第7讲一元二次方程1. (2019，河北)嘉淇同学用配方法推导一元二次方程 ax 2 + bx + c = 0(a ^ 0)的求根公式时,对于b 2— 4ac>0的情况，她是这样做的：由于0,方程ax 2 + bx + c = 0变形为：【思路分析】 本题考查了用配方法解一元二次方程•用配方法解一元二次方程的步骤： (1)形如x 2+ px + q = 0型.第一步，移项，把常数项移到方程右边；第二步，配方，左、右两边 加上一次项系数一半的平方；第三步，左边写成完全平方式；第四步，直接开方即可. (2)形如ax 2 + bx + c = 0型•方程两边同时除以二次项系数，即化成x 2 + px + q = 0型，然后配方.”—b ± b 2— 4ac解: (1)四 x =1- 2a2⑵移项，得x — 2x = 24.配方，得 x 2— 2x + 1 = 24 + 1，即(x — 1)2= 25. 开方，得x — 1 = ±5. x 1 = 6, x 2=— 4.2. (2019，河北)若关于x 的方程x 2+ 2x + a = 0不存在实数根，则a 的取值范围是(B) A. a v 1B. a > 1C. a < 1D. a > 1【解析】•••关于x 的方程x 2 + 2x + a = 0不存在实数根，••• b 2— 4ac = 22— 4X 1X a v 0.解 得 a > 1.22223. (2019，河北)a , b , c 为常数，且(a — c) >a + c ,则关于x 的方程ax + bx + c = 0根的 情况是(B)A.有两个相等的实数根 B.有两个不相等的实数根 C.无实数根D.有一根为0【解析】 由(a — c)2>a 2+ c 2得出一2ac > 0,^A = b 2 — 4ac > 0.「.方程有两个不相等的实数根.2丄 bc x + a x =—a ，…第步x 2, b x +色* = c +d 彳…第一步 x + a x + 2a =—a +2a ，第二步2 2(b X b — 4ac x +亦=47，…第三步x + 2- = b ：4ac (b 2— 4ac>0)，…第四步 2a4a '—b +「■. ：b — 4ac•…第五步4a 2a(1)嘉淇的解法从第 =0(a ^ 0)的求根公式是四 步开始岀现错误：事实上，当 —b ± b 2 — x= -------- ;------- b 2 — 4ac>0 时，方程 ax 2 + bx + c(2)用配方法解方程:4ac2a )； x 2— 2x — 24= 0.I二D一丿一元二次方程的概念及解法x例1解下列方程：2(1) x — 2x — 1 = 0;2(2) x — 1 = 2(x + 1);2 1(3) x + 3x = — 4.【思路分析】 根据所给方程的形式，选择合适的方法解方程. 解：(1) a = 1， b = — 2， c =— 1.2△ = b — 4ac = 4 + 4 = 8> 0. •••方程有两个不相等的实数根.即 x 1 = 1+ 2, x 2= 1 — 2. ⑵移项，得 x 2— 1 — 2(x + 1) = 0, (x + 1)(x — 1) — 2(x + 1) = 0,因式分解，得(x + 1)(x — 1 — 2) = 0, 于是，得x + 1 = 0或x — 3 = 0. • • x 11 , X2 3.⑶配方，得 X 2+3x +2 =—4+2 ,=2.由此可得x +詁士 2. • x 1=—2+.2, x 2=—3- .2.针对训练1(2019，邯郸一模)用配方法解一元二次方程 2x 2 — 4x — 2= 1的过程中，变形正确的是(C)2 2A. 2(x — 1) = 1B. 2(x — 2) = 52 52 5C. (x — 1) =D. (x — 2) =2223 2 3 2 5【解析】 2x — 4x — 2= 1, 2x — 4x = 3, x — 2x = q , x — 2x + 1 = - + 1, (x — 1) = ?.