an
≤ (k
+ 1)
kk k+1 +
(
n
-
2)
kk .
证明 :由 0 < an + 1 ≤akn (1 - an ) ,知
0 < an < 1. 又 k 为正整数 ,所以 ,
akn
≤an
,1
1 - an
> 1.
应用 k + 1 元均值不等式得
a2 ≤a1k (1 -
a1 )
=
1 k
a1
a1
…a1 ( k
B+
acot
B)
=
ma (1 + cot m+ a
B)
.
同理 , KC =
ma (1 + cot m+ a
C) .
因此
,
BK KC
=
1 + cot 1 + cot
B C
.
(3)
由
(1)
得
h m
=
a
a -
m
.
因此
,
CF FA
=
h
m -m
=
1 h
=
a
m
m.
m- 1
于是 ,由式 ①得
a
m
m ·AO ·
OK a
故 ∠GME = ∠ACE.
从而 , E、G、M 、C 四点共圆.
所以 , ∠GEM = ∠GCM .
又 EH ∥B P ,则 ∠GEM = ∠MPO.
从而 , ∠GCM = ∠MPO.
因此 , M 、O 、C 、P 四点共圆.
注意到 ∠OMP = ∠PCM = 90°,即 PC ⊥
AC ,故 PC 为四边形 A ECF 外接圆的切线.
430000) 高 227 试证明 : 存在无穷多个正整数
A ,满足下列条件 : (1) A 的数码中不含有数字 0 ; (2) A 是一个完全平方数 ; (3) A 的各位数字之和也是一个完全平
方数. (张延卫 江苏省宿迁市教育局 ,223800) 高 228 圆内接凸四边形 ABCD 的四边
地址 :天津市河西区卫津路 241 号《中等数学》编辑部 电话 :022 - 23542233 邮编 :300074
本刊编辑部
=
m2 (1 + cot m+ a
C)
+ mcot
B
=
m2 (1 + cot
C) + m ( m + m+ a
a) cot
B
=
m(m +
mcot
C + mcot m+ a
因为 DF 、EG 分别是 △A KC 、△A KB 的
截线 ,由梅涅劳斯定理得
CF·AO ·KD
FA OK DC
=
1
,
①
B G·AO ·KE
GA OK EB
=
1.
故 KD
DC
=
KE EB
]
m
KD + EC
=m
KE + BD
=
KD + KE 2 m + EC + BD
=
m
m +
a
]
KD
=
m(m + m+
故所求的 4 个数为 10 、20 、22 、32.
(ii) a = 1 , b = 4 ,代入式 ①得
5 ( x2 + y2 ) + 5 ×17 + 2 ×5 = 100 ,
49
即 x2 + y2 = 1. 由式 ②可知无解. 综上所述 ,所求的 4 个数是 20 、40 、2 、2
或 10 、20 、22 、32. 注 :原解较繁 ,本解由天津师范大学计算
两两不等 ,圆心 O 在形内 ,AC 、BD 交于点 P. ( 1 ) 证 明 : △OAB 、 △OCD 、 △PBC 、
△PDA 的外接圆交于一点 ; (2) 若 (1) 中的四个圆交于点 M ,证明 : OM ⊥PM . (黄全福 安徽省怀宁县江镇中学 ,246142)
初 225 在 ABCD 中 , CE ⊥AB , CF ⊥
A ECF 是以 AC 为直径的圆内接四边形.
由 O 为 AC 中点 , OM ⊥EF ,知 M 为 EF
的中点.
又 EH ∥BD , O 为 BD 的中点 , 故 G 为
EH 的中点.
则 GM ∥AD.
于是 , ∠GME = ∠A FE.
由 A 、E、C 、F 四点共圆知
∠ACE = ∠A FE.
即
1
an
-
1 a2
=
i =2
1 ai + 1
-
1 ai
n- 1
∑ ≥ i =2
1 1 - ai
≥n -
2.
当 n ≥3 时 ,有
1 an
≥1
a2
+
(n
-
2)
≥( k
+ 1) k + 1 kk
+
(n
-
2) .
