例2-6：建 立右图的雅 可比矩阵
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机械臂末端的速度为
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微分变换法
对于转动关节
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对于移动关节
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对于移动关节
对于转动关节
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33ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
例：PUMA560的6个关节都是转动关节，其雅可比有 6列。此处用矢量积法计算J(q)
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比较方便。
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对于三维空间运行的机器人则不完全适用。从
三维空间运行的机器人运动学方程，可以获得直角
坐标位置向量
的显式方程，因此，J的前三
行可以直接微分求得，但不可能找到方位向量
的一般表达式。找不出互相独立的、无
顺序的三个转角来描述方位．绕直角坐标轴的连续
角运动变换是不可交换的，而对角位移的微分与对
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雅可比矩阵的应用
1、分离速度控制
由上式可见，当已知手端速度向量V，可通过左 乘雅可比逆矩阵计算出机器人的关节速度向量，所以 上式为运动学逆问题的速度关系式，是对机器人进行 速度控制的基本关系式。
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采用计算机控制时，把速度表示位置增量的形 式，故将上式写为：
式中,Δv为手 部在基础坐标 下一个采样周 期的位移(线位 移、角位移)； Δq为在同一周 期内关节变量 的增量。
为连杆i相对i-1的角
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手抓在基坐标系中的广义速度向量为：
式中， v为线速度，ω为角速度分量。
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5
从关节空间速度向操作空间速度映射的 线性关系称为雅可比矩阵，记为J，即：
4-3
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6
在数学上，机器人终端手抓的广义位置 （位姿）矢量P可写成：
上式对时间求导，有：
4-5
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例：斯坦福六自由度机器人除第三关节为移动关节 外，其余5个关节为转动关节。此处用微分法计算 TJ(q)
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逆雅可比矩阵
若给定机器人终端手抓的广义速度向量V， 则可由下式解出相应的关节速度：
上式中， 称为逆雅可比矩阵， 为加
给对应关节伺服系统的速度输入变量。
设一个驱动器只驱动一个关节，则n个关节需求 n个驱动力，可组成一个n维关节力向量:
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T与F的关系可以表示为：
2-56
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式中， 称为机器人力雅可比，它表示在静 止平衡状态下，末端广义力向关节力映射的线性 关系。显然，力雅可比是机器人速度雅可比的转 置。因此，机器人静力学传递关系和速度传递关 系紧密相关。
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对于有n个关节的机器人，其雅可比矩阵J(q)
是6×n阶矩阵，其前三行称为位置雅可比矩阵，代 表对手爪线速度v的传递比，后三行称为方位矩阵， 代表相应的关节速度 对手爪的角速度ω的传递
比。因此，可将雅可比矩阵J(q)分块，即：
式中，Jli和Jai分别表示关节i的单位关节速度引起手爪 的线速度和角速度。
的姿态(如图2)，试分别求出生成手爪力FA＝[fx,0,0]T， FB ＝[0,fy,0]T, FC＝[0,0,N]T的驱动力矩τA,τB ,τC。
图1
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图2
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对照式4-3和式4-5，可知：
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在机器人学中，J是一个把关节速度向量 变
换为手爪相对基坐标的广义速度向量的变换矩阵。
在三维空间运行的机器人，其J阵的行数恒为6(沿/
绕基坐标系的变量共6个)；列数则为机械手含有的
关节数目。
对于平面运动的机器人来说，手的广义位置向
量
均容易确定，可采用直接微分法求J，
仅旋转关节产生的线速度
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矢量
起于Oi-1，止于On，所以由
ωi产生的线速度为:
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由于
所以
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雅可比矩阵的求解：
Jai的求法： (1) 第i关节为移动关节时 (2) 由于关节移动的平移不对手部产生角速度，所以此时
(2) 第i关节为转动关节时，
所以
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当第i关节为移动关节时
1
▲雅可比矩阵的定义 ▲微分运动与广义速度 ▲雅可比矩阵的构造法 ▲PUMA560机器人的雅可比矩阵 ▲逆雅可比矩阵 ▲力雅可比矩阵
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2
上一章我们讨论了刚体的位姿描述、齐 次变换，机器人各连杆间的位移关系，建立 了机器人的运动学方程，研究了运动学逆解， 建立了操作空间与关节空间的映射关系。
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12
简写为：
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其中，R是旋转矩阵
S(P)为矢量P的反对称矩阵 S(P)矩阵具有以下性质：
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相应的，广义速度V的坐标变换为： 任意两坐标系A和B之间广义速度的坐标变换为：
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4.3 雅可比矩阵的构造法
构造雅可比矩阵的方法有矢量积法和微分变 换法，雅可比矩阵J(q)既可当成是从关节空间向 操作空间的速度传递的线性关系，也可看成是微 分运动转换的线性关系，即：
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当要求机器人沿某轨迹运动时，Δv为已知，将它 代入上式中求得关节变量增量Δq ，于是可确定各关 节变量值，由伺服系统实现位置控制，这就是分离 速度控制原理，如下图所示。
Δv要求
Δv实际
分离速度控制原理
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雅可比矩阵的应用
2、在静力分析中的应用
有些机器人的工作需要与环 境接触，并保持一定的接触力， 如右图所示。接触力F可表示为 一个六维力向量：
当第i关节为转动关节时
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确定
1、用b表示zi-1轴上的单位向量 把它转换到基础坐标系中，即为
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如右图所示。用O、Oi-1、On 分别表示基础坐标系、i-1号 坐标及手部坐标系的原点。用 矢量x表示在各自坐标系中的 原点。
把
用齐次坐标表示
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有上式可以确定
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角位移的形成顺序无关，故一般不能运用直接微分
法来获得J的后三行。因此，常用构造性方法求雅可
比J。
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4.2 微分运动与广义速度
刚体或坐标系的微分运动包括微分移动矢量d 和微分转动矢量 δ。前者由沿三个坐标轴的微分 移动组成，后者由绕三个坐标轴的微分转动组成， 即
或
或
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刚体或坐标系的微分运动矢量 刚体或坐标系的广义速度
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由构型和例2-6可得：
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思考题1：
右图为三自由度机械手 (1)用D-H方法建立各附体坐 标系； (2)列出连杆的D-H参数表； (3)建立运动学方程； (4)建立雅可比矩阵。
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图1
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思考题2：
对图1的三自由度机械手，取θ1＝0,θ2＝90，θ3＝90
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雅可比矩阵的求解（矢量积法）：
Jli的求法： (1) 第i关节为移动关节时
仅平移关节产生的线速度
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设某时刻仅此关节运动、其余的关节静止不动，则：
设bi-1为zi-1轴上的单位矢量，利用它可将局部坐标下 的平移速度di转换成基础坐标下的速度：
由于
所以
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(2)第i个关节为转动 关节时， 设某时刻仅此关节运 动，其余的关节静止 不动，仍然利用bi-1 将zi-1轴上的角速度 转化到基础坐标中去
本章将在位移分析的基础上，进行速度分 析，研究操作空间速度与关节空间速度之间 的线性映射关系——雅可比矩阵(简称雅可比)。 雅可比矩阵不仅用来表示操作空间与关节空 间之间的速度线性映射关系，同时也用来表 示两空间之间力的传递关系。
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4.1 雅可比矩阵的定义
把机器人关节速度向量 定义为：
式中， 速度或线速度。