也可以把各选项中的方程展开化为一般形式，和题干中的方程做对比例2 （2019 ,扬州）如果关于x 的方程mx 2— 2x + 3 = 0有两个不相等的实数根， 那么m 的取值范围是（m v 3且m ^ 0 ）.1【解析】•••方程有两个不相等的实数根， • 4 — 12m>0.解得m<§.但当m = 0时，原方程 不是一元二次方程，所以 m 工0.针对训练2（2019，石家庄桥西区一模）常数a , b , c 在数轴上的位置如图所示，则关于第2页—b ± b 2— 4ac2a2± 2.22=1士一 2, 元二次方程根的判别式x的一元二次方程 ax 2 + bx + c = 0根的情况是(B)训练2题图A.有两个相等的实数根B.有两个不相等的实数根C.无实数根D.无法确定针对训练3 (2019,张家口桥东区模拟)若关于x 的一兀二次方程-4-x 2^ \： 3x + tan a = 0有 两个相等的实数根，则锐角 a 等于(D)A. 15 °B.30 °C.45°D. 60 °【解析】•••方程有两个相等的实数根， .•• △= C .3)2 — 4^~4 x tan a = 0.解得tan a = — 3.•••a = 60°一元二次方程的实际应用例3 (2019，宜昌，导学号5892921)某市创建“绿色发展模范城市”，针对境内长江段两 种主要污染源：生活污水和沿江工厂污染物排放，分别用“生活污水集中处理” (下称甲方案)和“沿江工厂转型升级”(下称乙方案)进行治理•若江水污染指数记为 Q ,沿江工厂用乙方案进行一次性治理(当年完工)，从当年开始，所治理的每家工厂一年降低的 Q 值都以平均值 n计算，第一年有40家工厂用乙方案治理，共使 Q 值降低了 12.经过三年治理，境内长江水质明显改善.(1) 求n 的值；(2) 从第二年起，每年用乙方案新治理的工厂数量比上一年都增加相同的百分数 m ,三年来用乙方案治理的工厂数量共190家，求m 的值，并计算第二年用乙方案新治理的工厂数量；⑶该市生活污水用甲方案治理，从第二年起，每年因此降低的Q 值比上一年都增加一个相同的数值a.在(2)的情况下，第二年，用乙方案所治理的工厂合计降低的 Q 值与当年用甲方案治理降低的Q 值相等.第三年，用甲方案使 Q 值降低了 39.5.求第一年用甲方案治理降低的 Q 值及a的值.【思路分析】(1)平均数X 数量=总数.(2)按相同增长率，第一年 40家，第二年40(1 + m)家，第三年40(1 + m)2家，三年总和等于190家列方程求解即可.(3)先求出第二年用甲方案 治理降低的Q 值，再根据第三年用甲方案使Q 值降低了 39.5，列方程组求解即可.解：(1) •/40n = 12，. n = 0.3.⑵根据题意，得 40+ 40(1 + m) + 40(1 + m) = 190. 1 7解得 m 1 = 2， m 2= —2(舍去). • m = 50%.•••第二年用乙方案新治理的工厂数量为 40(1 + m)= 40X (1 + 50%) = 60(家). (3)设第一年用甲方案治理降低的 Q 值为x. 第二年Q 值用乙方案治理降低了100n = 100 X 0.3= 30.【解析】 从数轴上可知, a ，c 异号，则b 2— 4ac>0,所以方程有两个不相等的实数根【解析】 设道路的宽为x m .根据题意，得(32 - 2x)(20 - x) = 570. 针对训练5 (2019，眉山)某烘焙店生产的蛋糕礼盒分为六个档次，第一档次(即最低档次)的产品生产76件，每件利润10元•调查表明：生产提高一个档次的蛋糕产品，该产品每件 利润增加2元.(1) 若生产的某批次蛋糕产品每件利润为 14元，此批次蛋糕产品属第几档次产品？ (2) 由于生产工序不同，蛋糕产品每提高一个档次，一天产量会减少 4件.若生产的某档次产品一天的总利润为 1 080元，该烘焙店生产的是第几档次的产品？【思路分析】 ⑴利润增加的量除以 2即为档次提高的量.