基于B样条小波的图像边缘检测周何，黄山，盛贤（四川大学电气信息学院自动化系，成都市610065；）摘要：研究图像边缘优化检测问题。

针对图像边缘信息被噪声污染影响定位精度，经典的边缘检测方法Canny算法中的高斯平滑函数边缘定位精确度较低，导致图像缓变边缘信息丢失和假边缘的现象。

在Canny最优边缘检测准则下，引入了渐进最优的B样条小波函数，采用小波变换应用于图像边缘检测中的基于模极大值的方法，并结合基于Kmeans聚类的自适应双阈值方法进行图像边缘检测。

实验结果表明，改进的算法改善了噪声干扰情况下图像边缘提取效果，有效提高了边缘检测的准确性，得到较高的边缘检测图像质量。

关键词：边缘检测；小波变换；定位精度；中图法分类号: TP391.4文献标识码: AImage edge detection based on B-spline waveletZHOU He，HUANG Shan，SHENG Xian(School of Electrical Engineering and Information, Sichuan University, Chengdu 610065, China;) Abstract:In order to solve the low positioning accuracy of image edge detection by noise, make a research on optimization of image edge detection. The Gaussian smoothing function of Canny edge detection method, the classical algorithm, causes the missing of slowly varying edge and the producing of feigned edge and the edge detection is not accurate enough. So in the Canny criteria of optimum edge detection, the introduction of the asymptotically optimal B-spline wavelet function was put forward. The method of modulus maxima of wavelet transform and Kmeans clustering method determining its duel valves automatically was used in the edge detection experiments.The experiments proved that the new algorithm was in a higher accuracy, and improved the quality of the edge detection image.Keywords : edge detection; wavelet transform; positioning accuracy;1 引言传统的边缘检测Canny算法是将图像与高斯滤波器相卷积以获得平滑降噪的效果，其基本思想是在图像中找出具有局部最大梯度幅值的像素点，对边缘提取的大部分工作集中在寻找能够用于实际图像的梯度数学逼近。

这种算法会造成原图像的过度光滑，缓变边缘丢失，定位精度较低，且计算量大、复杂、耗时[1]。

小波分析具有多尺度分析的特点，能较好的综合噪声抑制和边缘保持这两个特性。

任意一个信号可表示成经伸缩和平移的n次B样条的加权和，即可完全由B样条系数来刻画。

该系数中的分辨阶数越小对信号的平滑程度越小，边缘定位越精确，在对不同尺度下的逼近函数取一阶导数或者二阶导数时就获得了多尺度边缘提取。

本文充分利用边缘信息的多尺度特性和B 样条函数是同次样条函数空间中具有最小支撑的基底的这一特点，选取正交三次中心B样条作为边缘提取时的平滑函数，再采用模极大值和Kmeans聚类的自适应双阈值的方法，提取出最终的边缘图像。

此算法的原理与实现简单，且有较好的抗噪性能，并拥有比以Gauss函数为平滑函数的Canny算法更加出色的定位精度，提取出了更加精细的边缘，去除了虚假边缘。

2 B样条小波在对Canny边缘检测算法的应用和研究中发现，Canny算法用Gauss函数作为滤波器，会使原图像过度光滑，缓变边缘丢失。

由于Canny 算子不能直接进行Z变换，即找不到递推公式，从而只有用它进行卷积运算。

但对于一个大的图像，计算时间很长。

为此，在Canny最优边缘检测准则下，引入了渐进最优的B样条小波函数。

2.1 Canny边缘提取准则John Canny于1986年在IEEE 上发表了自己的文章《A Computational Approach to Edge12Detection 》，在其文章中指出了三个准则：[2](1) 好的检测结果（Good detection ）一个好的检测结果应该尽可能小地漏检真实存在的边缘点和误检非边缘点。

设用于边缘测定滤波器为()f x ，它的有限相应边界为[,]W W -。

边缘为()G x ，边缘发生在0x =，信号中的信噪比是高斯白噪声()n x ，其方差为20n ，第一个准则数学表达式定义|()()|WG x f x dx SNR +-=（1）(2) 定位精确（Good localization ）：标记为边缘的点应当尽可能地接近真实边缘的中心。

检测精确定义为：'''20()()()WWWWG x f x dxL n f x dx+-+--=⎰⎰（2）(3) 对同一边缘响应次数较少（Only one response to a single edge ）理想情况下，用滤波器对噪声响应的峰值距离来近似滤波器对一个边缘的响应宽度。

而两个邻近的极大值平均距离为滤波器输出导数的零交叉两倍。

零交叉点平均距离为2'2''2()*()zc f x dx x f x dx π+∞-∞+∞-∞⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭⎰⎰ （3）有了这三个准则的数学表达式，寻找最优滤波器就转化为泛函约束优化的问题。

