再练一课(范围：§3.1～§3.2)1．某物体的运动方程为s ＝3＋t 2，则在t ∈[2,2.1]内，该物体的平均速度为( ) A ．4.11 B ．4.01 C ．4.0 D ．4.1 答案 D解析 根据题意可得平均速度v ＝Δs Δt ＝3＋2.12－(3＋22)0.1＝4.1.2．已知函数f (x )＝2x 2－4的图象上一点(1，－2)及邻近一点(1＋Δx ，－2＋Δy )，则ΔyΔx等于( ) A ．4 B ．4xC ．4＋2ΔxD ．4＋2(Δx )2 答案 C解析 Δy Δx ＝f (1＋Δx )－f (1)Δx ＝2(1＋Δx )2－4＋2Δx＝2(Δx )2＋4Δx Δx＝2Δx ＋4.3．已知函数f (x )＝cos x2x ，则f ′(x )等于( )A.sin x －cos x 2xB ．－sin x ＋(ln 2)·cos x 2xC.sin x －(ln 2)·cos x 2xD ．－sin x ＋cos x 4x答案 B解析 f ′(x )＝(cos x )′2x －cos x ·(2x )′(2x )2＝－sin x ·2x －cos x ·2x ln 24x＝－sin x ＋(ln 2)·cos x 2x.4．若曲线y ＝x 在点P (a ，a )处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为2，则实数a 的值是( )A ．1B ．2C ．4D ．8 答案 C解析 ∵y ′＝12x ，∴切线方程为y －a ＝12a (x －a )． 令x ＝0，得y ＝a2，令y ＝0，得x ＝－a ， 由题意知12·a2·a ＝2，∴a ＝4.5．点P 0(x 0，y 0)是曲线y ＝3ln x ＋x ＋k (k ∈R )上一个定点，且曲线在点P 0处的切线方程为4x －y －1＝0，则实数k 的值为( ) A ．2 B ．－2 C ．－1 D ．－4 答案 A解析 y ′＝3x ＋1，令3x 0＋1＝4，得x 0＝1，代入切线方程得y 0＝3，代入y ＝3ln x ＋x ＋k ，得k ＝2.6．已知f (x )＝tan x ，则f ′⎝⎛⎭⎫4π3＝________. 答案 4解析 ∵f (x )＝tan x ，∴f ′(x )＝⎝⎛⎭⎫sin x cos x ′＝(sin x )′cos x －(cos x )′sin x cos 2x ＝cos 2x ＋sin 2x cos 2x ＝1cos 2x ， ∴f ′⎝⎛⎭⎫4π3＝1cos 24π3＝1cos 2π3＝4. 7．已知函数f (x )＝ax 2＋3，若lim Δx →0 f (1＋Δx )－f (1)Δx＝2，则实数a 的值为________．答案 1解析 ∵lim Δx →0 f (1＋Δx )－f (1)Δx ＝2，∴f ′(1)＝2. ∵f (x )＝ax 2＋3，∴f ′(x )＝2ax ， ∴f ′(1)＝2a ＝2，∴a ＝1.8.如图，函数g (x )＝f (x )＋15x 2的图象在点P 处的切线方程是y ＝－x ＋8，则f (5)＋f ′(5)＝________.答案 －5解析 因为g (5)＝f (5)＋5＝3，所以f (5)＝－2. 因为g ′(x )＝f ′(x )＋25x ，所以g ′(5)＝f ′(5)＋25×5＝－1，f ′(5)＝－3，所以f (5)＋f ′(5)＝－5.9．已知函数f (x )＝－23x 3＋2ax 2＋3x (a >0)的导数f ′(x )的最大值为5，求在函数f (x )图象上的点(1，f (1))处的切线方程． 解 ∵f ′(x )＝－2x 2＋4ax ＋3 ＝－2(x －a )2＋3＋2a 2， ∴f ′(x )max ＝3＋2a 2＝5， 又a >0，∴a ＝1.∴f ′(x )＝－2x 2＋4x ＋3， f ′(1)＝－2＋4＋3＝5， 又f (1)＝－23＋2＋3＝133，∴所求切线方程为y －133＝5(x －1)．即15x －3y －2＝0.10．已知曲线f (x )＝x 3＋ax ＋b 在点P (2，－6)处的切线方程是13x －y －32＝0. (1)求a ，b 的值；(2)如果曲线y ＝f (x )的某一切线与直线l ：y ＝－14x ＋3垂直，求切点坐标与切线的方程．解 (1)∵f (x )＝x 3＋ax ＋b 的导数为f ′(x )＝3x 2＋a ，由题意可得f ′(2)＝12＋a ＝13，f (2)＝8＋2a ＋b ＝－6， 解得a ＝1，b ＝－16.(2)∵切线与直线y ＝－14x ＋3垂直，∴切线的斜率k ＝4.设切点的坐标为(x 0，y 0)， 则f ′(x 0)＝3x 20＋1＝4，∴x 0＝±1， 由f (x )＝x 3＋x －16，可得y 0＝1＋1－16＝－14或y 0＝－1－1－16＝－18. 则切线方程为y ＝4(x －1)－14或y ＝4(x ＋1)－18. 即4x －y －18＝0或4x －y －14＝0.11．已知函数f (x )在R 上的导函数为f ′(x )，且2f (x )＋xf ′(x )>x 2，下面的不等式在R 上恒成立的是( ) A ．f (x )>0 B ．f (x )<0 C ．