模糊控制系统同时考虑4个性能指标
安全性、乘坐舒服性、 目标速度的可跟踪性、停车距离的准
确性
8
模糊数学方法的范例
模糊聚类分析——土壤分类、市场 分析
模糊模型识别——识别当前的通货 膨胀程度、害虫危害程度
模糊决策——评选先进工作者 模糊线性规划——生产规划
9
论域
我们讨论具体问题时，要知道是在 什么范围上进行讨论
称为x对A的隶属度。
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模糊集合vs.普通集合
模糊集合A由隶属函数μA刻画 普通集合A由特征函数XA刻画
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隶属函数 vs. 概率
21
共同点&区别
共同点
均在[0, 1]闭区间上取值
区别
概率：研究“随机性”，虽然事件的 发生与否不确定，但是事件是确定的。
隶属函数：研究“模糊性”，研究对 象本身就是不分明的。
例如：X={x1 , x2 , x3 , x4 ,, x5} 论域——无限集
例如：X=[0, 100]
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模糊集合表示方法（有限论域）
有限论域X={x1 , x2 , …, xn } 设X上的模糊子集A 的隶属函数为
μA ， μi =μA(xi) 模糊子集A如何表示？
三种表示方法
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表示方法1
当论域X为无限集时，上面的记法 失效
将查德记法推广到一般情况，即论 域是：无限的、连续的、或者其他 情况，论域X上的模糊集合A都可以 表示为
A = ∫x∈X μA(x) / x
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表示方法说明
A = ∫x∈X μA(x) / x 这里的积分号不表示积分，也不表
示求和，而是表示各个元素与隶属 度对应关系的一个总括
11
特征函数—隶属程度 XA(x)指明x对A的隶属程度
隶属程度只有两个值：0，1 经典集合只能表示什么样的概念？
“非此即彼” 确切概念
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非此即彼？
“高个子” “年轻” 现实世界中的很多概念具有模糊性 模糊性：客观事物差异的中间过渡
中的不分明性，难以划定界限。非 此即彼？
亦此亦彼，模糊概念
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表示方法2，3
表示方法2：
A = {(0.85, Bill), (0.75, Obama), (0.98, Einstein), (0.60, Spielberg)}
表示方法3：
A=(0.85, 0.75, 0.98, 0.60) 要求事先对论域中元素排序
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模糊集合表示方法（无限论域）
经典集合与模糊集合
经典集合——特征函数刻画 模糊集合——隶属函数刻画 隶属函数是将特征函数的值域从{0，
1}推广到[0，1]
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模糊子集与隶属函数的定义
定义：给出映射μA ：X [0, 1] ， x| μA(x) ， 我们说μA确定一个X的模糊子集A，
μA称为A的隶属函数， μA(x)表示 x隶属于模糊子集A的程度，
模糊概念：“smart” smart程度：0.85，0.75，0.98，0.60
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模糊集合“smart”
论域中元素对“smart”这模糊概念 的符合程度可以用模糊子集A来表 示
A = 0.85/Gates + 0.75/ Obama + 0.98/Einstein+ 0.60/ Spielberg
模糊数学
1
什么是模糊数学？
用数学方法研究和处理具有模糊性 的现象
理论基础
模糊集合论
2
研究对象
确定性数学模型：y=f(x) 随机性数学模型: y=0,1;p(y)已知 模糊性数学模型：y很小，
0，0.1，0.2 没有一个明确的分界
3
模糊有什么用？
4
模糊数学的应用领域
农业、林业、气象、环境、地质勘 探、军事、经济、生物、心理学、 结构力学，等等
“查德记法”：模糊子集A记作 A = ∑i=1n μi / xi
不是分式求和，只是一个符号 “分母”是论域X的元素 “分子”是相应元素的隶属度 当隶属度为0时，该项可以不写入
27
例子（有限论域）
例.论域 = { Bill Gates, Barack Hussein Obama , Albert Einstein, Steven Allan Spielberg }
35
模糊集合的包含⊆
定义3：若对任何 x∈X， μA(x) ≤μB(x) ，则 称模糊集A包含于模糊集B，记为 A⊆B
32
1-3 模糊集的运算
33
模糊集合的运算
经典集合有哪些运算？ 将经典集合的运算推广至模糊集合 逐点对隶属度作相应的运算
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பைடு நூலகம் 空模糊集合&相等模糊集合
设A、B为论域X上的模糊集 定义1：若对任何 x∈X，有μA(x) = 0，则
称模糊集A为空集，记为A=φ；
定义2：若对任何 x∈X ， μA(x) = μB(x) ， 则称模糊集A和B相等，记为 A = B ；
13
模糊概念
源自于实践 模糊概念（现象）无处不在
薄、厚； 高、矮； 强、弱； 中雨、大雨、暴雨、大暴雨；
14
如何亦此亦彼？
经典子集的隶属程度
只能取0或1
如何亦此亦彼？
打破这个限制 表现“亦此亦彼”的模糊概念
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第一章 模糊集合的基本概念
16
1-1 模糊子集与隶属函数
17
要有论域（议题限制在一定范围内）
例如：
在论域“human”上，讨论概念 “male”
在论域“monkey”上，讨论概念
“male”
10
集合与特征函数
经典集合论中，给定论域X，子集
A可由其特征函数XA(x)来唯一确定
特征函数是论域X到{0,1}上的一个 映射：
A
(x)
1, xA 0, xA
以下雨为例
22
三大数学模型
处理现实对象的数学模型可分为三 大类：
确定性数学模型。背景对象具有确定 性or固定性；
随机性数学模型。背景对象的发生具 有或然性or 随机性；
模糊性数学模型。背景对象及其关系 均具有模糊性。
23
1-2 模糊子集的表示方法
24
模糊集合的表示方法
论域 论域——有限集
5
家用电器与模糊数学
模糊控制技术
空调、电冰箱、洗衣机 微波炉、电饭煲
6
模糊洗衣机
第一个应用模糊系统的消费产品 日本松下电子工业公司，1990 根据污物的种类、数量、机器负载
量，运用模糊系统，自动设定正确 的洗衣周期。
7
仙台地铁
模糊系统最显著的应用
南北线全长13.6公里，途径16个站 点，运行非常平稳