华北水利水电大学题目《欧拉公式及其应用》课程名称：高等数学（2）专业班级：电子信息工程2012154成员组成：联系方式：2013年5月31 日摘要：在复数域内用几种不同的方法证明欧拉公式θθθsin cos i e i +=，举例说明欧拉公式在数学中的几类应用，通过总结多种方法看问题的思想来解决问题，通过几种不同种类的问题的解决方案让读者更加明白欧拉公式在学习中的多方面思想和数学中的重要性。
关键词：欧拉公式，证明，应用英文题目"Euler formula and its application"Abstract: The different methods of several in the complex domain that Euler's formula, illustrates several kinds of application of Euler's formula in mathematics, to solve the problem through the summary of many ways to look at problems of the mind, through the solution of several kinds of problems that the reader more understood the importance of Euler in learning many aspects of the theory and the mathematical formula in the.Key words: Euler formula Prove application1 引言欧拉公式是指以欧拉命名的诸多公式。
其中最著名的有复变函数中的欧拉幅角公式。
1748年，欧拉在其著作中发表欧拉幅角公式，欧拉公式在数学的许多定理的证明和计算中，有着广泛的应用。
在我们所学过的指数函数和三角函数在实数域中几乎没有什么联系，在复数域中却可以相互转换，欧拉幅角公式将定义和形式完全不同的指数函数和三角函数联系起来，为我们研究这两种函数的有关运算及其性质架起了一座桥梁。
2 研究问题及成果2.1 在复分析领域的欧拉公式对于任意实数θ，存在：e i θ=cos θ+i sin θ特别是当πθ=时，有1-=ei π，即01=+e i π，这个等式将数学中的最富有特色的五个数0、1、i 、e 、π联系在一起，0，1是实数中特殊的数字，i 是一个很重要的虚数单位，e 是无理数它取自瑞士数学家欧拉（Euler,1707-1783）的英文开头[5]，π是圆周率在公元前就被定义为“周长与直径的比”。
2.2 欧拉公式的证明方法2.2.1幂级数展开式的证明法引用三角函数和指数函数“幂级数展开式”证明欧拉公式θθθsin cos i ei +=，①三角函数的“麦克劳林级数”[1] ：,)!1(!5!3)sin(12153)1( +-+++-=---zn z z z zz n n,)!2(!4!21)cos(242)1( ++++-=-n z zzznn②指数函数的“麦克劳林级数”：[1],!!212+++++=n z zze nz当用iz 代替 z 时，那么+++++=!!21)()(2n iz iz iz eniz)!4!21(42++-=zz)!5!3(53 ++-+zz z iz i z sin cos +=当θ=z 时，得到θθθsin cos i ei +=。
2.2.2复指数定义法用复指数定义)sin (cos y i y e eex iyx z+==+，证明欧拉公θθθsin cos i e i +=证明 ∵对于任何复数iy x z += ),(R y x ∈∴有)sin (cos y i y e eexiyx z+==+[2]∴当x=0时，另,θ=y 有θθθsin cos i e i +=2.2.3类比法求导法通过实函数的性质来对复函数进行求导运算(附件①)，通过构造xi x x f eixsin cos )(+=，0)(='x f 用lagrange 微分中值定理推论[3]，从而证明1)(=x f ,使得x i x e ixsin cos +=①构造函数xi x x f eixsin cos )(+= 为虚数i R x ,∈②计算导数2sin 2cos )cos sin sin cos ()sin (cos )cos sin ()sin (cos )(2=+-+-=++--+='xi x x i x x x i x i x x i x x i x i x f ee e ixixix③lagrange 微分中值定理的推论若函数)(x f 在区间I 上可导，且)(x f 的导数恒等于0，x 属于I ，则)(x f 为I 上的一个常量函数[3]。
根据这推论，所以有,)(c x f =c 为常量，又因为1)0(=f , 所以1)(=x f ,有x i x eixsin cos +=.2.2.4分离变量积分法假设x i x z sin cos +=，求导得iz dx dz =，通过分离变量得,idx zdz=，然后两边取积分得ix z L n =，所以得x i x e ixsin cos +=.证明 假设x i x z sin cos +=,那么iz x i x i x x i dxdz=+=-=)sin (cos sin cos ， 分离变量得：,idx zdz= ∴ 两边同时积分得⎰⎰=dx i dz z1，即c ix z L n +=当取x=0时，10sin 0cos =+=i z ，001=+==c i z l L n n ， ∴ 0=c∴ ix z L n =，e e ixzx i x z L n =+==sin cos ，∴x i x eixsin cos +=。
