由 aPφP = aEφE + aWφW 可得
φP
= aEφE + aWφW
aE + aW
=
(De
−
1 2
Fe )φE
+
(Dw
+
1 2
Fw )φW
(De
−
1 2
Fe
)
+
(Dw
+
1 2
Fw
)
均分网格 常物性
φP
=
(1 −
1 2
F D
)φE
+
(1 +
1 2
(D + D)/ D
F D
)φW
(1 −
1 2
PΔ )φE
exp( ρuL ) −1
Γ
计算，其中
ρuL = Pe
Γ
基于整个长度，这里 Pe = 2PΔ PΔ = 4
控制容积积分法给出的是控制容积内导数的积分 中值的离散形式：
∫1 e ∂φ dx = φe −φw
Δx w ∂x
Δx
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5.2 对流项的中心差分及迎风差分 5.2.1 一维模型方程的分析解 5.2.2 一维对流-扩散方程的中心差分离散 5.2.3 对流项的迎风差分 1. 控制容积法的定义 2. 紧凑形式 3. 对流项一阶迎风、扩散项中心差分的离散方程
ρuL
Γ
x L
)
−1 =
exp(Pe
x) L
−1
φL −φ0 exp(ρuL / Γ) −1 exp(ρuL / Γ) −1 exp(Pe) −1
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特点分析
Pe＝0，纯扩散，直线分布
随Pe的增加，曲线不断下凸； 当Pe＝10时，大部分地区
φ φ0
当x接近含严重的数值计算误差。 2. 影响到数值解的稳定性 (stability)
著名的中心差分CD，三阶迎风TUD以及QUICK 都只是条件稳定。 3.影响到数值解的经济性 (economics)
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5.1.2 两种构造对流项离散格式的方法 1. Taylor 展开法－给出一点上导数的差分表示式
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5.2 对流项的中心充分及迎风差分
5.2.1 一维对流-扩散模型方程的分析解
d (ρuφ) = d (Γ dφ ), ρ,u,Γ 均为已知的常数
dx dx dx
x = 0, φ = φ0; x = L, φ = φL
该常微分方程的分析解为：
φ −φ0
=
exp( ρ ux
/
Γ)
−1
=
exp(
aE
=
De
−
1 2
Fe
aW
=
Dw
+
1 2
Fw
aP = aE + aW + (Fe − Fw )
如果在迭代求解过程中连续性方程能够满足－质量
守恒得到保证，则： Fe − Fw = 0
为保证代数方程迭代求解的收敛性，我们要求计算
中质量守恒一定要满足，于是 aP = aE + aW
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3. 中心差分离散方程特性分析
数值传热学
第五章 对流扩散方程的离散格式(1)
主讲
西安交通大学能源与动力工程学院 热流中心 CFD-NHT-EHT CENTER
2010年10月13日, 西安
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第5 章 对流－扩散方程的离散格式 5.1 对流项离散格式的重要性及两种离散方式 5.2 对流项的中心充分及迎风差分 5.3 混合格式及乘方格式 5.4 五种三点格式系数的特性及其应用
+
Γw
(δ x)w W
=
−
1 2
(
ρ
u)e
+
Γe
(δ x)e
+
1 2
(
ρ
u
)
w
+
Γw
(δ x)w W
+ [(ρu)e
− (ρu)w]
=
aE
+ aW
+ [(ρu)e
− (ρu)w]
aE
aW
定义界面扩导
Γ
δx
= D,
界面流量 F = ρu
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一维稳态无源项对流扩散方程CD格式的离散形式：
aPφP = aEφE + aWφW
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上述变化趋势与Peclet数的物理意义相一致：
Pe = ρuL = ρu
Γ Γ/L
对流作用 扩散作用
Pe小－扩散占优势，故变量接近于直线分布；
Pe大－对流占优势，上游的作逐渐明显， 流体上游
的信息传到下游；传热学理论分析中当Pe大于100
时可以不计轴向导热即据此而得。
我们希望所构建的离散方程形式也具有这样的
物理特性。
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5.2.2 一维对流-扩散方程的中心差分离散
1. 对一维模型方程在P控制容积内做积分，取分段
线性型线，经整理可得：
φP
[
1 2
(
ρ
u
)e
+
Γe
(δ x)e
−
1 2
(
ρ
u
)
w
+
Γw ]
(δ x)w
=
φE
[
Γe
(δ x)e
−
1 2
(
ρ
u
)e
]
+
φW
[
Γw
(δ x)w
+
1 2
(
ρu
)w
5.1.2 两种构造对流项离散格式的方法 5.1.3 两种对流项离散格式间的联系
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5.1 对流项离散格式的重要性及两种离散方式
5.1.1 对流项离散格式的重要性 对流项从数学上只是一阶导数，但其物理背景（强
烈的方向性）使其离散成为数值计算中的一个难点： 1. 影响到数值解的准确性(accuracy)
]
aP
aE
aW
故得：
aPφP = aEφE + aWφW
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2. 系数间关系的寻找
将 aP 做如下变化：
aP
=
1 2
(
ρu)e
+
Γe
(δ x)e
−
1 2
(
ρ
u
)
w
+
Γw
(δ x)w W
=
1 2
(
ρu)e
− (ρu)e
+ (ρu)e
+
Γe
(δ x)e
−
1 2
(
ρu)w
+ (ρu)w
− (ρu)w
5.5 关于假扩散的讨论 5.6 克服或减轻假扩散的方法 5.7对流-扩散方程离散形式稳定性分析 5.8 多维对流-扩散方程的离散及边界条件的处理 2/54
5.1 对流项离散格式的重要性及两种离散方式
5.1.1 对流项离散格式的重要性 1.影响到数值解的准确性 2.影响到数值解的稳定性 3.影响到数值解的经济性
如CD
∂φ
∂x )P
= φE − φW
2Δx
= φi+1 − φi−1
2Δx
2. 控制容积积分法－给出界面上被求函数的插值方式
∫1
e ∂φ
dx
= φe − φw
分段线性，均分网格
Δx w ∂x
Δx
= (φE + φP ) / 2 − (φP + φW ) / 2 = φE −φW
Δx
2Δx
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5.1.3 两种对流项离散格式间的联系 1. 同一种格式的两种构造方式的截差相同； 2. 同一种格式的两种构造方式的截差首项的系数不同。 3. Taylor 展开给出的是一点上的离散形式，而
+
(1 +
1 2
PΔ
)φW
2
PΔ 称为网格Peclet数。给定 φE ,φW 据上式可算出
φP
。
PΔ
=
ρu(δ
Γ
x)
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给定 φW = 100,φE = 200
由前式对 PΔ = 0,1, 2, 4
得出结果如右。
PΔ = 2
精确解据
φ −φ0 φL −φ0
=
exp( ρuL x ) −1
ΓL