzz20 2 2 2 y 2 y yy 2z 0,218 0 ，所以511，从而点 (-9, -3) 是 z(x,y)的极大值点，极大6值为z(-9, -3)= -3.评注 】 本题讨论由方程所确定的隐函数求极值问题，关键是求可能极值点时 应注意 x,y,z 满足原方程。
2．二元函数的条件极值拉格朗日数乘法：设 f(x,y), (x,y)在点 (x 0,y 0) 某领域内有连续偏导数，引入辅助函数F (x, y, ) f(x, y) (x, y) 解联立方程组Ff 'x (x,y) 'x (x,y) 0x Ff 'y (x, y) y '(x, y) 0 y(x, y) 0得(x 0,y 0)可能是 z f (x,y)在条件 (x,y) 0 下的极值点例 3 经过点 (1,1,1) 的所有平面中，哪一个平面与坐标面在第一卦限所围的立体的 体积最小．并求此最小体积．【分析 】条件极值经常考应用题。
这一点大家应引起重视。
【解】设所求平面方程为xyz1, (a 0,b 0,c 0) ． abc因为平面过点 (1,1,1) ，所以该点坐标满足此平面方程，即有所以 2 x 2(9 ,3,3)2B2z xy( 9,3,3)22z(9 ,3,3)故 ACB 2360， 又A 0， 从而点 (9,3)是 z(x,y)的极小值点， 极小值为z(9,3)=3.类似地，由22z22z( 9, 3, 3)xy( 9 , 3, 3)y 2( 9 , 3, 3)可知 AC B36 0，又 A(1)元及报纸广告费 y 万元之间的关系为：22R 15 14 x 32 y 8xy 2x 10 y ．⑴ 在广告费用不限的情况下，求最佳广告策略；⑵ 若提供的广告费用为总额 1．5 万元，求相应最佳广告策略． 解 】⑴ 利润函数为L(x,y) R (x y) 15 13x 31y 8xy 2x 2 10 y 2，求函数 L 的各个偏导数，并令它们为 0，得方程组：Lx 13 8 y 4x 0,Lx31 8x 20 y 0y111 1． abc设所求平面与三个坐标平面所围立体的体积为V ， 则1 V abc ．6原问题化为求目标函数( 2)在约束条件( 1) (2)下的最小值．作拉格朗日函数11 11 L (a,b,c) abc ( 1) ．6求函数 L 的各个偏导数，并令它们为 0，得方程组：abc1 b c2 0,6 a 21 ac2 0, 6b21ab20.6c 2由此方程组和( 9)解得 a = b = c = 3．由于最小体积一定存在．又函数有惟一的驻点．故 a = b = c = 3 为所求 平面x + y + z = 3 ． 与坐标面在第一卦限所围物体的体积最小．最小体积为V min1 3 93 62例 4 某公司通过电台及报纸两种方式做销售广告， 收入R 万元与电视广告费 x 万解得x 0.75，y 1.25 ．则(0.75,1.25) 为L ( x , y )惟一的驻点．又由题意，L(x, y )可导且一定存在最大值，故最大值必在这惟一的驻点处达到．所以最大利润为L(0.75,1.25) 39.25 万元．因此，当电视广告费与报纸广告费分别为0.75 万元和1 .25 万元时，最大利润为39.25 万元，此即为最佳广告策略．⑵ 求广告费用为1． 5 万元的条件下的最佳广告策略，即为在约束条件x y 1.5下，求L(x,y) 的最大值．作拉格朗日函数F ( x, y) L ( x, y) (x, y )2215 13 x 31 y 8xy 2 x 10 y ( x y 1 .5) ．求函数F(x, y)的各个偏导数，并令它们为0，得方程组：F13 8 y 4 x 0,xF31 8 x 20 y 0 .y并和条件x y 1. 5 联立解得x 0 ，y 1.5 ．这是惟一的驻点，又由题意，L ( x, y )一定存在最大值，故L(0,1.5) 39 万元为最大值．【评注】本题也可由x y 1.5 ，解得y 1.5 x ，代入目标函数转换成一元函数求解。
3．二元函数的最值二元函数的最值一定在驻点和不可导点及边界点取得。
例5:(2007数学一)求函数 f (x, y) x2 2y2 x2y2在区域D上的最大值和最小值，其中： D {( x , y) x y 4, y 0} 。
【分析】由于 D 为闭区域，在开区域内按无条件极值分析，而在边界上按条件极值讨论即可。
详解】因为f x(x,y) 2x 2xy ，f y(x,y) 4y 2x2y，解方程：2x 2 xy 0 , x 2 x2y 0 ,得开区域内的可能极值点为y 2 x y 0其对应函数值为 f ( 2,1) 2.又当 y=0 时， f (x, y) x 2在 2 x 2 上的最大值为 4，最小值为 0.当 x 2y 24, y 0, 2 x 2 ，构造拉格朗日函数22 2 222F ( x, y, ) x2 y xy ( x y4 )2F x 2x 2xy2 x0,解方程组F y 4y 2x y 2 y 0,得可能极值点： (0, 2), ( , )，其对F x y 4 0,应函数值为 f (0, 2) 8, f ( 5, 3) 7.比较函数值 2,0,4,8,7，知 f(x, y)在区域 D 上的最大值为 8，最小值为 0.4【 评注 】当 x y 4, y 0, 2 x 2 ， y 4 x 代入目标函数转换成一元函 数求解更简单。
例 3(: 2005数学二)已知函数 z=f(x,y) 的全微分 dz 2xdx 2 ydy ，并且f(1,1,)=2.2求 f(x,y)在椭圆域 D {( x, y) x2 y1} 上的最大值和最小值 . 4解】 由题设，知 f2x ， f2y ， xy于是 f (x,y) x C(y)，且 C (y) 2y ，从而 C( y) y C ， 再由 f(1,1)=2，得 C=2, 故 f (x, y) x 2y 22.(下略)( 2,1) .f x 2。