所以
, an
≤ (k
+ 1)
kk k+1 +
(
n
-
2)
kk .
而 n = 2 的情况已包含在上式中 ,故得证.
△ABC 外角的平分线. 求证 :
1+1= 1 + 1 . B E CE D1 E D2 E (白玉娟 郭 璋 北京市东方德才学
校 ,100026) 初 228 对 所 有 的 正 整 数 x 、k , 满 足
x3
24 k - x-
2
=
x . 证明 : x
为 6 的倍数.
(陆 丛 湖北省武钢三中高一 (12) 班 ,
-
ka1 )
≤1
k
ka1 + ( k - ka1 ) k +1
k +1
=
(k
kk + 1)
k+1Βιβλιοθήκη ,即1a2
≥( k
+ 1) kk
k+1
.
因为 an + 1 ≤akn (1 - an ) ≤an (1 - an ) ,则
1≥ 1 an +1 an (1 -
an )
=
1 an
+1
1 - an
,
∑ n - 1
②
由式 ①易知 5| ( a + b) ,即 a + b = 5 k .
由式 ②知 , k 只能取 0 、1.
(1) 当 k = 0 时 , a + b = 0 ,即 a = b = 0.
此时 ,由式 ①可得
5 ( x2 + y2 ) = 100.
于是 , x = 2 , y = 4.
故所求的 4 个数为 20 、40 、2 、2.
AD ,垂足为 E、F. 设 EF 与对角线 BD 交于
点 P. 若 AB ∶AD = 2∶3 ,试求 PF∶PE.
解 : 如图
2 ,联结 AC 交
BD 于 O ,过 E
作 EH ∥ BD
分 别 交 AC、
图2
A F 于 G、H ,
过 O 作 OM ⊥EF 于 M ,联结 GM 、MC 、CP.
因为 CE ⊥AB , CF ⊥AD , 所以 , 四边形
机与信息工程学院李学武老师提供. 高 225 如图 3 , △ABC 中 , ∠B 、∠C 为锐
角 ,其内接正方形 DEFG 顶点 D 、E 在边 BC 上 , G、F 分别位于边 AB 、AC 上 ,正方形的中 心为 O ,联结 AO 并延长交 BC 于 K. 设 BC = a ,边 BC 上的高为 h , 正方形边长为 m. 求 证:
未在邮局订阅的读者可直接到编辑部邮购 。具体办法是 :10 册以下加收 30 %邮挂费 ;11 册至 30 册加收 20 %邮挂费 ;31 册至 50 册加收 10 %邮挂费 ;51 册以上不收邮挂费 。
2. 我刊在连续四年推出《国内外数学竞赛套题及精解》之后 ,今年继续推出《2006 —2007 国 内外数学竞赛套题及精解》。定价 :30 元 ,单本订阅 :36 元 (含邮挂费) ,11 本以上不收邮费 ,41 本以上请直接与编辑部联系 。
(阚政平 安徽师大附中 ,241001)
初 226 四个正整数的平方和为 2 008 ,
其中有两个数的个位数字是 2 ,另两个数的
个位数字是 0. 求这四个数.
(田永海 黑龙江省绥化市教育学院 ,
152054) 解 :由题意 ,可设这 4 个数依次为 10 x 、
10 y 、10 a + 2 、10 b + 2 ,且 0 < x ≤y ,0 ≤a ≤b ( x 、y 、a 、b ∈N+ ) .
m +m
=
1.
从而
,
AO OK
=
a a
+ -
m m
.
(杨 先 义 湖 北 省 公 安 县 第 一 中 学 ,
434300)
高 226 已知数列 { an } 的各项都是正
数 ,且满足关系 an + 1 ≤akn - akn+ 1 ( k ∈N+ ) . 求
证 :对于所有正整数 n ( n ≥2) ,都有
(2) 当 k = 1 时 , a + b = 5 ,由式 ②知 ,只
能是 a = 2 , b = 3 或 a = 1 , b = 4.