f (x )>x D ．f (x )<x答案 A解析 当x ＝0时，2f (x )＋xf ′(x )>x 2为2f (0)＋0f ′(0)>02，即f (0)>0，排除B ，D 项；当f (x )＝x 2＋18时，f ′(x )＝2x ，满足2f (x )＋xf ′(x )>x 2在R 上恒成立，而f (x )－x ＝x 2－x ＋18＝(x －12)2－18≥－18，不满足f (x )>x 在R 上恒成立，排除C.综上可知，应选A. 12．如图，有一个图象是函数f (x )＝13x 3＋ax 2＋(a 2－1)x ＋1(a ∈R ，且a ≠0)的导函数的图象，则f (－1)等于( )A.13 B ．－13 C.73 D ．－13或53 答案 B解析 f ′(x )＝x 2＋2ax ＋a 2－1＝[x ＋(a ＋1)][x ＋(a －1)]，图(1)与图(2)中，导函数的图象的对称轴都是y 轴，此时a ＝0，与题设不符合，故图(3)中的图象是函数f (x )的导函数的图象．由图(3)知f ′(0)＝0，由根与系数的关系，得－(a ＋1)－(a －1)>0，则a <0，又⎩⎪⎨⎪⎧(a ＋1)(a －1)＝0，a <0，解得a ＝－1.故f (x )＝13x 3－x 2＋1，所以f (－1)＝－13.13．设a >0，f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处切线的倾斜角的取值范围为⎣⎡⎦⎤0，π4，则P 到曲线y ＝f (x )对称轴距离的取值范围为( ) A.⎣⎡⎦⎤0，1a B.⎣⎡⎦⎤0，12a C.⎣⎡⎦⎤0，⎪⎪⎪⎪b 2a D.⎣⎡⎦⎤0，⎪⎪⎪⎪b －12a答案 B解析 因为在点P (x 0，f (x 0))处的切线的倾斜角的取值范围是⎣⎡⎦⎤0，π4，且a >0，P 在对称轴的右侧，所以P 到曲线y ＝f (x )对称轴x ＝－b 2a 的距离d ＝x 0－⎝⎛⎭⎫－b 2a ＝x 0＋b 2a . 又因为f ′(x 0)＝2ax 0＋b ∈[0,1]，所以x 0∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－b 2a ，1－b 2a .所以d ＝x 0＋b2a ∈⎣⎡⎦⎤0，12a . 14．已知f (x )为偶函数，当x <0时，f (x )＝ln(－x )＋3x ，则曲线y ＝f (x )在点(1，－3)处的切线方程是__________________． 答案 2x ＋y ＋1＝0解析 设x >0，则－x <0，f (－x )＝ln x －3x ，又f (x )为偶函数，f (x )＝ln x －3x ，f ′(x )＝1x －3，f ′(1)＝－2，切线方程为y ＝－2x －1，即2x ＋y ＋1＝0.15．如图，修建一条公路需要一段环湖弯曲路段与两条直道平滑连接(相切)．已知环湖弯曲路段为某三次函数图象的一部分，则该函数的解析式为( )A ．y ＝12x 3－12x 2－xB ．y ＝12x 3＋12x 2－3xC ．y ＝14x 3－xD ．y ＝14x 3＋12x 2－2x答案 A解析 A 选项中，令y ＝f (x )，y ′＝f ′(x )＝32x 2－x －1，f ′(0)＝－1，f ′(2)＝3.曲线在(0,0)和(2,0)处分别与直线y ＝－x ，y ＝3x －6相切，且在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1＋73上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋73，2上单调递增，符合题意．对B ，C ，D 选项可验证曲线在(0,0)或(2,0)处不与直线y ＝－x ，y ＝3x －6相切．故选A.16．若存在过点O (0,0)的直线l 与曲线y ＝f (x )＝x 3－3x 2＋2x 和y ＝g (x )＝x 2＋a 都相切，求实数a 的值．解 易知点O (0,0)在曲线f (x )＝x 3－3x 2＋2x 上． (1)当O (0,0)是切点时，由f ′(x )＝3x 2－6x ＋2，得f ′(0)＝2， 即直线l 的斜率为2，故直线l 的方程为y ＝2x .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ，y ＝x 2＋a ，得x 2－2x ＋a ＝0， 依题意知，Δ＝4－4a ＝0，得a ＝1.(2)当O (0,0)不是切点时，设直线l 与曲线f (x )＝x 3－3x 2＋2x 相切于点P (x 0，y 0)，则f (x 0)＝x 30－3x 20＋2x 0，且k ＝f ′(x 0)＝3x 20－6x 0＋2，①又k ＝f (x 0)x 0＝x 20－3x 0＋2，②联立①②，得x 0＝32(x 0＝0舍去)，所以k ＝－14，故直线l 的方程为y ＝－14x .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－14x ，y ＝x 2＋a ，得x 2＋14x ＋a ＝0，依题意知，Δ＝116－4a ＝0，得a ＝164.综上，a＝1或a＝164.。