⑵设生产的是第x 档次产品，则相应的产量是76 - 4(x - 1)，每件利润是10 + 2(x - 1);等量关系是：每件利润X 产量=总利润.解：(1)(14 - 10)吃 + 1 = 3(档次). 答：此批次蛋糕产品属第三档次产品.(2)设该烘焙店生产的是第 x 档次的产品.根据题意，得[76 - 4(x - 1)][10 + 2(x - 1)] = 1 080. 整理，得 x 2- 16x + 55= 0.解得禺=5, X 2= 11(不合题意，舍去). 答：该烘焙店生产的是第五档次的产品. 一、 选择题1. 已知关于x 的方程x 2-mx + 3 = 0的一个解为x =- 1,贝y m 的值为(A) A. - 4B. 4C. - 2D. 2【解析】 把x =- 1代入原方程，得 m =- 4.2. (2019，石家庄 28 中质检)若 x 2+ 4x - 4= 0，则 3(x - 2)2- 6(x + 1)(x - 1)的值为(B) A. - 6B. 6C. 18D. 30【解析】 已知条件转化为 x 2+ 4x = 4,原式=-3x 2- 12x + 18=- 3(x 2 + 4x) + 18 = 6. 3. (2019，石家庄40中二模)用配方法解方程 x 2 + x - 1 = 0,配方后所得方程是B.根据题意，得x + a = 30,x + 2a = 39.5.解得 x = 20.5, <a = 9.5.针对训练4(2019,白银)如图，某小区计划在一块长为 32 m 、宽为20 m 的矩形空地上修建三条同样宽的道路，剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为 则下面所列方程正确的是(A)训练4题图2570 m .若设道路的宽为x m ,A. (32 - 2x)(20 - x)= 570C. (32 - x)(20 - x) = 32 X 20 - 570B. 32x + 2X 20x = 32 X 20-570 2D. 32x + 2X 20x - 2x = 570(C)2 2B. x +1 = 4 D. x —2 = 5【解析】 配方过程 X 2 + x = 1 , X 2 + x + £2= 1 + £ 2，[x+ 2 2 =4.4. (2019，唐山路南区一模)已知关于x 的方程x 2+ mx — 1 = 0的根的判别式的值为 5，则 m 的值为(D)A. ± 3B. 3C. 1D. ± 1【解析】 根据题意，得 A= m 2+ 4= 5•解得m =±.5. (2019，唐山丰南区一模)现定义运算“★”， 对于任意实数a , b ，都有a ★ b = a 2— a b + b.如：3★ 5=于一3X 5 + 5.若x ^2 = 10,则实数x 的值为(C)A. — 4 或—1B. 4 或—1C. 4 或—2D. — 4 或 2【解析】 根据题意，得 x * 2 = x 2— 2x + 2. ••• x 2— 2x + 2 = 10.解得 X 1= 4, X 2=— 2. 6. (2019，唐山路南区二模)下列方程中，没有实数根的是 (D)A. x 2— 2x = 0B. x 2 — 2x — 1 = 0C. x 2 — 2x + 1 = 0D. x 2— 2x + 2= 0【解析】 选项A , A= 4>0;选项B , A= 8>0 ;选项C , A= 0;选项D , A= — 4<0. 7. (2019，娄底)关于x 的一元二次方程 x 2 —(k + 3)x + k = 0的根的情况是(A)【解析】•/ A= [ —( k + 3) ]2 — 4k = k 2 + 2k + 9 = (k + 1)2 + 8>0 , •方程有两个不相等的 实数根.8. (2019,定西)关于x 的一元二次方程x 2 + 4x + k = 0有两个实数根，则k 的取值范围是(C) A. k <— 4 C. k w 49. (2019，桂林)已知关于x 的一元二次方程 2x 2— kx + 3= 0有两个相等的实数根，则k的值为(A)A. ± 2 ；6B. ± .'6C. 2 或 3D. '2或.'3【解析】 因为方程有两个相等的实数根，所以A= k 2— 24= 0.