2.2 B 样条小波定义小波基的种类很多，如何根据实际问题选择最佳的小波基是首要关注的问题。

用于边缘检测的小波基函数应为一个紧支撑的奇函数小波。

根据Canny 准则的前两个准则，对阶跃边缘的最优检测函数为阶段阶跃或者差分盒函数。

定义一阶B 样条函数[3]为:01,[0,1]()0,other x x β∈⎧=⎨⎩（4）等距单重结点条件下，n 次中心样条函数()n x β用卷积定义为:100001()()()()()...()n n n x x x x x x ββββββ-+=*=***10111(1)!2nn k k n n x k k n +=+⎡⎤+⎡⎤=--+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦∑ (5) 其中()max{0,}x x +=。

易知，()n x β是非负的，其支撑集为11,22n n ++⎡⎤-⎢⎥⎣⎦。

考虑一系列相互嵌套的多项式样条函数空间(){,}n i S i Z ∈(n 暂取为奇数，为多项式的阶数)，使得()(1){}n n i i S S +⊃。

对于i Z ∈，()ni S 为2()L R 的子空间，属于1n C -类（即具有n-1次连续导数）。

在每一区间2,(1)2j j k k ⎡⎤+⎣⎦上()n i S 等价于n 阶多项式。

()()2{()()(2)}jn n n j i i ik S f x C k x k β+∞=-∞==-∑2,()i x R C kl ∈∈ （6） 其中，21()22j nn j j xββ=。

()n x β的Fourier 变换为110sin(/2)()()/2n n n ωβωβωω++⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦(7){(),}x k k Z β-∈构成空间(0)nS 的Riesz 基，而(){,}n i S i Z ∈构成了2()L R 空间的多分辨率分析，即32()(1)()(),,(),{0}n n n n i i i i i Zi ZS S i Z S L R S +∈∈⊃⊂== （8）上述分析说明，任意一个信号 2()f L R ∈可表示成经伸缩和平移的n 次B 样条的加权和，即可完全由B 样条系数()i C k 来刻画。

下标i 表示分辨阶数，它决定了对给定信号的逼近质量，增加分辨阶数i 为1i +对于与基函数2()j nx β扩张一个因子2，采样间隔由2j 变为12j +增加一倍，逼近程度降低。

这也意味着分辨阶数对于信号的不同平滑程度i 越小，边缘定位越精确，在对不同尺度下的逼近函数取一阶导数或者二阶导数时就获得了多尺度边缘提取。

B 样条函数是同次样条函数空间中具有最小支撑的基底，这一基本特征使得它广泛应用在信号和图像处理等领域。

在有噪声条件下提取图像边缘，需要在噪声抑制能力和边缘准确定定位之间进行均衡。

文献[4]已经证明3次B 样条在实际应用中是渐进最优的，下面从时频局部分析的角度对不同阶次的B 样条做分析，来说明3次B 样条对大多数应用问题是渐进最优的。

Unser 在文献[5]中已经证明，当n →∞时，B 样条2()j n x β及其Fourier 变换()nβω均收敛于Gauss 函数，它们之间有下面的近似关系：2()1()x x n n x σβ-+≈(9)2()1()x nn ωσβω-+≈(10)其中x ωσσ、为B 样条在时域和频域的方差。

而Gauss 函数是在时域和频域均为最优的基函数[6]，它使海森堡测不准关系达到最小下界-12π（），即-12x ωσσπ∙≥（），其中方差为221/2x 221/2(|()|)(|()|)2x g x dx gg dx gωσσωωπ==⎰⎰ （11）分别表示基函数g 在时域和频域中的集中度， 1/2(2)gg π=是基函数g 的能力。

表1分别列出了n=1，2,…5时的B 样条函数与Gauss 函数的比较，即n 越大，逼近程度越好，当n=3时B 样条已经很接近最优下界了，这表明三次B 样条的局部时频性能足以保证大多数的实际应用，并且B 样条的紧支性质使它优于Gauss 函数，因此选用3次B 样条函数作为平滑函数。

表1 1～5次B 样条与Gauss 函数比较N σx时域方差 σω时频方差 r=σω*σx *2πe 1 B 样条能量 e 2高斯能量 1 0.316382 0.272254 1.082420 0.816497 0.831031 2 0.373733 0.214600 1.007861 0.741609 0.751117 3 0.424996 0.187686 1.002367 0.692362 0.699001 4 0.471153 0.169136 1.001409 0.656063 0.661074 5 0.5132660.1551901.0009520.6276340.631604用基数B 样条作为边缘提取时的平滑函数()x θ，它们都满足平滑函数的定义：函数()x θ称为平滑函数，有()1x dx θ+∞-∞=⎰和||lim ()0x x θ→∞=。