路面不平度数学模型的研究进展杨益明　刘奕贯　(南京交通职业技术学院,南京　211188)【摘要】　分别阐述了路面不平度的功率谱分析模型、时间序列分析模型、分形分析模型及小波分析模型,对每一种路面模型进行了系统评价,并指出了路面不平度研究发展方向。

【Ab s trac t】　The models of the ti m e series,s pectral,fractal,wavelet are intr oduced evaluated, and the future directi on of r oad r oughness is pointed out.【主题词】　振动系统　路面不平度　汽车0　引言路面不平度是车辆振动系统的主要振源,它使车辆在行驶中产生行驶阻力和振动。

汽车的平顺性是车体对路面激励的综合反映,不平路面的激励所引起的振动不仅影响汽车的行驶平顺性、安全性,也影响零部件的疲劳寿命。

因此,获得准确的路面信息是进行车辆振动系统的平顺性分析和评价的关键。

国内外一些学者对路面不平度进行过大量有益研究并提出了多种时域和频域的路面模型。

1　功率谱分析模型一般性路面的激励为随机过程,把路面纵剖面的随机数据表示为频域的方式是提取路面内在信息的一种重要方法。

对于不同等级的路面,主要区别表现在粗糙度的不同,通常采用谱密度函数来大致表达不同粗糙程度的路面,以给出车辆系统的输入激励。

对于路面不平度的研究,各国学者提出了不同形式的功率谱密度表达式模型。

现代汽车技术常常对人-车-路系统进行非线性或耦合动力学分析,此时,时域分析是最基本的分析方法,用时域分析方法有利于导出良好的控制律。

1.1　三角级数法从理论上讲,任意一条路面轨迹均可由一系列离散的正弦波叠加而成。

假如已知路面频域模型,那么每个正弦波的振幅可由相应频率的频率谱密度获得,相位差由随机数发生器产生。

其模型形式为:q(t)=Σni=12Gq(fmid-i)Δfisin(2πf mid-i t+<i)(1)式中,q(t)为时域路面随机位移;Φi为[0, 2π]上均匀分布的随机数;G q(f m id-i)为将功率谱的时间频率区间划分为n个小区间,每个小区间的中心频率fm id-i处的谱密度值。

对该式进行验证可以得出,当区间划分足够细密即n取足够大时,由式(1)生成的时域路面随机位移输入的频率特征与给定的路面谱是一致的。

三角级数法尤其适用于实测道路谱的时域模拟。

但此模型涉及大量三角函数运算,计算很费时。

一般采用FFT算法提高其计算效率。

1.2　线性滤波白噪声法基于线性滤波的白噪声激励模拟是目前较普遍的方法。

基本思想是将路面高程的随机波动抽收稿日期:2009-12-30象为满足一定条件的白噪声,然后经一假设系统进行适当变换而拟合出路面随机不平度的时域模型。

其数学模型为:q ij (t )+αV q ij (t )=ζij (i =1,2;j =1,2)(2)式中,i 为前、后轮激励输入点位置;j 为左、右轮激励输入点位置;q ij 为随机路面激励;α为与路面等级有关的常数;V 为车速;ξij 为零均值的Gaussian 随机过程。

上式是以白噪声ξij 为输入,以滤波白噪声为输出的线性系统的随机微分方程。

由q i j 模拟的路面高程及其变化速率作为整车动力学微分方程的输入,可以分别通过轮胎垂直刚度和轮胎阻尼系数作用而嵌入运动方程的激励项中。

利用该模型对路面进行模拟,结果表明该方法特别适合用于国标道路谱时域模型的生成。

线性滤波法具有计算量小、速度快的优点,但算法繁琐、模拟精度差。

1.3　过滤泊松模型对路面不平度的时域模型作较系统的研究,提出路面不平度的过滤泊松过程模型:q (x )=ΣN (x )i =1αi W (x,ζi ,b i )(3)式中,q (x )为随机路面激励;N (x )为区间x ;αi 为第i 个凹凸的中心高度;b i 为第i 个凹凸在X 轴上的存在区间;ξi 为第i 个凹凸在X 轴上的起始位置;W (x ,ξi ,b i )为在位置ξi 所发生路面凹凸的形状函数。

对于形状函数的选定,应根据实际路面的起伏。

对于十分复杂的随机路面,通常选择半正弦波形状函数。

该模型在频率大于一定值后,能较好地逼近目标谱密度,在频率为零附近效果较差。

它的最大缺点是参数的求取缺乏严密的算法,需要试凑。

1.4　基于频域功率谱采样的数值模拟方法在分析了汽车固有振动频率和行驶速度的影响后,利用对已知功率谱进行采样的数值模拟方法对公路路面的功率谱密度进行研究。

获得了分布在一定频率范围内的离散功率谱密度数据,通过计算、分析获得路面不平度的离散傅立叶变换,对离散傅立叶变换的数据按照一定规则补齐后再进行傅立叶逆变换,进而得到路面不平度值。

其路面模型为:q m =1NΣN2k =0X k ej 2πk m N(m =0,1…N -1)(4)式中,q m 为路面不平度的采样数据;N 为采样点数;X k 与已知功率谱的关系为:|X k |=N G x (n k )2Δl k =0,1…N2,n k =k /L;L 为采样长度;G x 为已知功率谱;△l 为采样间隔。

