• 解:排除法：取an=(-1)n，排除A；
• 取an= ，1 排除B；取an=bn=n，
•
n 都不存在，排除D.
ln i m anln i m bn
题型1 求代数式的极限
• 1. 求下列极限：
1lim n24nn; n
2lni m 121213121n12; 3lni m C22C32C42Cn2(C21C31C41Cn1)n; 4lni m 33n n11aan n11(a＞ 0，且为常数).
存 示lnim)在.an，求t的取值范围，并求
lim
n
an(用t表
• 解法1：由题设知 an+1=tb，n+1得+1an+1=t2an+1.
• 又已知t≠2，
an=2bn+1
• 可得
2t 2
a n 1 t 2 2 (a n t 2 ).
• 由f(b)≠g(b)，t≠2，t≠0， • 可知 a 1 t 2 2 tb t 2 2 0 ， 2 t 0 ，
• 3. 常见的数列的极限
• (1)若C为常数， limC ⑦ C.
• •
((23))若|qlnim|＜ n11k =，⑧q为常0n (其数 中，k则＞0为lim常q=n数⑨).
0
.
• (4)设无穷等比数列{an}的公比n为 q，
• 前n项和为Sn，若|q|＜1，
•则
=⑩
lim
n
Sn
a1 .
1 q
• •
所以{
an
t
2
2
其首项为 tb
}是等比数列， 2 ，公比为 t
.
• 于是
a n t 2 2 t（ t 2b t 2 2 ） （ 2 t） n 2 1 ，
• • •
即 又 所以-lna 2in m＜ a（ t存n＜tb 在2 且，t 2 t≠可2 0） 得.故（ 02 t＜） n |1 lni mta2t |2 n＜2 .1t，22.
• 解：(1 )
n21
n21an2anbnb
anb
n1
n1
1an2abn1b.
n1
• 由已知
lni m n n2 1 1anb0，得
1-a=0 a+b=0，
• 即a=1，b=- m a 33n 1 1 n3 n a 0 ，1nln i m 3 a 13 1 n1 3，
• 解：(1)原式lim 4 n lim 4 2 .
• (2)原式
n n 24 n nn 14 1 n
221 321 421 n21
lim n
22
• 32
• 42
•• n2
1•3 2•4 3•5 n1n1
lni m 22 • 32 • 42 ••
n2
limn11. n 2n 2
• (3)原式=
• 1.下列极限正确的个数是( B )
① ln i m n 1 0 (＞ 0 ); ② ln i m qn0 ;
③ ln i m 2 2 n n 3 3 n n 1 ; ④ ln i m C C (C 为 常 数 ).
• A. 2
B. 3
• C. 4
D. 都不正确
• 解:①③④正确.故选B.
9
a n1 3
a
n1
3
1. 9
• 点评：求根式型数列的极限一般是先分子 有理化；求分式型数列的极限一般先对分
式进行通分、约分；求含参数的数列的极 限注意分类讨论.
• •
(1)若 (2)已知
lni m lni m n n 3 2 n 1 11 3a n an 1b n 0 1 3， ， 求求aa和的b取的值值范. 围.
• 所以 | a 1 |＜1，所以-4＜a＜2.
3
• 故a的取值范围是(-4，2).
题型2
数列背景下的极限问题
• 2. 已知数列{an}、{bn}与函数f(x)、g(x)，x∈R 满足条件：b1=b，an=f(bn)=g(bn+1)(n∈N*).若 f(x)=tx+1(t≠0，t≠2)，g(x)=2x，f(b)≠g(b)，且
2n
lim (n• • )lim 2.
n 3 4 5 n2 n n2
• 3.下列四个命题中正确的是( C)
A.若lni man2 A2，则lni man A
B.若an＞0， lni man A，则A＞0
C.若lni man A，则lni man2 A2
D.若lni m anbn 0，则lni man lni mbn
ln 地 或 2那 别 ⑥i m . 接者么地(如an 近说，果•b 于如an ln .是i) ④m ②果 ln数(i a m C 0n 列是a )na，{b 常ban ，;)那na数}③ 的ln么lin ，mi m 极就 (那abba限nn说n ±么)ln ， i b数m ⑤ b;记， 列C 作{•aa ab nn }的lni m ( 极ba≠n限0C)为a.·特a.a，
第十二章 极限与导数
第讲
考点
●数列极限的含义，数列极限的四 则运算法则
搜 索 ●数列极限的基本公式高
高 考 1.在数列背景下求极限.
猜想
2.转化极限条件，求相关参数的取 值范围.
• 1. 如果当项数n无限增大时，无穷数列{an}的第
n项an无限地① 趋近于某个常数a(即|an-a|无限
• • •
lni m23C 4n31nnlni m3!nn12•nnn(n11)
2
lni m3nn12
11 lim n
n31n2
1. 3
• (4)当a＞3时，原式=
lim
n
3 a
n1
1
9
•
3 a
n1
1
1;
• 当a=3时，原式=
23n1 lni m 83n1
1; 4
• 当0＜a＜3时，原式
lim
1
n
• 解法2：由题设知tbn+1=2bn+1，且t≠2，
• •
可 由f得(b)≠gb (n b1 ) ，tt 1 ≠2 2，2 tt≠ 0b n ，t 12 .
• 可知 b 1 0， t0，
• •
所以{ 公比为
bn的t t等t12 比2}是数首列2项. 为下
b 1，
t2
2
• 所以 b n t 1 2 （ b t 1 2 ） （ 2 t） n 1 ，
• •
2等. 于l n (i m ［ n C) 1 1 3 1 1 4 ( 1 1 5 ) ( 1 n 1 2 ) ］
• A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
• 解:
ln i m ［ n 11 3 11 4 (11 5) (1n 12)］
2 3 4 n1