解得k = ±2 ;6.10. (2019，秦皇岛海港区模拟)某城市2019年底已有绿化面积 300 hm 2,经过两年绿化， 绿化面积逐年增加，到 2019年底已达到363 hm 2.设绿化面积的年平均增长率为 x.根据题意, 所列方程正确的是(B)2A. 300(1 + x) = 363B. 300(1 + x) = 3632C. 300(1 + 2x) = 363D. 363(1 — x) = 300A.有两个不相等的实数根 C.无实数根B. 有两个相等的实数根 D. 不能确定B. k v — 4 D. k v 4【解析】 因为方程有实数根，所以A= 16 — 4k > 0.解得 k < 4.【解析】2019年底的绿化面积是 300(1 + x) hm 2, 2019年底的绿化面积是 300(1 + x)2 hm 2, 可得方程.11. (2019,绵阳)在一次酒会上，每两人都只碰一次杯.若一共碰杯 55次，则参加酒会的有(C)A. 9 人B. 10 人C. 11 人D. 12 人【解析】 设参加酒会的有 x 人，则每人碰杯(x — 1)次.因为每两人都只碰一次杯，所以二、 填空题12. (2019，淮安)一元二次方程x 2— x = 0的根是 _1= 0, x 2= 1 【解析】x(x — 1) = 0,得 X 1= 0, X 2= 1.2213. (2019，秦皇岛海港区模拟)已知x = 1是一元二次方程 x + mx + n = 0的一个根，则 m + 2mn + n 2的值为1 .【解析】 把x = 1代入方程，得 m + n =— 1，贝U m 2+ 2mn + n 2 = (m + n)2= 1. 14. (2019，南充)若2n(n ^0)是关于x 的方程x 2— 2mx + 2n = 0的根，则m — n 的值为(2).【解析】 把x = 2n 代入方程，得(2n)2— 2m 2n + 2n = 0,变形为2n(2n — 2m + 1) = 0, •/ 2n 工0, ••• 2n — 2m + 1= 0. A m — n =12'15. (2019,邵阳)已知关于x 的方程x 2 + 3x — m = 0的一个解为x =— 3,则它的另一个解是 x = 0 .【解析】 把x =— 3代入方程解得 m = 0,则原方程为x 2 + 3x = 0，可求出另一个解是 x =0.16. (2019，唐山丰南区一模)若关于x 的方程x 2— 6x + c = 0有两个相等的实数根，则 c 的值为 9.【解析】 因为方程有两个相等的实数根，所以 △= 36 — 4c = 0.解得c = 9.17. (2019,威海)关于x 的一元二次方程(m — 5)x 2 + 2x + 2= 0有实数根，则m 的最大整数 值是 4.11【解析】 因为方程有实数根， 所以△= 4— 8(m — 5)> 0.解得m <寸.又因为m ^ 5,所以 m 的最大整数值是4.共碰杯 x (x — 1) 2 次，得方程x (x — 1 )2 =55,取正根 x = 11.三、解答题18. 解下列方程：2(1) x —3x+ 1 = 0;(2) x2—2x= 6—3x;(3) (2x+ 3) = 8.【思路分析】针对各个方程的特点，选择适当的解法.(1)用公式法.(2)用因式分解法.⑶用直接开平方法.解：⑴这里 a = 1, b=—3, c = 1.b2—4ac= (—3)2—4 x 1X 1 = 5 > 0,…x =(2) 原方程可化为x(x—2) = —3(x—2).移项，因式分解，得(x—2)(x+ 3)= 0. 