第5章 无限长单位脉冲响应（IIR ） 数字滤波器的设计方法5.1 基本概念5.1.1 选频滤波器的分类可分为低通、高通、带通、带阻和全通满足奈奎斯特采样定理时，信号的频率特性只能限带于|ω|<π的范围。
5.1.2 滤波器的技术指标在通带内，幅度响应以最大误差±δ1逼近于1，即1111 δδωω+<≤-≤）（jw P e H在阻带内，幅度响应以误差小于δ2而逼近于零，即2 ,δπωω≤≤≤）（jw S e H1)()ωj e H (π1 δ阻带过渡带ωπ2 δ通带11δ+11δ-sw p wN 为奇数时实轴上有极点，N 为偶数时实轴上没有极点。
要称为稳定的滤波器)s (H a 表示为：∏=-Ω=Nk k N Ca )s s ()s (H 1方法2:,s s p A A P 、、由模拟ΩΩc ,Ω→N c ,Ω→N⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡ΩΩ+=Ω-Ω=ΩNa P j H A 2c p 2p )(11lg 10)(lg 10 －＝在 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡ΩΩ+=Ω-Ω=ΩN a P j H A 2c S 2S )(11lg 10)(lg 10 －＝在 ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡ΩΩ--=)(lg 2])110()110(lg[s p 1010sp A A N NA sc s 210110-Ω=Ω（通带指标改善）或 NA Pc P 210110-Ω=Ω（阻带指标改善）方法3: )()(s H s H a aN →NN N aN ss a s a s a s H ++++=--1122111)( caN a s s s H s H Ω'=→)()( 例 1 导出三阶巴特沃思模拟低通滤波器的系统函数， 设Ωc ＝2 rad/s 。
解 幅度平方函数是62)2/(11|)(|Ω+=Ωj H 令Ω2=-s 2即s =j Ω，则有)2/(11)()(66s s H s H a a -=-π⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=612212k j k es k =1, 2, …, 6会产生频率混叠，适合低通、带通滤波器的设计，不适合高通、带阻滤波器的设计。
5.5 用双线性变换法设计IIR 数字滤波器5.5.1. 变换原理)2tan(21T T Ω=ΩT s e z 1=平面映射：平面1S S →)2(21T tg T Ω⋅=Ω 通过欧拉公式，可得：222211112T j Tj T jTjee ee .T j Ω-ΩΩ-Ω+-=Ω 11s ΩΩ=j j s ＝令TS TS e e T S 1111.2--+-=T S e Z Z S 11=→平面的映射：平面5.5.2.逼近情况11112--+-⋅=Z Z T SS TS T S T S T Z -+=-+=222121 双线性变换1111.2s )1--+-==z z T e Z jw时，代入)2tan(211.2s Ω==+-=j wT j e e T jwjw 则： 平面单位圆平面虚轴映射到说明：z ss 2s 2j s )2-+=ΩTT Z 代入＋＝将σ j 2j 2Ω--Ω+=σσTT Z ＋则 2222)2()2(Ω+-Ω++=σσTT Z 0 1z =σ＝ 0 1z >>σ 0 1z <<σ 说明：稳定的模拟滤波器双线性变换后仍是的数字滤波器5.5.3优缺点优点：避免了频响的混叠失真缺点：频率非线性幅频响应分段常数型 5.5.4 模拟滤波器数字化方法直接代入法一.数字化方法 间接代入法表格法1.直接代入法1111)()(--+-==z z s s H z H2.间接代入法)2tan(2c c Cc w T C Ω=Ω'Ω=二、模拟低通滤波器到数字高通滤波器频率之间的关系1111---+=ZZ C S jw e Z =Ω= ,j s 令：上式)2cot(w C -=Ω )2cot(wC -=Ωπω=→=Ω0 0=→∞=Ωω例6：设计一个巴特沃思高通数字滤波器，其通带截止频率为c f ＝3kHz,阻带截止频率kHz f st 2=，通带衰减不大于3dB ，阻带衰减不小于14 Db,采样频率kHz f s 10=。
解：1)数字频率：π=π=π=π=402602.T f w .T f w st st c c2)求C ： 因归一化376121.wtan C ,c c c =Ω=Ω＝3)低通原型st Ω：89412.wcot C st st ==Ω4)求阶数：14110202-≤ΩΩ+-=Ω])(lg[j (H lg Ncst st a N=2.4909314 取N=35)313211132055693.0420116.05717848.01)331(099079.011)()(2211)(-------+++-+-=-+==+++=z z z z z z z z c s s H z H s s s s H a a5.6.3 模拟低通滤波器变为数字带通滤波器 一.