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解答提示: P184 3 (1)
∫ 计算 x2 + y2 ds , 其中L为圆周 x2 + y2 = ax.
L
提示: 利用极坐标 ,
L : r = a cosθ
(−π ≤θ ≤ π )
2
2
ds = r2 + r′2 dθ = a dθ
∫ ∫ 原式 = L
π
ax ds =
1. 基本方法
曲面积分
⎧ ⎨ ⎩
第一类( 第二类(
对面积 对坐标
) )
⎭⎬⎫
转化
二重积分
(1) 统一积分变量 — 代入曲面方程
(2)
积分元素投影
⎧ ⎨ ⎩
第一类: 第二类:
始终非负 有向投影
(3) 确定二重积分域 — 把曲面积分域投影到相关坐标面
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思考题
1) 二重积分是哪一类积分? 答: 第一类曲面积分的特例.
2
−π2
a2 cos2 θ ⋅ a dθ = 2a2
说明: 若用参数方程计算, 则
y r
L:
x
=
a 2
(1
+
cos
t)
y
=
a 2
sin
t
(0
≤t
≤
2π
)
o
θ
t ax
d s = x2 + y 2 d t = a d t
2
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∫ P184 3(3). 计算 (2a − y)d x + xd y, 其中L为摆线 L x = a(t − sin t) , y = a(1− cost)
∫ ∫ I = ex sin y d x + (ex cos y − 2)dy − 2 ydx
L
L
∫ ∫ ∫ =
− − 2 ydx
L+ AB AB
L
y L
L
:
⎩⎨⎧xy
= =
a (1+ cos a sin t
t)
t:0→π
D
oA a B x
∫ ∫ = ∫∫D 0d x d y −
2a
0d x
+
2a2
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2. 基本技巧
(1) 利用对称性及重心公式简化计算
(2)
利用高斯公式
⎧ ⎨
注意公式使用条件
⎩ 添加辅助面的技巧
(辅助面一般取平行坐标面的平面) (3) 两类曲面积分的转化
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练习: P185 题4(3)
计算∫∫∑ x d y d z + y d z d x + z d x d y,其中 ∑ 为半球面
D
3
3
(2)I2 = ∫L (x2 − y + y 2 ) d x + ( y2 − x) d y
∫ ∫ = (x2 − y) d x + (y2 − x)dy + y2 dx
L
L
L : x = a cost, y = a sin t, t : 0 → π
∫ = I − π a3 sin3 t d t = − 2 a3− 2a3 ⋅ 2 ⋅1 = −2a3
dz
+
y
dzdx
+
z
dxdy
思考: 计算 ?
=
1 R3
∫∫∫Ω
3d
x
d
y
d
本题 ∑ 改为椭球面
z
= x2
a2
4π
+
y2 b2
+
z2 c2
= 1时,
应如何
提示: 在椭球面内作辅助小球面 x2 + y2 + z2 = ε 2 取
内侧, 然后用高斯公式 .
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例6. 计算曲面积分 I = ∫∫Σ[(x + y)2 + z2 + 2 yz ]d S,其
1
1
1
Σ
3
3
3
I = ∫∫ ∂
Σ
∂x
∂ ∂y
∂ ∂z
dS
L
y2 − z2 2z2 − x2 3x2 − y2
=−
2 3
∫∫Σ
(4
x
+
2
y
+
3z)dS
Do y x
公式 目录 上页 下页 返回 结束
I
="= −
2 3
∫∫Σ
(4
x
+
2
y
+
3z
)dS
Σ : x + y + z = 2, (x, y) ∈ D
中∑ 是球面 x2 + y2 + z 2 = 2x + 2z .
解: I = ∫∫Σ[ (x2 + y2 + z2 ) +2xy + 2 yz ]dS
= ∫∫Σ (2x + 2z) d S + 2∫∫Σ (x + z)ydS
用重心公式
利用对称性
= 2(x + z) ∫∫Σ d S + 0
= 32π
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D: x + y ≤1
= −2∫∫D (x − y + 6) dxdy = −12 ∫∫D dxdy
= −24
y
1
D o 1x
D 的形心 x= y=0
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作业
P184
3 (2) , (4) ; 3 (2)
o
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
z=
1 2
sin
t
原式 = 2 12 ∫02π cos2 t sin 2 td t
x
1y
=
1 22
⋅
π
4∫0
2
cos2
t
(1 −
cos2
t)d
t
=
2 ⎜⎝⎛
1 2
⋅π
2
−
3 4
⋅
1 2
⋅π
2
⎟⎠⎞
=
2π
16
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2. 基本技巧 (1) 利用对称性及重心公式简化计算 ; (2) 利用积分与路径无关的等价条件; (3) 利用格林公式 (注意加辅助线的技巧) ; (4) 利用斯托克斯公式 ; (5) 利用两类曲线积分的联系公式 .
+
∂ ∂y
(
cos
β
′)
+
∂ ∂z
(
cos
γ
′)
]d
v
=0
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例4. 计算曲面积分
I
=
∫∫Σ
x r3
d
yd
z
+
y r3
d
zd
x
+
z r3
d
xd
y
其中, r = x2 + y2 + z2 , Σ : x2 + y2 + z2 = R2 取外侧.
解:
I
=
1 R3
∫∫Σ
xdy
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∫ P184 3(6). 计算 Γ xyzdz , 其中Γ由平面 y = z 截球面
x2 + y2 + z2 = 1所得, 从 z 轴正向看沿逆时针方向.
提示: 因在 Γ上有 x2 + 2 y2 = 1 , 故
z
x = cost
Γ:
y = 1 sin t
2
( 0 ≤ t ≤ 2π )
2) 设曲面 ∑ : z = 0 , (x, y) ∈ D , 问下列等式是否成立?
∫∫Σ f (x, y, z) d S = ∫∫D f (x, y,0) d xdy ∫∫Σ f (x, y, z) d x d y = ∫∫D f (x, y,0) d xdy
不对 ! 对坐标的积分与 ∑ 的侧有关
上对应 t 从 0 到 2π 的一段弧.
提示: (2a − y) d x + x d y = a(1+ cos t) ⋅ a(1− cos t) d t
+ a(t − sin t) ⋅ a sin t d t
= a2t sin t d t
∴
原式
=
a
2
∫
2π
0
t
sin
td
t
= a2[ − t cos t − sin t ]02π = −2π a2
0
3
3
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练习题: P184 题 3(5) ; P185 题6; 10
∫ 3(5). 计算 I = (ex sin y − 2 y) d x + (ex cos y − 2)dy, L
其中L为上半圆周 (x − a)2 + y2 = a2 , y ≥ 0,沿逆时针方向. 提示:
z = R2 − x2 − y2的上侧.
z
提示: 以半球底面 ∑0 为辅助面,
∑
且取下侧 , 记半球域为 Ω , 利用 高斯公式有
o
y
x ∑0
原式 = ∫∫∫Ω 3d x d y d z − ∫∫∑0 xdydz + ydzdx + zdxdy
= 3⋅ 2π R3 − 0 = 2π R3