由于该模型的计算过程是功率谱密度计算的逆过程,所以理论上可保证所得路面不平度的功率谱密度与给定的路面功率谱密度准确一致。

针对路面不平度的数值模拟问题,各国学者进行了大量研究,除了上述方法还有基于有理函数PS D 模型的离散时间序列生成法等。

以上所述前3种是针对路面不平度的数值模拟方法,其所得路面不平度对应的功率谱密度与给定的功率谱密度相比都存在一定误差,而通过对第4种方法的整个分析过程可以看出,这种方法思路明确、便于操作,并且利用这种方法得到的路面不平度对应的功率谱密度可以达到与给定的功率谱密度一致,这将为汽车的平顺性等研究带来很大方便。

2　时间序列分析模型时间序列分析是统计学科的一个重要分支内容,使用时间序列分析方法可以对路面不平度进行统计特性的分析。

在实际中,只能测到路面不平度的有限数据,利用时间序列分析的主要任务就是根据观测数据的特点为数据建立尽可能合理的统计模型,再利用模型的统计特性去解释数据的统计规律,以达到控制或预报的目的。

在时间序列分析中,有两类简单而又常用的模型:AR 模型和AR MA 模型。

2.1　AR 模型AR 模型的表达式为:q t =θi x t-1+θ2x t-2+…+θn x t-n +ξt(5)式中,q t 为路面随机激励;θi 为自回归参数,它表示t -i 时刻的值对t 时刻的值的影响程度;ξt 为均值为零的白噪声时间序列。

用时间序列分析的方法,对路面的实际测量值进行分析计算,建立一个自回归(AR)模型并以此为基础进行路面的模拟,自相关函数以及谱密度分析。

与AR模型相对应的功率谱是连续谱,分辨率可以无限提高,可以很好的解决以采用FFT 为基础的功率谱分析时产生的数据泄漏。

还可利用AR模型对二维路面进行模拟,其方法是一维模型的直接推广,经过仿真证明了该模型的可行性。

2.2　ARMA模型AR MA模型的表达式为:q k-θ1x k-1-θ2x k-2-…θm x k-m=αk+<1αk-1+…+<nαk-n(6)式中,qk 为路面随机激励;θi为自回归系数;<i为滑动平均系数;αk为时刻i的白噪声输入。

从总体精度来看,AR MA模型优于AR模型,它能够很好的逼近目标谱。

在阶次很低时,AR MA 模型在低频段效果较差,阶次增加后,在整个模拟范围内都达到极好的效果。

ARMA模型阶次的选择应综合考虑运算量、总体模拟精度两个因素来确定,但对于AR MA模型的最优阶次的选取尚无成熟理论,需要进一步的研究。

3　分形分析模型近十几年来,分形理论已在表面不平度的研究领域获得成功的应用。

从一般意义上说,分形维数是用来衡量一个几何集或自然物体不规则程度的数,分维值D越高反映的道路表面越平坦。

在计算出分维值后,可以利用W2M函数、布朗函数、中点位移随机算法等方法来模拟路面不平度,作为汽车平顺性研究的输入激励。

其中W2 M函数在工程中是常用的模型:q(x)=G D-1Σco s(2πr n x)/r(2-D)n(1<D<2,r>1)(7)式中,q(x)为随机路面激励;G为幅度系数,反映q(x)的幅值大小;D为分形维数,它描述函数q(x)的不规则性;r n为轮廓的空间频率。

分形测量属于对测度的相似性测量,是一种相对性的描述参数,它无法唯一表达道路表面不平程度,也就是说分形维数与功率谱不存在对应关系。

将分形维数与尺度系数联系起来可提出表观分形维数,表观分形维数结合分形维数的相似测量和尺度系数的绝对测量。

其表观分形维数数值越大,道路表面不平度越大。

4　小波分析模型以往对路面不平度的研究都是基于FFT的统计分析,由于傅立叶分析使用的是一种全局变换,不能获得信号的局部特征;而且对于非平稳信号的分析,要么完全在时域,要么完全在频域,无法表述信号的时频局域性质。

小波变换是一种时频分析方法,其基本原理是以小波函数ψ(t-b/a)为基函数,通过变换将信号X(t)分解为不同频带的子信号,通过尺度因子a的变化可以观察信号的总体或细节。

对路面输入信号进行各级小波分解,对路面不平度进行了时频小波分析,若同时将汽车的响应信号进行小波分解,从小波分解图还可以了解响应随时间的变化,而且可以利用小波分解求出单位时间内不同频带的能量值。

对路面输入及汽车振动响应进行小波分析,分析的结果显示,在0～3.125Hz、0～6.25Hz、0～12.50Hz的3个频段内,路面激励和汽车振动响应曲线变化基本一致。

同时可以看出,汽车振动的能量大多集中在3.125～50.00Hz之间。

所以小波理论的应用可以使我们了解路面不平度更详细的信息,而这些用传统的FFT分析是无法实现的。

5　结论(1)目前使用的不平度测量设备是非接触式激光测量仪,它只能对路面的一条线进行测试,所以,应该研究与开发使用新的路面测量设备,以获得更多的路面不平度信息。

例如开发非接触式路面成像设备,同时使用计算机与图象处理技术对路面图象进行处理与分析,从而获得路面不平度深层次的特性。

(2)虽然现在已经使用了分形和小波理论对路面不平度进行分析,但都处于初级阶段,对于这两种理论在对路面不平度特性的描述以及使用方法还有待进一步的研究。

例如,利用分形维数描述路面的二维特性,寻找分维数与土壤本构之间的关系等。

(3)实际路面是三维的,特别是考虑到汽车轮胎的弹性变形时,轮迹应视为一各向同性平面考虑而不是一维情况下的点接触。

因此,对于汽车的振动实验和汽车模型的时域响应分析时有必要对路面进行三维模拟。

(4)分形和小波理论还在不断的发展和完善,其各个分支都发展很快,因此,应该密切关注这些新动向,以使分形和小波理论在路面不平度的研究中得到深入的应用。