于是，得x—2= 0或x+ 3 = 0.X1 = 2, x2 = — 3(3) 2x+ 3=± 2 2,2x= ±2 ,2 —3,—3+ 2 2 —3— 2 2X1 = 2 1 ~，x2= 2 1 ~.219. (2019，北京)关于x的一元二次方程ax + bx+ 1= 0.(1) 当b= a+ 2时，利用根的判别式判断方程根的情况；(2) 若方程有两个相等的实数根，写出一组满足条件的a, b的值，并求此时方程的根.【思路分析】(1)把b= a+ 2代入根的判别式，判断出正负即可. (2)由△= 0得出a, b之间的关系，任取一组符合条件的值，再解方程.解：(1) △= b2—4a = (a + 2)2—4a = a2+ 4> 0,所以方程有两个不相等的实数根.⑵•• •方程有两个相等的实数根，△ = b2—4a = 0.令b = 2, a = 1,此时方程为x2+ 2x+ 1 = 0,• . X1 = X2=—1.20. 【发现思考】已知等腰三角形ABC的两边长分别是方程x2—7x+ 10= 0的两个根，求等腰三角形ABC 三条边的长各是多少？如图所示的是涵涵的作业，老师说他的做法有错误，请你找出错误之处并说明错误原因.【探究应用】请解答以下问题：已知等腰三角形ABC的两边长是关于x的方程x2—mx+ m — 4 = 0的两个实数根.(1) 当m= 2时，求等腰三角形ABC的周长；(2) 当厶ABC为等边三角形时，求m的值.涵涵的作业解：x2—7x + 10=0.a= 1, b=—7, c = 10.2■/ b —4ac = 9 > 0,—b 士b2—4ac2a・ X i = 5, X2= 2.・当腰为5，底为2时，等腰三角形的三条边长分别为5, 5 , 2.当腰为2，底为5时，等腰三角形的三条边长分别为2，2，5.第20题图【思路分析】一要检查解方程的过程和结果，二要考虑方程的解是三角形的边，需满足任意两边之和大于第三边.解：【发现思考】错误之处：当腰为2,底为5时，等腰三角形的三条边长分别为2, 2, 5.错误原因：此时不能构成三角形(或不符合三角形的三边关系).【探究应用】(1)当m= 2时，方程为x2—2x+ 3= 0.41 3解得x1=^, x2= 3.1 1 13当2为腰时，因为2+3<2，所以不能构成三角形.当2为腰时，等腰三角形的三边长分别为3,3,1.此时周长为2+1+-= |.(2)若厶ABC为等边三角形，则方程有两个相等的实数根.・△ = m2—4 罗—4 = m2—2m+ 1 = 0.・m1= m2= 1，即卩m的值为1.21. (2019，盐城)一商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件赢利40元.为了扩大销售、增加赢利，该店采取了降价措施，在每件赢利不少于销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件.(1)若降价3元，则平均每天可售出26件；⑵当每件商品降价多少元时，该商店每天的销售利润为25元的前提下，经过一段时间1 200元？【思路分析】(1)20 + 3 X 2 = 26.(2)设降价x元，则销量为(20+ 2x)件，每件赢利(40 —x)元•等量关系是每件赢利X销量=总赢利•最后要选择符合条件的解.解：(1)26⑵设每件商品降价x元时，该商店每天的销售利润为 1 200元，则平均每天售出(20 + 2x)件，每件赢利J (40 —x)元，且40 —x>25,即x< 15.根据题意，得(40 —x)(20 + 2x) = 1 200.整理，得x2—30x+ 200 = 0.解得X1= 10, X2= 20(舍去).答：当每件商品降价10元时，该商店每天的销售利润为 1 200元.22. (2019，德州)为积极响应新旧动能转换，提高公司经济效益•某科技公司近期研发出一种新型高科技设备，每台设备的成本价为30万元，经过市场调研发现，每台售价为40万元时，年销售量为600台；每台售价为45万元时，年销售量为550台.假定该设备的年销售量y(单位：台)和销售单价x(单位：万元)成一次函数关系.