★★★★★下面我们介绍一种新的证明方法：极限法证明 令()1nf z i n θ⎛⎫=+⎪⎝⎭(),R n N θ∈∈． 首先证明 ()lim cos sin n f z i θθ→∞=+．因为 arg 1ni narctg n n θθ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以 22211cos sin n ni i narctg i narctg n n n n θθθθ⎛⎫⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎝⎭． 从而222lim 1lim 1cos sin nnn n i narctg i narctg n n n n θθθθ→∞→∞⎛⎫⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎝⎭． ()i 令222(1)nn p n θ=+，则2ln ln 12n n p n θ⎡⎤⎛⎫=+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦．把1nξ=视为连续变量，由洛必达法则有 ()2201lim ln lim ln 12n n p ξξθξ→∞→=+2220lim01ξξθξθ→==+． 即 0lim 1n n p e →∞==．()ii 令arg 1nn i n θϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭narctg n θ=，则 ()lim limn n arctg ξξθϕθξ→∞→==．∴ ()lim lim 1cos sin nn n f z i i n θθθ→∞→∞⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭．其次证明 ()lim i n f z e θ→∞=．∵ ln 11n n i n i e n θθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎛⎫+= ⎪⎝⎭的主值支，∴ ln1arg 1ln 1lim 1lim lim n n i in i n i n n n n n n i e en θθθθ⎡⎤⎛⎫⎛⎫++++ ⎪⎢⎥ ⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦→∞→∞→∞⎛⎫+== ⎪⎝⎭， 而 ,lim ln 10lim arg 1n n n i n i n n θθθ→∞→∞⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭，∴ ()lim lim 1ni n n f z i e n θθ→∞→∞⎛⎫=+= ⎪⎝⎭．∴ cos sin i e i θθθ=+．2.3欧拉公式在数学中的应用在对一些较难以证明和计算的题上，直接使用欧拉公式很容易就证明了，在高等数学中很广泛的应用，比如棣莫弗公式的证明，复变函数的求解等。
2.3.1公式证明和应用1. 证明棣莫弗（de Moivre ）公式[4])sin (cos sin cos x i x nnx i nx +=+；证明：由欧拉公式x i x eixsin cos +=可知：())sin (cos x i x e nnix +=即nx i nx einxsin cos +=，所以有)sin (cos sin cos x i x nnx i nx +=+ 2.用欧拉公式和棣弗公式证明[4]：nan a x na n a x o n nax n nax x ex esin !)sin sin(;cos !)sin cos(cos 0cos ∑∑∞=∞===；证明：令,sin cos a i a z ==由欧拉公式可知))sin(sin )(cos(sin cos sin cos )sin (cos a i a eeeee aai aa i a z+===+即))sin sin()sin (cos(cos sin cos )sin (cos a x i a x eeeee ax aix ax a i a x xz+===+))sin sin()sin cos(cos cos a x i a x eeax ax +=又由于：x x xxz enn n n n nn nxzn na i n na n na i na n ∑∑∑∑∞=∞=∞=∞=+=+==000!sin !cos !)sin (cos !)(比较实部和虚部的到nan a x na n a x o n nax n nax x ex e sin !)sin sin(;cos !)sin cos(cos 0cos ∑∑∞=∞===2.3.2定义证明和应用3.证明复数z 的正弦函数和余弦函数.2cos ,2sin iz iz e ee eiziziziz--+=-=[2]证明：由欧拉公式x i x eixsin cos +=可得，⎪⎩⎪⎨⎧-=+=-xi x xi x e e ixix sin cos sin cos ， 从而得到⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=--i x x e e e e ix ix ixix 2sin 2cos .对于任意的实数x 成立，这两个公式中的x 代以任意复数z 后，由)sin (cos y i y e eexiyx z+==+，右端有意义，而左端尚无意义，因而有：.2cos ,2sin iz iz e ee eiziziziz--+=-=4.求)21sin(i +的值[2]： 解：1cos 2sinh 1sin 2cosh 1cos 21sin 22)1sin 1(cos )1sin 1(cos 2)21sin(222222)21()21(i i ii i ii eeeee e e ei i i i +=-++=--+=-=+---+-+此式为复数解正弦函数3 结束语对于欧拉公式x i x e ixsin cos +=，在这里用了五种不同的方法证明其的成立，也举了几个列子说明了欧拉公式在高等数学中的重要性，主要是提供一种多方面学习和看问题的思想，比如在证明欧拉公式的方法中，都还有许多不同的证明方法，所列举的这几种方法中，类比求导法是一种很好的证明方法，其的构造思想很巧妙，对于幂级数的展开证明方法，较容易弄懂，并且在实际的题目中，幂级数的展开用得比较多。