第一章 拓扑空间与连续映射
第一节 拓扑空间
数学分析中连续概念的刻画
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1．1 拓扑空间的定义
例子
Ex.5 （欧氏拓扑）设R是全体实数 的集合，
拓扑的比较
• 问题1（如何构造具体的拓扑） • （1）若X有一个元素，则X上一共有几个拓 扑？（1个） • （2）若X有两个元素，则X上一共有几个拓 扑？（4个） • （3）若X有三个元素，则X上一共有几个拓 扑？（29个） • （4）若X有n（）个元素，则4n≥X上一共 有几个拓扑？(思考题)
• 1.2 由度量诱导的拓扑
• 1．3拓扑空间中的几个基本概念 • 闭集 • Def. 1 拓扑空间X的子集A称为闭集，如果 Ac是开集。 •
• 1．4子空间
第二节 连续映射与同胚映射
• 2．1连续映射的定义
• 2．2连续映射的性质 下列映射一定连续：
• 2．3同胚映射
• 2． 生成的子集族：设Γ是X的一个子集族， 规定新的子集族
类似地，可以给出有限个拓扑空间的 乘积空间。 任意多个集合的笛卡尔积
无限个拓扑空间的乘积空间定义比较麻 烦，一般有两种：
• 3.2 乘积空间的性质
• 3．3 拓扑基 想法：度量空间中的开集是若干个互不相交 的球形邻域的并。度量拓扑由球形邻域生成； 乘积拓扑由一个特定的子集族生成。拓扑基 就是从上述方法中抽象出来的。
下面求f 的逆映射，为此令
第三节 乘积空间与拓扑基
• 在第一节中，我们曾提出过如下问题： • 问题3 设11(,X τ) 和22(,X τ) 都是拓扑空间， 则如何给出1 XX×2 上的拓扑结构τ？（乘 积拓扑） • 3.1 乘积空间
• 1． 投射：
注：τ是满足这两个投射都连续的最小拓扑。 （思考为什么要这样？）
• Pro1. Γ 是集合X 的拓扑基的充分必要条件 是：
• 补充知识：拓扑空间的子基 （可参考熊金 城《点集拓扑讲义》）