华南师范大学 集成光学
kx n1k1 cos
横向波矢
12 主讲人：刘柳
特征方程
2k x a m tan (
1
2
kx
) tan (
1
3
kx
)
在这里，我们求解对称波导的情况，n1=n2 m (1) 2 a k x a tan k x a
2
与射线法结果一致
2 k n
2 2
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2 2 0 2
7
主讲人：刘柳
边界条件
边界条件为：边界处切向Ey分量连续，切向分 E y E 量Hz也连续，由 x i H 知 x 连续
y 0 z
x
n3
入射波阵面
A θ
t=2a
n1
z
C
n2
一次反射波阵面
二次反射波阵面
时谐电磁场的麦克斯韦方程组
H i E
华南师范大学 集成光学 3 主讲人：刘柳
E i0H
波动方程
• 将矢量各分量展开，得：
E z E y i0 H x y z E x E z i0 H y z x E y E x i0 H z x y
一次反射波阵面
二次反射波阵面
E y i0 H z TE模(横电模) x H z i H i E y x x
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设波沿着z方向传播，则沿z方向场的变化可用一个传输因子exp(iβz)来表示 0 E Hx H y y Ex TM模(横磁模)
14 主讲人：刘柳
图解法求解特征方程
12 10
m=0 m=1 m=2
模式数量
2 k 2 a 2 (n 2 n 2 ) 0 1 2 M
向下取整
6 8 10 12
8
a (π )
pt
6
4
2
0
0
2
4
kxa (π )
m 2 a k x a tan k x a 2
华南师范大学 集成光学 8
tan(k x a )
2
kx
主讲人：刘柳
边界条件
x
n3
入射波阵面
A θ
t=2a
n1
z
C
E3 exp[ 3 ( x a )] x a E y ( x) E1 cos(k x x ) a x a E exp[ ( x a )] x a 2 2
x
8
a (π )
pt
6
4
d
2 0
n3
0
2
4
6
8
10
12
kxa (π )
O
i
n2
k1 i ’i
n1 z
m 2 a k x a tan k x a 2
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2 2 2 ( a)2 (kx a)2 k0 a (n12 n2 )
cTM
n 2 m arctan 1 n3
2 2 n2 n3 2 2 n1 n2
• 对于对称平板波导，TE0和TM0的截止波长 均为无限长
华南师范大学 集成光学 18 主讲人：刘柳
特征方程与色散曲线
m 2 a k x a tan k x a 2
华南师范大学 集成光学
2 2 2 ( a)2 (kx a)2 k0 a (n12 n2 )
15
主讲人：刘柳
图解法求解特征方程
12 10
m=0 m=1 m=2
0阶模总是存在 1阶模存在条件:
k a (n n )
2 0 2 2 1 2 2
8
a (π )
6
pt

2
4
2阶模存在条件:
E3 exp[ 3 ( x a )] x a E y ( x) E1 cos(k x x ) a x a E exp[ ( x a )] x a 2 2
(1) x= -a处，
E1 cos(kx a ) E2
kx E1 sin(kx x ) |xa 2 E2 exp[2 ( x a)]|xa (kx E1 sin(kx a ) 2 E2 )
• 特征方程中有4个参数（n1,n2,a,），改变任何一个结 构参数都要对方程重新求解，不利于应用。为此作归一 化处理。 • 传播常数范围： k0n2 k0n1 • 归一化传播常数：
b
• 波导参数V：
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2 / k n 0 2 2
n n
H z H y i E x y z H x H z i E y z x H y H x i E z x y
x
n3
入射波阵面
A θ
t=2a
n1
z
C
并且考虑到y方向是均匀的，即
0 y
n2
特征方程（本征值方程）
x
n3
入射波阵面
A θ
n1
t=2a
k1
z
C
n2
一次反射波阵面
二次反射波阵面
2k x a m tan (
1
2
kx
) tan (
1
3
kx
)
2n1k0t cos 12 13 2m
2 2 2 1 n1 sin n2 12 2 tan 2 2 n1 cos 1/ 2
tan(k x a )
2
kx
tan(k x a )
3
kx
TE模
2k x a m tan (
1
集成光学
2
kx
10
) tan (
1
3
kx
)
关于的函数
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主讲人：刘柳
特征方程（本征值方程）
TE模的特征方程： 1 2 1 3 2k x a m tan ( ) tan ( )
n2
y
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2 Ey x 2
5
2 2 2 k n 0 2 Ey 0
主讲人：刘柳
波动方程的解
2 Ey x 2
2 2 2 k n 0 1 Ey 0
上式为波动方程，也叫做Helmholtz方程，他的通解可表示为：
E y a1 cos kT x a2 sin kT x a1 cos kT x a1 exp jkT x a2 exp jkT x a1 exp j kT x
图解法求解特征方程
12 10
m=0 m=1 m=2
单模条件
( a) (k x a )
2 2
8
a (π )

2
6
pt
4
2
k a (n n )
2 0 2 2 1 2 2
0 2 4 6 8 10 12

2
0
kxa (π )
m 2 a k x a tan k x a 2
其中
kT k02n12 2 ，通常个成为横向波矢。a1, a2, 为待定系数。
集成光学 6 主讲人：刘柳
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波动方程的解（场分布）
cladding E3 exp[ 3 ( x a)] x a E y ( x) E1 cos(k x x ) a x a core E exp[ ( x a)] x a substrate 2 2
2 2 kx 2 k0 n1 2
2 2 22 2 k0 n2 2 2 32 2 k0 n3
2 2 2 1 n1 sin n3 13 2 tan 2 2 n cos 1
1/ 2
n1k1 sin kz
传播常数
i H y E z x Ez i E i0 H y x x
4
主讲人：刘柳
波动方程（TE模）
0 E Hx y E y i0 H z x H z i H i E y x x
上节课内容
x
d O i
n2
n3
波导的模方程：
k1 i ’i
n1 z
2n1k0t cosi 12 13 2m
12 13 为上下两个波导界面的全反射相移
传播常数：=n1k0sini 有效折射率neff: neff= /k0= n1sini
导波存在条件：
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3
kx
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9
主讲人：刘柳
特征方程（本征值方程）
x
n3
入射波阵面
A θ
t=2a
n1
z
C
n2
一次反射波阵面
二次反射波阵面
E3 exp[ 3 ( x a )] x a E y ( x) E1 cos(k x x ) a x a E exp[ ( x a )] x a 2 2
0 2 4 6 8 10 12
2
0
2 k02 a 2 (n12 n2 )
kxa (π )
m 2 a k x a tan k x a 2
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