(1) 求年销售量y与销售单价x之间的函数关系式；(2) 根据相关规定，此设备的销售单价不得高于70万元.如果该公司想获得10 000万元的年利润，那么该设备的销售单价应定为多少万元？【思路分析】(1)用待定系数法求一次函数关系式. (2)等量关系是：每台利润X销量=总利润•根据条件决定方程的根的取舍.解：(1)设年销售量y与销售单价x之间的函数关系式为y= kx+ b(k^ 0).40k+ b = 600,将(40 , 600), (45, 550)代入y= kx+ b,得I45k+ b = 550.k=- 10,解得*b= 1 000.•••年销售量y与销售单价x之间的函数关系式为y=—10x+ 1 000.⑵设该设备的销售单价应定为x万元，则每台设备的利润为(x—30)万元，销售量为(—10x+ 1 000)台.根据题意，得(x —30)( —10x+ 1 000)= 10 000.整理，得x2—130X+ 4 000= 0.解得x1= 50，x2= 80.•• •此设备的销售单价不得高于70万元，• x = 50.答：该设备的销售单价应定为50万元.1. (2019，福建A，导学号5892921)已知一元二次方程(a + 1)x2+ 2bx + (a + 1)= 0有两个相等的实数根，则下列判断正确的是(D)A. 1 一定不是关于x的方程x2+ bx+ a = 0的根B. 0 一定不是关于x的方程x2+ bx+ a= 0的根C. 1和一1都是关于x的方程x2+ bx+ a = 0的根D. 1和一1不都是关于x的方程x + bx+ a = 0的根【解析】方程(a+ 1)x2+ 2bx+ (a+ 1) = 0有两个相等的实数根，则有(2b)2—4(a+ 1)2= 0，且 a + 1工0.解得 b = a+ 1 或b=—(a + 1)，且 a + 1工0.若b= a+ 1，则—1 是方程x + bx+ a = 0的根；若b=—(a+ 1)，贝U 1 是方程x2+ bx+ a = 0 的根.•/ a+ 1工0，• a + 1 工一(a + 1).故1和一1不会同时是方程x2+ bx+ a = 0的根.2. (2019，舟山)欧几里得的《原本》记载，形如x2+ ax= b2的方程的图解法是：画Rt△ ABC，第9页第12页a a使/ ACB = 90 ° , BC = 2, AC = b ,再在斜边 AB 上截取BD =㊁•则该方程的一个正根是 (B) 第2题图A. AC 的长C. CD 的长2 a 2. 2 a 2 a :b + ^. '-AD = AB — BD =- ： b + 4 — 2, 3. (2019，河北，导学号5892921)对于实数p , q ，我们用符号 min{ p , q}表示p , q 两数中 较小的数，如 min{1 , 2} = 1•因此，min{ — 2,— 3} =_— . 3_ ;若 min{( x — 1)2, x 2} = 1, 贝 y x = 2 或一1 .【解析】 min{ — 2,— 3} = — 3. -.min{( x — 1)2, x 2} = 1, •当(x — 1)2< x 2 时，(x — 1)2=1.解得X 1 = 2, x 2 = 0(不合题意，舍去).当(x — 1)2> x 2时，x 2= 1.解得X 1 = 1(不合题意，舍去), x 2=— 1.24. (2019，内江B ,导学号5892921)已知关于x 的方程ax + bx + 1= 0的两根为X 1= 1,x 2= 2,则方程a(x + 1)2+ b(x + 1)+ 1 = 0的两根之和为1 . 【解析】 把(x + 1)看作一个整体，据已知条件可得 X + 1 = 1或X + 1 = 2，所以X 1 = 0, X2 =1.所以和为1.B. AD 的长C. BC 的长 【解析】 用配方法解方程 AB = •'AD 的长是方程的正根. x 2 + ax = b 2,易得正根。