如
p j P{Y y j } pi j
p 1 P{ X x1} p1 j
j 1
(i = 1,2, …)
(j =1,2, …)
p 2 P{Y y 2 } pi 2
i 1
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二、 离散型二维随机向量的边缘分布 设 (X,Y) 的联合分布列为 pij = P{X=xi ,Y=yj}
x
x
6( x x 2 ), f X ( x) 0,

0 x 1 其它
y y
fY ( y) f ( x, y)dx 6dx 6( y y)
6( y y ), fY ( y ) 0,
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即
《概率统计》
0 y 1 其它
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Y
0
6 10
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1
3 10
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2
1 10
pi.
《概率统计》
p.j
三 、二维连续型随机变量边缘概率密度函数
设（X，Y）的联合概率密度 f(x,y) 由于FX ( x) P{ X 所以
x} P{X x, Y } [ f (u, v)dv]du

则
f X ( x)


f ( x, y )dy
fY ( y )


f ( x, y)dx
例2.设（X，Y）服从区域D：抛物线y=x2和直线y=x所 围成的区域上的均匀分布，求（X，Y）的联合、边缘概 率密度.
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解:
由于D的面积为
故（X，Y）联合概率密度为
x

f X ( x)
f ( x, v)dv f ( x, y )dy


f ( x, y)dy
z
即
f X ( x)

f X ( x0 ) 的几何意义如右图.
其值表示红曲边梯形的面积.
y
o
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a
x0 b x
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三 、二维连续型随机变量边缘概率密度函数
即若（X，Y）的联合概率密度 f(x,y)
例3. 已知随机向量（X，Y）的联合分布函数为
F ( x, y) a(b arctanx)(c arctany)
求（１）常数a，b，c；（２）联合密度函数 f(x,y)； （３）X ,Y的边缘分布函数；（4）P{X>2}。
解：(1)由F(-∞,0)=0,
F(0,-∞)=0, F(+∞, +∞)=1, 得
则 (X,Y) 的边缘分布列为
p i P{ X xi } pi j
j 1

p j P{Y y j } pi j
i 1

(i =1,2, …)
(j = 1,2, …)
即
X
(X,Y) 的边缘分布函数为：
x1 · · ·xi · · · … pi. x p2 . 1 p2. · · ·pi. · · ·
P{X x, Y }
FY ( y ) P{Y y} P{ X , Y y} F (, y ) lim F ( x, y )
x
F ( x,)
lim F ( x, y )
y
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二、 离散型二维随机向量的边缘分布
X Y
y1 p11 p21
y2
… yj
…
P{X=xi} p1. p2.
x1 x2
p12 … p1j … p22 … p2j …
xi
P{Y= pij … … … p.2 … p.j …
j 1


pi. 1
i 1

p i P{ X xi } pi j
1 0 ( x x )dx 6
1 2
y
6, f ( x, y ) 0,
f X ( x)
即 当0≤y≤1时

( x, y ) D 其它
0
y x2 yx
（X，Y）边缘概率密度, 当0≤x≤1时

x
f ( x, y)dy 2 6dy 6( x x 2 )
a ( b )c 0 2 ab ( c )0 2 a (b )(c ) 0 2 2
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解得
a
1
F ( x, y )
1 ( arctan x)( arctan y ) 2 2 2
2 F ( x, y ) xy
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例1.已知随机向量（X，Y）的分布如下表，求关于X 和Y 的边缘 分布.
解:
X 3 4 5
Y
0
1 10 2 10 3 10
6 10
1
2
pi·
1 10 3 10
0
1 10 2 10
3 10
0 0
1 10
1 10
6 10
p.j X的分布列为 X 3
1 10
1
Y的分布列为 4
3 10
5
6 10
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Y
FX(x) = F(x,+∞) = FY(y) = F(+∞, y) =
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xi x
p
yj y

y1 y2 · · ·yj · · · … p.j p.1 p.2 · · ·p.j · · ·
ij
p
i 1
j 1
p i
xi x
ij

yjy
p
j
§3.2 边 缘 分 布
一、边缘分布函数的概念 二、离散型随机变量的边缘分布列 三、连续型随机变量的边缘分布概率密度 四、随机变量的独立性
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一 、 边缘分布函数的概念
设（X，Y）的联合分布函数F(x, y)
则 X 和 Y 的边缘分布函数 FX(x) , FY(y) 分别为:
FX ( x) P{X x}
解：
F ( x, y )
a
1

2
,b

2
,c

2
F ( x, y ) (3) FX ( x) P{X x} ylim

,b 2

2
,c

2
(2) f(x,y)
1 2 (1 x 2 )(1 y 2 )
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例3. 已知随机向量（X，Y）的联合分布函数为
F ( x, y) a(b arctanx)(c arctany)
求（１）常数a，b，c；（２）联合密度函数 f(x,y)； （３）X ,Y的边缘分布函数；（4）P{X>2}.