模拟低通到数字带通的变换 低通→带通)(112Ω-ΩΩΩ+Ω→h hcs s s11112--+-⋅=Z Z T S⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-=---22111Z Z EZ D S h h T TE ΩΩ+⎪⎭⎫⎝⎛ΩΩ-⎪⎭⎫⎝⎛=1212222 1122Ω-ΩΩΩ+Ω=h h c)TT (D [][]012121212cos 2sin sin )sin(2/)(cos 2/)(cos 2w w w w w w w w w E =++=-+=)2cot(12w w D c -Ω= )2tan 2(tan 212w w T c -=Ω 22111|)()(----+-==ZZ EZ D s s H z H a 1)/(2)/(2)/(1)(23+Ω+Ω+Ω=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛Ω=c c c c a a s s s s H s H N464222222221143331211112112111|)()(22-----------+=+-+-=+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+==--z z z z z z z z z z s H z H z zT s a二、模拟低通滤波器到数字带通滤波器频率之间的关系⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-=---22111Z Z EZ D S jw e Z =Ω= ,j s 令：上式www Dsin cos cos 0-=Ω00w w =→=Ωπ=→∞=Ωw 0=→-∞=Ωw例 7 采样频率为f s=100kHz, T =10 μs ，要求设计一个三阶巴特沃思数字带通滤波器，其上、下边带的 3dB 截止频率分别为f 2=37.5 kHz ，f 1=12.5 kHz 。
解 首先求出所需数字滤波器在数字域的各个临界频率。
通带的上、下边界截止频率为: 1)1=2πf 1T =2π×12.5×103×10×10-6=0.25πω2=2πf 2T =2π×37.5×103×10×10-6=0.75π 2) 228tan 83tan 22tan 2tan 212⨯=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=ΩT T T c ππωω TT T D c 44cot 4225.075.0cot 42cot 12=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-Ω=πππωω0)4/cos()2/cos(2]2/)25.075.0cos[(]2/)25.075.0cos[(2]2/)cos[(]2/)cos[(21212==-+=-+=ππππππωωωωE2222111411------+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-=z z T z z Ez D s 3)1221)(23+++=s s s s H N a3 dB 截止频率为Ωc=4/T 的三阶巴特沃思滤波器的系统函数为5.6.4 模拟低通滤波器变为数字带阻滤波器 一.模拟低通到数字带阻滤波器的变换 低通→带阻 hh cs s s ΩΩ+Ω-ΩΩ→121)( 11112--+-⋅=Z Z T S⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+--=---2112111Z Z E Z D S h h T TE ΩΩ+⎪⎭⎫⎝⎛ΩΩ-⎪⎭⎫⎝⎛=12121222 ))T ()()T (D h h cΩΩ+Ω-ΩΩ=121122 [][]0121212121cos 2sin sin )sin(22/)(cos 2/)(cos 2w w w w w w w w w E =++=-+=)2tan(12w w D c -Ω=)2tan 2(tan 2tan .2tan21212w w w w T c -=Ω 2112111|)()(---+--==Z Z E Z D s s H z H a 二、模拟低通滤波器到数字带阻滤波器频率之间的关系⎥⎦⎤⎢⎣⎡+--=---2112111Z Z E Z D S jw e Z =Ω= ,j s 令：上式1cos cos sin w w wD -=Ωπ,00=→=Ωw 0w w =→±∞=Ω例 8 要设计一个带阻数字滤波器，其采样频率为f s=1 kHz ，要求滤除100Hz 的干扰，其3 dB的边界频率为95 Hz 和105 Hz ，原型归一化低通滤波器为 ss H N a +=11)(解 首先求出所需数字滤波器在数字域的上、下边界频率为:ππππωππππω21.0100010522219.0100095222222111=⨯====⨯===s s f f T f f f T f模拟低通的截止频率 ：032.32)095.0tan()105.0tan()105.0tan()095.0tan(22tan 2tan 2tan 2tan 21221⨯≈-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=ΩT T T c ππππωωωω c c c c D Ω=Ω=⎪⎭⎫⎝⎛-Ω=⎪⎭⎫ ⎝⎛-Ω=03143.0)01.0tan(219.021.0tan 2tan 121πππωω6188.1)01.0cos()2.0cos(2]2/)19.021.0cos[(]2/)19.021.0cos[(2]2/)cos[(]2/)cos[(212121==-+=-+=ππππππωωωωE。