J 1
上面两个式子构成了AIk与aIj一一对应的离散傅里叶变 换对，可用快速傅里叶变换算法(FFT)计算.
根据上述离散傅里叶原理，基岩输入的稳态地震波加速度为
z z aI (t ) AIk exp(iwk (t )) cN cN
入射波位移振幅EN与加速度振幅AIK的关系为
EN AIk (k ) / k E1 A 1 (0) /(2k )
其中离散间隔总数J=T/△t,利用矩形积分公式，上式可计算为
1 J 1 AIk aIj exp(iwk t j ) J j 0 1 J 1 i 2kj AIk aIj exp( ) J j 0 J
由此可以得到
i 2kj aIj AIk exp( ) J k 0
k 1,2 k 1,2
地表面位移振幅E1与加速度振幅A1(0)的关系为
得到频率为ω的地表面绝对地震加速度反应值幅为
2 A1 (0) (1 ) AIk (k ) eN
第n层顶面加速度振幅为 Ank TA AIk 其中传递函数
en f n TA eN
得到第n层顶面频率为ω的绝对地震加速度反应值幅为
其中 n ncn / n1cn1 , kn w / cn，n 1,2..., N 1
由递推公式可得顶层和任一层波幅系数之间的转换关系
H n Tn H 1 t11 t12 Tn Tn 1 ~~~ T2 T1 t t 21 22
__
__
自由地表条件为 （ ） 0可得 1 0 因此第一层波幅矢为
其中
E1 F1
H1 (E1 , F1 )T
代入公式得到 E n en E1、 Fn f n E1 en t11 t12 , f n t 21 t 22 . EN 令n N , 得到 E1 eN
在地震工程中，通常采用基岩自由地面的加速度时程ag(t) 作为地震输入。考虑到自由地面的放大效应，基岩内竖直 向上入射的剪切波加速度aI＇可以表示为
z 1 z aI ' (t ) ag (t ) cN 2 cN
为了将暂态输入波aI‘转换成稳态输入波，可以采用 离散傅里叶变换方法。按照这一方法，暂态时间函数 aI’用周期函数为T的时间函数aI(t)替换即
aI (t ) aI (t nT ) aI ' (t )
n 0,1,2 ~~~ 0t T
uN 式中k N , cN 分别为基岩的波数和波 速 cN pN
第n层的地震波位移的频域一般解可以表示为

U n ( z) En exp(ikn z) Fn exp(ikn z)
式中En和Fn分别为第n层介质内上行和下行波 波幅 系数。
我们选取每一土层的顶面为z轴原点以描述该层内 的波动，第n层和第n+1层波幅系数的转换关系为
H n 1 Tn H n ,
n 1,2,~~~, N - 1
En 定义第n层的波幅矢H n为H n Fn 相邻层间转换矩阵 Tn为 1n 1 n exp(ik n hn ) 2 exp(ik n hn ) 2 Tn 1n 1 n exp(ik n hn ) exp(ik n hn ) 2 2
在地震工程中通常将覆盖土层和下卧基岩简化为力学性质竖向 成层变化，但横向为均匀的半无限空间。同时假定地震输入是 垂直向上入射的平面剪切波，因此土层地震反应可以用一维波 动模型分析。
土层地震反应分析的一维力学模型
土层模型如上图，N-1个土层覆盖在基岩均匀半无 限空间之上，各覆盖层厚度、介质质量密度和剪切 模量分别为hn.pn和un。采用局部坐标系并将z轴的 坐标原点设置在各层上界面，正方向垂直向下。 设第N层的入射地震波位移为 U1 ( z) EN exp(ik N z)
将周期函数aI(t)展开成傅里叶级数
aI (t )
式中
T
k
A

Ik
exp(iwk t )
1 AIk aI (t ) exp(iwk t )dt T0wk k 2f , f Nhomakorabea 1/ T
为了近似地计算傅里叶谱AIk，将aI(t)以时间步距△t离散化，
aIj (t ) aI (t j ),t j jt, j 0,1~~, J -1
en f n An (0) (1 ) AIk (k ) eN
从而利用傅里叶逆变换技术，可以求得在基岩内竖直 向上入射地震加速度时土层各层面的绝对地震加速度 反应。
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