理
系
A
y
B
(2)f(a)<0,f(b)>0 f’(x)>0;f”(x)>0
x
A
x2 x1 b
(4)f(a)>0,f(b)<0 y f’(x)<0,f”(x)<0
A
x2 x1
x
a
b
B
高
等 我们用弧一端的切线来代替曲线弧,从而求得方程根的近
数
学 似值. 这种方法称为切线法.
电
子 下面用(1)为例推导近似计算公式. 教
数
学 可见切线与x轴的交点比a点更接近ξ
电
子 教
即a<x1< ξ 我们称为ξ的第一近似值
案 重复上述步骤,在点A1处作切线 y-f(x1)=f’(x1)(x-x1)
它与x轴的交点为(x2,0),其中
武 汉 科 技
x2
x1
f (x1) f (x1)
学
院
数 理
同样我们知道x2比x1更接近ξ
系
高
等 数
按此方法进行下去,我们得到第n次 的近似值的计算公式
高 等
第八节
方程的近似解
数 学
在实际应用中,我们需要求方程f(x)=0的根.这里研究方程
电 子 近似解的图解法,二分法和切线法.
教
案 1.图解法
在坐标纸上作出y=f(x)的图象,图形与x轴的交点的横
坐标就是方程f(x)=0的根.
武
汉
科 技
有时可将f(x)=0改成f1(x)=f2(x)的形式,这两条曲线
学
院
数 理
的交点的横坐标横坐标就是方程f(x)=0的根
系
高 等
.例如 解方程 x-sinx =0 改成为 x=sinx y1=x,
数 学
y2=sinx,交点(0,0)是根.
电 2. 二分法(及累试法)
子 教
设y=f(x)在[a,b]上单调连续,且f(a)和f(b)反号,
案 由零值定理知道,方程在(a,b)内有根.称[a,b]为隔离区
案 曲线弧在A点的切线方程是
y-f(a)=f’(a)(x-a)
y
A (1)f(a)>0,f(b)<0; f’(x)<0,f”(x)>0
武 汉
它与x轴的交点为(x1,0),其中
科
技 学 院 数 理
x1
a
f (a) f (a)
系
A1
ξ a x1 x2
bx B
高
等 记方程f(x)=0在(a,b)内的根为ξ
间.取[a,b]中点c,得到f(c)的值.若f(c)=0便是方程的
根.若不为零,则和f(a),f(b)中的一个成反号,重复上述
武
汉 科
方法,继续取中点进行,可得到需要的精度.这就是二分
技
学 院
法.由于二分法收敛较慢.下面我们用累试法配合二分
数
理
系
法来求方程的根.
高
等 数
例4
用累试法求x3-2x2+3x-5=0的近似根
系
高 等 数 学 电 子 教 案
武 汉 科 技 学 院 数 理 系
高
等 数 学
y A (1)f(a)>0,f(b)<0; y f’(x)<0,f”(x)>0
电
A1
子
教
案
a x1 x2
bx B
(3)f(a)<0,f(b)>0
y f’(x)>0.f”(x)<0
武
汉
科
a x1 x2
B
技
x
学
院 数
A1
b
高
等
数 学
xnxn1ff((x xn n 1 1))(nN)
电
子
教 案
i
xi
f(xi)
f’(xi)
f(xi)/f’(xi)
1 1.900 0.339
6.230
0.054
2 1.846 0.0137 5.839
0.002
3 1.844 0.0015 5.823
0.000
武 汉 科 技 学 院 数 理 系
学
电 子 教
xnxn1ff((xxnn 11))(nN)
案
由中值定理
f( x n ) f() f()x n ( )x n ,
武
汉 科 技 学
它的误差估计为 xnf(m xn),mxm [a,b]{ ifn(x)}
院
数
理
系
高 等
yA
数
学
电
A1
子
教 案
a x1 x2
y
B
曲线下凹,在x轴上方作切线
(2)f(a)<0,f(b)>0 f’(x)>0;f”(x)>0
f(x ) 3 x 2 4 x 3 0 .1 .( 8 x 1 .9 )
o
武 汉
f( x ) 6 x 4 0 .1 .( 8 x 1 .9 ) A
科
技
学 院
因为f(2)和f(1.9)同号,由f(1.9)开始
数
理
系
x x2 x1 b
f(1.5)3.37 4.54.55 1.62 05 [1.5,2]
武
f(1.7)5 5.359 6.3 17 2 5.5 2 550.570 06 2[15 .7,2 5 ]
汉
科
技
f( 1 .8 ) 5 .8 3 6 .4 2 5 8 .4 5 0 .2 4 08
学
院
数 理
f(1 .9 ) 6 .8 5 7 .2 9 2 5 .7 5 0 .3 3 0 9 [1 .8 ,1 .9 ] 1 .8 5 0 .05
学 电
解： f(x ) x 设 3 2 x 2 3 x 5
子 教
f ( 1 ) 1 2 3 5 3 0 , f ( 2 ) 8 8 6 5 1 0
案
f 3 x 2 4 x 3 . f ( 1 ) 2 0 , f ( 2 ) 1 8 3 2 7 0
x
x
B
A
x2 x1 b
yቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
y
曲线上凸,在x轴下方作切线
武
A
汉 科
a x1 x2
技
B x
a
学 院 数
A1
b
理
系
A
x2 x1 x b
B
高
等 数
例5 用切线法求方程x3-2x2+3x-5=0的近似根.精确到10-3
学
电 子 教
解: 上面已经知道方程的根在1.8到1.9之间
f(x)x32x23x5
y
B
案
f( 1 .8 ) 0 ,f( 1 .9 ) 0 .