2021
6
函数y=f(x)的零点
方程f(x)=0 的实数根
数
函数y=f(x) 的图 象与x轴交点的 横坐标
形
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7
例2．已知函数y=x2-2x-1 （1）判断该函数零点的个数，并说明理由; （2）它在区间（(2-1, ,31）) y上存在零点吗?
-1 o 1 2 3
x
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8
若f(a)·f(b)<0，则二次函数y＝f(x)在区
注意： 存在性：即至少存在一个但并不一定 唯一，若函数单调时，零点唯一；
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11
y
0a
x
2021
12
例3：试证明函数f(x)=x3+x2+1 在区间
（-2，-1）上有零点. 证明： 因为：f(-2)=-3＜0
f(-1)=1＞0
且函数f(x)在区间〔 -2，-1 〕上的图象是 不间断的, 所以函数f(x)在区间（-2，-1）上存在零点.
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2
函数 y=x2-2x+1 和 的零点分别是什么？
y
y3
y=x 2+2x+3
y
o
1
x
(1)
o -1
x
(2)
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-1 o
3x
(3)
3
二次函数零点个数的判定:
△=b2-4ac
△>0
△=0
ax2+bx+c=0 两个不等根 (a>0)
两个相等根
f(x)=ax2+bx+c (a>0) 图象
y x1 o x2 x
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函数y=f(x)的零点
方程f(x)=0 的实数根
数
函数y=f(x) 的图 象与x轴交点的 横坐标
形
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零点存在性定理：
若函数y＝f(x)在区间 〔a, b〕上的图象是 一条不间断的曲线，且f(a) ·f(b)<0，则函 数y=f(x)在区间(a，b)上有零点.
注意： 存在性：即至少存在一个但并不一定 唯一，若函数单调时，零点唯一；
2.函数f(x)=x3+x2+1 在区间（-2，-1）
上有零点，那么它更靠近那个端点呢？
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作业：
P76：1； P81：1，2
练一练
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2021
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数学运用
例1、求下列函数的零点：
(1) y x 2 3 x ; (2) y 2 x 2; （ 3） 函 数 的 图 象 如 下 : .y
0 1 4 56 7
x
小结: 求函数零点 的方法
( 1 ) 图 像 法 ： 即 函 数 图 像 与 x 轴 交 点 的 横 坐 标 ；
( 2 ) 代 数 法 ： 令 y 0 ,解 出 x .
函数的零点
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画出函数 y=x2-2x-3图像，指出x取哪 些y值时，y=0? y>0? y<0?
-1 o
3x
再求方程 x2-2x-3=0
的实数根，观察函数 与方程的联系？
我们把使二次函数 y=x2 -2x-3在y=0时的 (1) 实数（即二次方程x2-2x-3=0的实数根）
称为二次函数 y=x2-2x-3 的零点，就是 抛物线与 x 轴交点的横坐标.
y o x1=x2 x
△<0
方程无实根
y
o
x
f(x)=ax2+bx+c 两个零点 (a>0) 零点
一个零点
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无零点
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函数的零点
定义：一般地，我们把使函数y=f(x)的 值为0的实数x称为函数y=f(x)的零点。
y
02 4 x
（1）如图：函数y=f(x)的零点是____2_,_4.
（2）函数y=x（x2+4x+3）的零点是_-1_，__-_3_，. 0
间(a，b)上有零点.
y
y
a
o
bx
a ob x
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思考：
若函数y＝f(x) 在[a，b ]上有f(a)·f(b)<0， 则函数在区间(a，b)上一定有零点吗？
y
0a
bx
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10
零点存在性定理：
若函数y＝f(x)在区间 〔a, b〕上的图象是 一条不间断的曲线，且f(a) ·f(b)<0，则函 数y=f(x)在区间(a，b)上有零点.
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练习
1.求证：二次函数 y2x23x7有两个不同的零点。
2.求下列函数的零点：
（1）yx2 5x4
（3）y
1 2
x2
4
（2）y(x3)(x23x2) （4）ylog2(x22x2)
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3.求证：函数 yx33x1 在区间（0，1）上
有零点。
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思考
1.若二次函数y＝f(x)在区间(a，b)上有 零点，则一定有f(a)·f(b)<0吗?